平行四邊形面積公式固著化的原因分析與策略研究

□ 蔣鑫源

一、一道題目暴露的問題

培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)的眼光”是當(dāng)前數(shù)學(xué)課程蘊(yùn)含的核心素養(yǎng)之一。數(shù)學(xué)的眼光是與數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)的一種獨(dú)特的思考角度。[1]“獨(dú)特”一詞體現(xiàn)出眼光的個(gè)性化，人通過不同的角度可能會(huì)獲取不同的信息、經(jīng)歷不同的思維過程，自然出現(xiàn)不同的生成。在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往對(duì)平行四邊形記憶最深刻的就是面積公式，這種過分的熟悉不利于學(xué)生“數(shù)學(xué)眼光”的培養(yǎng)。國(guó)外學(xué)者Laura Macchi 與Maria Bagassi 等人在研究中發(fā)現(xiàn)：對(duì)于頓悟問題的解決，默認(rèn)反應(yīng)并不能得到結(jié)果，反而有可能導(dǎo)致“固著（Fixation）”。他們引用韋特海默“正方形與平行四邊形”一題（如圖1）來加以解釋。[2]也就是說，對(duì)于平行四邊形面積的相關(guān)問題，學(xué)生的默認(rèn)反應(yīng)就是找到底與高后，將數(shù)據(jù)代入面積公式計(jì)算即可。若無法獲得公式信息，學(xué)生就很難利用其他方式來解決。

圖1 “平行四邊形與正方形”問題示意圖

為研究公式的認(rèn)知固著現(xiàn)象，筆者在學(xué)生學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積之后進(jìn)行“正方形與平行四邊形”一題的測(cè)試，測(cè)試對(duì)象為北京市S 小學(xué)五年級(jí)某班的學(xué)生，共計(jì)36人。測(cè)試結(jié)果顯示，有59%的學(xué)生采用公式法求解平行四邊形的面積。有12%的學(xué)生在采用公式法的同時(shí)嘗試使用轉(zhuǎn)化法，但轉(zhuǎn)化法仍然未脫離面積公式。學(xué)生依據(jù)底和高的關(guān)系，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個(gè)大小相等的長(zhǎng)方形來解決（如圖2）。除此之外，有18%的學(xué)生無法解決本題。另有11%的學(xué)生嘗試通過底邊與鄰邊相乘來解決問題，但無法獲得較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度，因此沒能得出準(zhǔn)確結(jié)果。從測(cè)試結(jié)果可以看出，有71%的學(xué)生能夠解決該問題，且都使用了面積公式；29%的學(xué)生既無法利用公式解決問題，也沒有其他思路。測(cè)試結(jié)果表明，學(xué)生存在平行四邊形面積公式固著的現(xiàn)象。

圖2 學(xué)生在測(cè)試中呈現(xiàn)的解題方法

二、公式固著現(xiàn)象產(chǎn)生的原因分析

韋特海默對(duì)本題的設(shè)計(jì)是與人的心理活動(dòng)相關(guān)的。格式塔心理學(xué)遵從整體論，認(rèn)為主體的心理現(xiàn)象具有特定的整體屬性，對(duì)部分的感知是依賴于整體屬性的，整體不能分解為簡(jiǎn)單的元素。該理論強(qiáng)調(diào)知覺的作用，認(rèn)為知覺到的事物大于眼睛看到的事物，并且每個(gè)人都是依照組織律進(jìn)行知覺組織的。對(duì)本題來說，學(xué)生受到正方形、平行四邊形等熟悉圖形的影響，遵從熟悉性原則進(jìn)行知覺組織，以致眼睛看到的就是一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形。實(shí)際上，本題中除了正方形和平行四邊形以外，還存在兩個(gè)直角三角形（如圖3）。學(xué)生之所以無法看到這兩個(gè)直角三角形，也是因?yàn)橹X組織。由于兩個(gè)直角三角形的構(gòu)型造成圖形與背景之間的區(qū)分度較小，從而使其難以成為知覺對(duì)象。此外，在格式塔理論中有兩個(gè)重要的術(shù)語，即沖突（conflict）和掩蔽（masking）。[3]學(xué)生看不到兩個(gè)直角三角形的存在，正是由于熟悉性法則戰(zhàn)勝了圖形與背景法則，從而將兩個(gè)直角三角形掩蔽。因此，如果學(xué)生能夠?qū)D形與背景進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使兩個(gè)直角三角形得以呈現(xiàn)，那么即便是沒有學(xué)習(xí)過平行四邊形面積公式，學(xué)生也可以將兩個(gè)三角形重新組織成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖4），進(jìn)而獲得正方形與平行四邊形的面積之和，最后利用“部分—整體”關(guān)系得到平行四邊形的面積。

圖3 兩個(gè)直角三角形構(gòu)型圖

圖4 利用直角三角形解題策略圖

學(xué)生無法擺脫公式的束縛，主要是受到場(chǎng)的影響。格式塔心理學(xué)提出心理場(chǎng)（psychological field）與物理場(chǎng)（physical field）兩個(gè)概念。前者指觀察者心目中的世界，后者指物理學(xué)家研究的世界。個(gè)體的行為與心理場(chǎng)有關(guān)，如果個(gè)體的場(chǎng)與目標(biāo)之間是同質(zhì)的，那么個(gè)體與場(chǎng)之間將處于平衡狀態(tài)；如果個(gè)體的場(chǎng)與目標(biāo)之間是異質(zhì)的，那么個(gè)體將處于不平衡狀態(tài)且具備動(dòng)力特征。當(dāng)個(gè)體處于不平衡狀態(tài)時(shí)，會(huì)對(duì)知覺場(chǎng)進(jìn)行重新組織，從而實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定與平衡。良好的心理場(chǎng)形成時(shí)，問題就迎刃而解了。[4]因此，如果學(xué)生總是能夠使用面積公式解決問題，那么個(gè)體與目標(biāo)之間是同質(zhì)的，個(gè)體與場(chǎng)之間形成穩(wěn)定的、平衡的狀態(tài)。但當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)面積公式不能支持問題解決時(shí)，則個(gè)體與目標(biāo)之間是異質(zhì)的，個(gè)體將處于不平衡狀態(tài)，需要對(duì)知覺信息進(jìn)行重新組織以達(dá)到新的平衡，從而解決問題。

三、破除公式固著的相關(guān)策略

（一）借助幾何直覺，點(diǎn)燃學(xué)生思維

在康德的數(shù)學(xué)哲學(xué)中直覺擁有重要地位，康德認(rèn)為人類所有經(jīng)歷都符合概念和直覺條件，直覺是由時(shí)間與空間強(qiáng)加的，概念是由理解范疇強(qiáng)加的，因此直覺對(duì)于幾何量（magnitude）的認(rèn)知是不可或缺的。[5]教師在進(jìn)行平行四邊形面積的教學(xué)時(shí)，不應(yīng)該將內(nèi)容拆分為“數(shù)方格”“轉(zhuǎn)化圖形”“推導(dǎo)公式”等幾個(gè)板塊后放入袋子內(nèi)等待學(xué)生索取，而應(yīng)該讓學(xué)生能夠依賴幾何直覺，發(fā)現(xiàn)平行四邊形和已有經(jīng)驗(yàn)中的長(zhǎng)方形之間具有內(nèi)在聯(lián)系，從而對(duì)平行四邊形作出重新的組合、改編和匹配。也就是說，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的過程應(yīng)該是學(xué)生根據(jù)結(jié)構(gòu)自主進(jìn)行的轉(zhuǎn)化，而非由教師引領(lǐng)的，因?yàn)閷W(xué)生具備消除困擾、將已有結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為更好的結(jié)構(gòu)的本能。實(shí)際上，良好均衡的知覺場(chǎng)的形成需要問題解決者超越對(duì)于事物表面特征的認(rèn)識(shí)，而領(lǐng)悟到事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。[6]韋特海默在《創(chuàng)造性思維（Productive Thinking）》一書中提到，平行四邊形面積的教學(xué)不在于公式，而在于真正的理解和解決問題的能力。學(xué)生對(duì)該問題的真正理性解決與外部程序解決之間是有很大區(qū)別的。[7]

（二）打破推導(dǎo)固著，建立動(dòng)態(tài)眼光

面積是幾何圖形的屬性之一，而圖形在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中占據(jù)重要地位。早在公元前6 世紀(jì)到公元前4 世紀(jì)，希臘人就對(duì)幾何量給予充分的關(guān)注。圖形對(duì)他們而言既是符號(hào)，也是推理的工具。[8]古希臘哲學(xué)家亞里士多德將量分為連續(xù)量與離散量，包含線、面、體、時(shí)間、空間、數(shù)字、語言這七種量。其中，數(shù)字和語言屬于離散量，而線、面、體、時(shí)間、空間則屬于連續(xù)量。[9]19~20 世紀(jì)，英國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970）在他的著作《論數(shù)與量的關(guān)系》中談及強(qiáng)度量與廣延量，認(rèn)為廣延量是可以表述為“整體=部分+部分”的，而強(qiáng)度量的整體與部分之間是一致的。因此，從量的角度來看，面積既是連續(xù)量，也是廣延量，而幾何圖形既是抽象符號(hào)，又是推理工具。

在教學(xué)實(shí)踐中，教師通常利用“數(shù)方格”和“轉(zhuǎn)化法”來完成面積公式的推導(dǎo)過程。事實(shí)上，這類方法利用了面積作為廣延量的屬性，即通過考慮部分與整體的關(guān)系實(shí)現(xiàn)面積公式的推導(dǎo)。如果將教學(xué)實(shí)踐看作是一架天平，天平的左側(cè)是面積的廣延量屬性，右側(cè)是面積的連續(xù)量屬性，那么顯然這架天平已經(jīng)失去了平衡。認(rèn)識(shí)面積的連續(xù)量屬性，并從運(yùn)動(dòng)變化的角度對(duì)它進(jìn)行構(gòu)建，可以培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)思維。

以學(xué)生學(xué)習(xí)平面圖形面積的整體過程來看，往往是將陌生的圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形，然后推導(dǎo)出新圖形的面積公式。并且嚴(yán)格遵循教科書順序，即“長(zhǎng)方形→平行四邊形→三角形→梯形”。然而，學(xué)習(xí)的道路絕不止一條，如果教師選擇使用固化的方式進(jìn)行課堂教學(xué)，那么學(xué)生則不可避免地形成固化的思維。

除了靜態(tài)的轉(zhuǎn)化、推理活動(dòng)以外，運(yùn)動(dòng)變化的方式同樣適用于幾何圖形的學(xué)習(xí)。比如梯形可以和長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形等圖形實(shí)現(xiàn)公式通用。通過變化梯形的上下底，直到二者相等，可以將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形或長(zhǎng)方形，梯形面積公式中上下底的和也就是平行四邊形或長(zhǎng)方形兩條底邊的和；當(dāng)梯形的上底為0 時(shí)，則轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形，此時(shí)上下底之和轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蔚牡走叄ㄈ鐖D5）。由于梯形的上下底之和與高保持不變，無論以上哪種圖形，面積大小都不會(huì)發(fā)生變化。因此，平行四邊形的面積公式并不是一成不變的，而是可以根據(jù)思考方式不同而產(chǎn)生不同的抽象結(jié)果。

圖5 變化梯形上下底以實(shí)現(xiàn)圖形轉(zhuǎn)換示意圖

平行四邊形面積的學(xué)習(xí)方法除了“數(shù)方格”“轉(zhuǎn)化圖形”“變化梯形的上下底長(zhǎng)度”以外，還可以從“線動(dòng)成面”的角度展開學(xué)習(xí)。如圖6所示，長(zhǎng)方形的面積可以看作是線段EF 由AB 位置沿垂直方向平移至CD位置所形成的軌跡，其大小由線段EF的長(zhǎng)度以及線段AB 到線段CD 之間的距離決定。同理，平行四邊形的面積則可以看作是線段EF由AB位置沿某一角度平移至CD 位置所形成的軌跡，其大小同樣由線段EF的長(zhǎng)度以及線段AB到線段CD之間的距離決定。[10]三角形與梯形的特殊之處是橫向線段EF 在運(yùn)動(dòng)過程中不斷縮小，因此面積大小由橫向線段EF運(yùn)動(dòng)變化的平均值與運(yùn)動(dòng)距離所決定（如圖7）。

圖6 線段運(yùn)動(dòng)形成長(zhǎng)方形、平行四邊形示意圖

圖7 線段運(yùn)動(dòng)形成梯形、三角形示意圖

平行四邊形面積公式的推導(dǎo)是一個(gè)開放性的問題，教學(xué)時(shí)需要打破固化的推導(dǎo)方式，通過設(shè)計(jì)聯(lián)系的、運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)來扭轉(zhuǎn)學(xué)生唯公式化的問題解決方式。

（三）借助課后練習(xí)，鍛煉學(xué)生眼光

課后練習(xí)的作用在于既能鞏固所學(xué)知識(shí)，又能鍛煉學(xué)生的眼光。在當(dāng)前雙減背景下，如何在壓減課后作業(yè)總量的同時(shí)，又能保證創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)？這就要求教師強(qiáng)化作業(yè)的質(zhì)而減少作業(yè)的量。相比以往鋪天蓋地的公式運(yùn)用性題目，教師更應(yīng)該選取能夠鍛煉數(shù)學(xué)眼光與數(shù)學(xué)思維的練習(xí)題。要?jiǎng)?chuàng)造條件培養(yǎng)學(xué)生大膽設(shè)想的習(xí)慣，創(chuàng)設(shè)一些條件不夠充分、具有創(chuàng)造性空間的問題來培養(yǎng)學(xué)生的猜測(cè)能力。比如下面這題（如圖8），學(xué)生可以從圖形的結(jié)構(gòu)出發(fā)，根據(jù)題目的要求將圖形進(jìn)行重組，從而構(gòu)造出新的圖形結(jié)構(gòu)來解決問題（如圖9）。也可以從面積公式的角度考慮，以達(dá)成問題的解決。因此，相比單純的公式運(yùn)用性練習(xí)，教師可以布置開放性強(qiáng)、材料信息不充分、從多個(gè)角度進(jìn)行思考的練習(xí)，進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光。

圖8 材料信息不充分題目示意圖

圖9 材料信息不充分題目的解決策略

四、原因及策略總結(jié)

從上述內(nèi)容可知，學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形面積公式的過程中存在的誤區(qū)包括推導(dǎo)誤區(qū)與應(yīng)用誤區(qū)。推導(dǎo)誤區(qū)體現(xiàn)在課堂教學(xué)中公式的推導(dǎo)方式固化，即只考慮面積的廣延量屬性，采用“數(shù)方格”“轉(zhuǎn)化圖形”等方式推導(dǎo)面積公式，而忽視面積的連續(xù)量屬性，不能以動(dòng)態(tài)的眼光與方式看待該內(nèi)容。公式的應(yīng)用誤區(qū)體現(xiàn)在問題解決過程中凡與之相關(guān)的內(nèi)容都要借用公式解決，而無法對(duì)知覺信息進(jìn)行重新組織與轉(zhuǎn)換，以找到新的解決問題的策略。

造成以上誤區(qū)的原因一方面與教師對(duì)知識(shí)內(nèi)容的理解有關(guān)，另一方面與人的心理場(chǎng)和知覺組織原則相關(guān)。因此，教師要加強(qiáng)對(duì)知識(shí)屬性本身的理解，借助幾何直覺的力量，尋找事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而打破傳統(tǒng)的教學(xué)方式，不斷創(chuàng)新，實(shí)施培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)。此外，思維和推理都依賴于知覺的過程，人的感知過程就是從對(duì)整體廣泛的、模糊的認(rèn)識(shí)到對(duì)具體細(xì)節(jié)的把握，以致呈現(xiàn)出有組織的、清晰的想法。[11]教師可以通過創(chuàng)造與心理場(chǎng)不相符合的行為目標(biāo)而促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生不平衡狀態(tài)，從而打破思維定式，尋找新的解決問題的策略。