APOS理論指導(dǎo)下的概念起始課教學(xué)

張云輝 周遠方

摘? 要：函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線，函數(shù)概念起始課對整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有奠基性作用，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有基礎(chǔ)性作用. 以APOS理論為指導(dǎo)，設(shè)計單元起始課的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的函數(shù)概念抽象過程，建立完整的函數(shù)概念，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);APOS理論;函數(shù)概念;教學(xué)設(shè)計

概念課的教學(xué)是教師需要突破的難點，杜賓斯基在皮亞杰“自反抽象”理論的基礎(chǔ)上，提出了APOS理論，用以刻畫學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程. APOS理論的研究核心為“學(xué)生如何學(xué)數(shù)學(xué)”及“如何設(shè)計教學(xué)計劃幫助學(xué)生完成學(xué)習(xí)”.

本文以函數(shù)概念起始課為載體，在APOS理論的指導(dǎo)下，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo)進行教學(xué)設(shè)計，探索數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在課堂中落地的策略與方法.

一、理論引路，讓概念課的教學(xué)有章可循

本節(jié)課以杜賓斯基APOS理論為依據(jù)設(shè)計教學(xué)過程，具體包括以下四個階段.

第一階段：操作（Action）. 創(chuàng)設(shè)情境“話”函數(shù). 針對本節(jié)課的主要授課內(nèi)容，教師利用數(shù)學(xué)情境回顧初中所學(xué)函數(shù)，讓學(xué)生完成對概念的初步認識，既能將授課主體內(nèi)容——函數(shù)的概念有效呈現(xiàn)給學(xué)生，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

第二階段：過程（Process）. 實例分析“生”函數(shù). 根據(jù)學(xué)生在初中階段對函數(shù)的初步學(xué)習(xí)和認識，通過實例有序?qū)嵤┮龑?dǎo)啟發(fā)，激發(fā)學(xué)生的思維，逐步加深學(xué)生對函數(shù)的認識，進一步抽象出函數(shù)的概念.

第三階段：對象（Object）. 剖析概念“辨”函數(shù). 在完成對概念的感知、認知之后，需要對形成的概念進行更深層次的理解，教師要有針對性地設(shè)計問題，讓學(xué)生在第二階段的基礎(chǔ)上，進行更為復(fù)雜的運算和操作，突出學(xué)生對概念本質(zhì)的理解.

第四階段：圖式（Scheme）. 經(jīng)歷實踐“用”函數(shù)，總結(jié)反思“悟”函數(shù). 前三個階段，即對函數(shù)的再認識、抽象函數(shù)概念（用集合對應(yīng)語言描述函數(shù)）和對函數(shù)概念本質(zhì)的理解等過程. 將前三個階段及學(xué)生初中所學(xué)函數(shù)概念的認知基礎(chǔ)進行整合，在學(xué)生大腦中形成新的認知結(jié)構(gòu)，并運用新的認知結(jié)構(gòu)解決與函數(shù)概念有關(guān)的新問題，從而促進學(xué)生認知水平的提升.

基于以上分析，構(gòu)建本節(jié)課的教學(xué)流程如圖1所示.

二、實踐求真，讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在課堂落地生根

1. 創(chuàng)設(shè)情境“話”函數(shù)

活動1：播放視頻.讓學(xué)生觀察“天宮二號”發(fā)射、“復(fù)興號”高速列車和節(jié)慶煙花燃放等視頻情境，從中發(fā)現(xiàn)隱含的函數(shù)關(guān)系.

問題1：在初中，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念. 從剛才的視頻內(nèi)容中，你能發(fā)現(xiàn)哪些函數(shù)關(guān)系呢？

【評析】利用視頻創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生回顧初中所學(xué)習(xí)的函數(shù)，讓學(xué)生完成對概念的初步認識，既能將授課主體內(nèi)容——函數(shù)的概念有效呈現(xiàn)給學(xué)生，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

問題2：正方形的周長[l]與邊長[x]的對應(yīng)關(guān)系是[l=4x]，[l]是關(guān)于[x]的函數(shù). 這個函數(shù)與正比例函數(shù)[y=4x]有哪些相同點和不同點？

追問：[y=1]是函數(shù)嗎？

【評析】回顧初中所學(xué)函數(shù)實例，讓學(xué)生指出自變量，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自變量的范圍. 有的函數(shù)中沒有明顯的自變量[x]，由此引發(fā)學(xué)生的認知沖突，強調(diào)高中繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)概念的必要性.

情境：某“復(fù)興號”高速列車加速到[350 km / h]后保持勻速運行半小時.

由學(xué)生得出這段時間內(nèi)列車行進的路程[s]（單位：km）與運行時間[t]（單位：h）的關(guān)系，并用初中所學(xué)函數(shù)的概念描述[s]與[t]的函數(shù)關(guān)系. 教師逐步引導(dǎo)學(xué)生用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù).

【評析】實際問題情境作為示范. 學(xué)生用初中所學(xué)的函數(shù)的概念描述函數(shù)關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生用集合與對應(yīng)語言描述函數(shù)關(guān)系，特別要注重集合語言的自然引入. 以此強化集合語言的作用，突出使用集合語言簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對象及研究范圍的工具價值.

2. 實例分析“生”函數(shù)

問題3：某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天. 如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，而且每周付一次工資. 那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資[w]（單位：元）是他工作天數(shù)[d]的函數(shù)嗎？

問題4：圖2是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Quality Index，簡稱AQI）變化圖. 如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時刻[t]的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的值[I]？你認為這里的[I]是[t]的函數(shù)嗎？

問題5：國際上常用恩格爾系數(shù)[r r=食物支出金額總支出金額]反映一個地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高. 下表是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況. 從中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來越高.

你認為按照上表給出的對應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)[r]是年份[y]的函數(shù)嗎？如果是，你會用怎樣的語言來刻畫這個函數(shù)？

學(xué)生以小組為單位，仿照問題情境，分別用初中函數(shù)概念、集合語言與對應(yīng)關(guān)系研究上述三個問題實例.

【評析】學(xué)生自主點評各小組成果，并評價用變量說和集合對應(yīng)語言描述函數(shù)關(guān)系的不同，體驗到初中所學(xué)函數(shù)“變量說”的不完整性. 用對比的學(xué)習(xí)方式，既能使學(xué)生的學(xué)習(xí)由初中順利過渡到高中，也能更好地體現(xiàn)用集合語言和對應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)的優(yōu)越性，為歸納共性、得出新的函數(shù)概念奠定基礎(chǔ).

活動2：學(xué)生以小組為單位，針對問題情境及上述三個問題，繼續(xù)討論并歸納用集合語言與對應(yīng)語言描述函數(shù)的共同點，在初中“變量說”觀念下的函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，進一步用集合語言和對應(yīng)關(guān)系完善函數(shù)的概念，得出新的定義.

【評析】章建躍博士曾說數(shù)學(xué)概念的獲得可以從大量同類事物的不同例證中找到共同的關(guān)鍵特征. 學(xué)生有能力歸納共同點，但是要得出新的函數(shù)定義非常困難. 而數(shù)學(xué)追求一般化和簡單的表達形式，最好的方式就是符號. 學(xué)生進入高中后，會發(fā)現(xiàn)與初中數(shù)學(xué)相比，高中數(shù)學(xué)最大的變化是符號變多了，符號也更加抽象了. 教師以初中抽象一次函數(shù)的經(jīng)歷為例，引導(dǎo)學(xué)生用[y=fx，x∈A]表示函數(shù).

活動3：函數(shù)概念的形成是一個長期發(fā)展的過程，一起欣賞一段函數(shù)史話.

【評析】學(xué)習(xí)新概念之后，融入數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生認識到函數(shù)概念的發(fā)展是長期不斷完善的過程，培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)展的眼光看世界.

3. 剖析概念“辨”函數(shù)

活動4：給出兩個辨析問題.

（1）集合[A]是由40名學(xué)生組成的集合，集合[B]是由40個學(xué)號組成的集合，對應(yīng)關(guān)系[f]為每名學(xué)生對應(yīng)一個學(xué)號，那么[f：A→B]是否為從集合[A]到集合[B]的函數(shù)？如果是，定義域、值域各是什么？

（2）集合[A]，[B]與對應(yīng)關(guān)系[f]如圖3所示.

[f：A→B]是否為從集合[A]到集合[B]的函數(shù)？定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域各是什么？當(dāng)對應(yīng)關(guān)系[f]分別如圖4所示，[f：A→B]還是從集合[A]到集合[B]的函數(shù)嗎？如果是，定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系各是什么？

【評析】借助好判斷、易出錯的例子，讓學(xué)生通過辨析了解函數(shù)的三要素——定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域，從而使學(xué)生加深對函數(shù)的認識.

4. 經(jīng)歷實踐“用”函數(shù)

活動5：給出兩個應(yīng)用.

（1）用新定義解釋一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù).

（2）試構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式[y=x10-x]來描述.

【評析】讓學(xué)生用新學(xué)定義解釋初中所學(xué)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，加深學(xué)生對定義的理解和認識. 學(xué)生通過自主構(gòu)造問題情境，進一步體會函數(shù)表達式的廣泛適用性，感受數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活.

5. 總結(jié)反思“悟”函數(shù)

活動6：從知識、方法、思想、應(yīng)用等方面構(gòu)建函數(shù)概念起始課學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)圖，如圖5所示. 同時，邀請高三學(xué)生現(xiàn)身說法，分享函數(shù)學(xué)習(xí)心得.

【評析】先由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的收獲，然后教師帶領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識、文化背景、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)應(yīng)用等方面總結(jié)本節(jié)課. 作為起始課，邀請高三學(xué)生現(xiàn)身說法，使得學(xué)生學(xué)習(xí)的目的更加明晰. 函數(shù)概念及其反映的思想方法不僅是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)其他學(xué)科的基礎(chǔ)，更是解決問題的工具.

6. 感悟哲思“賞”函數(shù)

活動7：教師引導(dǎo)學(xué)生感悟歷史上很多數(shù)學(xué)家也是哲學(xué)家，如羅素、畢達哥拉斯、萊布尼茨等. 可見，數(shù)學(xué)和哲學(xué)關(guān)系密切. 2018年某大學(xué)自主招生考試題目就是“談?wù)剶?shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系”. 我們可以看到，函數(shù)概念的“對應(yīng)”的思想具有哲學(xué)上的發(fā)生真理性認識的認識論意蘊，是哲學(xué)上發(fā)生真理性認識的一個現(xiàn)實的實例，體現(xiàn)了使用數(shù)學(xué)的方法探究、發(fā)現(xiàn)真理性認識的精神. 同時，函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進行研究，體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點. 這些都是函數(shù)與哲學(xué)關(guān)系的具體體現(xiàn).

【評析】讓學(xué)生賞析哲學(xué)觀念下的函數(shù)概念，辯證思維引領(lǐng)，體驗學(xué)科之間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓一節(jié)數(shù)學(xué)課插上哲學(xué)的翅膀.

三、總結(jié)反思，讓概念教學(xué)藝術(shù)發(fā)揚光大

函數(shù)概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點之一. 對于教師，教學(xué)設(shè)計和實踐難;對于學(xué)生，對概念的認知和理解難. 為突破這些難點，需要教師以學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo)，認真研究學(xué)生的認知規(guī)律，為教學(xué)設(shè)計、教學(xué)活動提供依據(jù). 本節(jié)課就是以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為引領(lǐng)，以APOS理論為依據(jù)，精心設(shè)計六個教學(xué)環(huán)節(jié)，精心選擇教學(xué)素材，精心組織教學(xué)活動.

1. 理論引路

本節(jié)課以杜賓斯基APOS概念學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo)，設(shè)計六個教學(xué)環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣，精心設(shè)計問題串，驅(qū)動學(xué)生建構(gòu)概念，歸納、生成概念，有效實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo).

2. 教材奠基

“用教材教”“創(chuàng)造性使用教材”是教師的必備能力. 本節(jié)課對教材細節(jié)的處理體現(xiàn)在以下三個方面.

（1）在材料選取方面，注重從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實問題出發(fā)引入內(nèi)容，有效利用初中教材和高中教材的銜接點，特別注重突出新版教材的特點.

（2）在初、高中銜接方面，以初中“變量說”為暗線，以高中“對應(yīng)說”為明線，明暗相間，相得益彰，形成高中函數(shù)研究的先行組織者，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體性.

（3）在章節(jié)知識聯(lián)系方面，充分發(fā)揮“章引言”在起始課中的作用. 章引言是起始課教學(xué)的指路明燈. 本節(jié)課利用章引言很好地回答了為什么學(xué)、學(xué)什么、怎么學(xué)等問題.

3. 以文化人

關(guān)注數(shù)學(xué)文化滲透，把函數(shù)概念的學(xué)習(xí)融入“天宮二號”發(fā)射、“復(fù)興號”高速列車和節(jié)慶煙花燃放等實例背景中去，通過了解中外數(shù)學(xué)名家對函數(shù)發(fā)展的貢獻，增強學(xué)生的文化自信和民族自豪感，厚植愛國主義情懷.

4. 素養(yǎng)育人

核心素養(yǎng)不只靠“講”，而要靠“養(yǎng)”. 教師創(chuàng)設(shè)情境，把課堂交給學(xué)生，學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)，經(jīng)歷概念生成的過程，讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在課堂落地生根.

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