例談函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中ω取值范圍的確定

摘 要：本文介紹了三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中已知函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)圖象的對(duì)稱軸（或?qū)ΨQ中心）、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象求實(shí)數(shù)ω取值范圍的五種類型和求解方法，幫助學(xué)生總結(jié)題型、歸納解題方法，對(duì)提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有指導(dǎo)作用.

關(guān)鍵詞：取值范圍;解題方法;核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）04-0061-03

在三角函數(shù)問題中，經(jīng)常會(huì)碰到關(guān)于函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中實(shí)數(shù)ω取值范圍的確定問題，此問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，又是高考中的熱點(diǎn)，對(duì)此本文談?wù)剬?shí)數(shù)ω取值范圍確定的方法.1 已知函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)數(shù)ω取值范圍

例1 若函數(shù)f（x）=2sinωx（ω>0）在區(qū)間

[-π2，2π3]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)ω取值范圍.

解法1 因?yàn)閤∈[-π2，2π3]（ω>0），

所以ωx∈[-ωπ2，2πω3].

因?yàn)閒（x）=2sinωx在區(qū)間[-π2，2π3]上單調(diào)遞增，

所以-ωπ2≥-π2且2πω3≤π2，ω>0，

解得0<ω≤34.

故實(shí)數(shù)ω取值范圍為（0，34].

解法2 畫出函數(shù)f（x）=2sinωx（ω>0）的圖象如圖1所示，要使f（x）在[-π2，2π3]上單調(diào)遞增，只需[-π2，2π3][-π2ω，π2ω]，且ω>0.

解得0<ω≤34.

實(shí)數(shù)ω取值范圍為（0，34].

解法3 由2kπ-π2≤ωx≤2kπ+π2（k∈Z），得2kπω-π2ω≤x≤2kπω+π2ω.

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπω-π2ω，2kπω+π2ω]（k∈Z）.

由題意知[-π2，2π3][2kπω-π2ω，2kπω+π2ω]（k∈Z，ω>0）.

從而有-π2ω≤-π2且π2ω≥2π3（ω>0）.

解得0<ω≤34.

故實(shí)數(shù)ω取值范圍為（0，34].

點(diǎn)評(píng) 已知函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)數(shù)ω取值范圍的三種方法.（1）子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式（組）求解;（2）反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式（組）求解;（3）周期性法：由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱中心的距離不超過14個(gè)周期，列不等式（組）求解.

2 已知函數(shù)的最值求實(shí)數(shù)ω取值范圍

例2 函數(shù)f（x）=2sin（ωx+π4）（ω>0），當(dāng)x∈[0，1]上f（x）恰好有3個(gè)最高點(diǎn)，求實(shí)數(shù)ω取值范圍.

解析 因?yàn)閤∈[0，1]，ω>0，

所以（ωx+π4）∈[π4，ω+π4].

又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象在區(qū)間[0，1]上f（x）恰好有3個(gè)最高點(diǎn)，所以4π+π2≤ω+π4<6π+π2，（ω>0），解得17π4≤ω<25π4.

故實(shí)數(shù)ω取值范圍是[17π4，25π4）.

點(diǎn)評(píng) 類比基本函數(shù)y=sinx在R上取得最大值時(shí)的情況，易知只需右端點(diǎn)滿足4π+π2≤ω+π4<6π+π2即可.因此對(duì)基本函數(shù)y=sinx，y=cosx和y=tanx的圖象和性質(zhì)要相當(dāng)熟練才能夠快速解題.

3 已知函數(shù)圖象的對(duì)稱軸（或?qū)ΨQ中心）求實(shí)數(shù)ω取值范圍

例3 已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+π6）（ω>0）的圖象在（0，π）上有且僅有兩條對(duì)稱軸，求實(shí)數(shù)ω取值范圍.

解析 令ωx+π6=kπ+π2（k∈Z），

則x=kπ+π3ω（k∈Z）.

因?yàn)閒（x）的圖象在（0，π）上有且僅有兩條對(duì)稱軸，所以只需同時(shí)滿足下列條件（k-1）π+π3ω≤0，kπ+π3ω>0，（k+1）π+π3ω<π，（k+2）π+π3ω≥π，且ω>0和k∈Z，則k-23≤0，k+13>0，ω>k+43，ω≤k+73（ω>0，k∈Z）.

故ω∈（43，73].

點(diǎn)評(píng) 求解三角函數(shù)y=sin（ωx+φ）或y=cos（ωx+φ）（ω>0）的周期性、奇偶性、對(duì)稱性問題，其實(shí)質(zhì)都是根據(jù)基本函數(shù)y=sinx或y=cosx的對(duì)稱性，利用整體代換的思想求解.

4 已知函數(shù)的零點(diǎn)求實(shí)數(shù)ω取值范圍

例4 已知向量a=（sinω2x，sinωx），b=（sinω2x，12），其中ω>0，若函數(shù)f（x）=a·b-12在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)ω取值范圍.

解析 f（x）=sin2ω2x+12sinωx-12

=1-cosωx2+12sinωx-12

=12（sinωx-cosωx）

=22sin（ωx-π4），

函數(shù)f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有零點(diǎn)，則周期T≥2π，即2πω≥2π，解得0<ω≤1.

當(dāng)x∈（π，2π）時(shí)，ωx-π4∈（ωπ-π4，2ωπ-π4），

所以ωπ-π4≥kπ且2ωπ-π4≤（k+1）π，（k∈Z），

解得k+14≤ω≤k2+58（k∈Z）.

因?yàn)?<ω≤1，

當(dāng)k=0時(shí)，14≤ω≤58;

當(dāng)k=-1時(shí)，0<ω≤18.

所以ω∈（0，18]∪[14，58].

點(diǎn)評(píng) 利用向量數(shù)量積公式以及兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡得到函數(shù)解析式，利用函數(shù)的零點(diǎn)以及函數(shù)的周期T≥2π（關(guān)鍵點(diǎn)），列出不等式求解即可.

5 已知函數(shù)的圖象求實(shí)數(shù)ω取值范圍

例5

設(shè)函數(shù)f（x）=cos（ωx+π6）（ω>0）在[-π，π]上的圖象大致如圖2，求實(shí)數(shù)ω取值范圍.

解析 由函數(shù)的圖象可知

f（-4π9）=

cos（-4ωπ9+π6）=0（題眼），

結(jié)合余弦函數(shù)圖象可知-4ωπ9+π6=-π2（解題關(guān)鍵點(diǎn)），

解得ω=32.

點(diǎn)評(píng) 利用余弦函數(shù)圖象的“五點(diǎn)作圖法”確定函數(shù)所對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)，避免討論.

從以上求實(shí)數(shù)ω的方法中體會(huì)到，函數(shù)y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）與y=sinx，y=cosx有著緊密的聯(lián)系，函數(shù)y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的性質(zhì)正是在y=sinx，y=cosx的基礎(chǔ)上用整體代換的思想延伸推廣而來.教學(xué)中和學(xué)生一起運(yùn)用不同方法，感受各種方法的異同，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，開拓學(xué)生的視野，更能讓學(xué)生從不同角度掌握函數(shù)y=sinx，y=cosx的性質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生知識(shí)的遷移與拓展的能力.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李 璟]