“等差數(shù)列（第1課時(shí)）”的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)反思

趙新玉 田甜

[摘 ?要] 等差數(shù)列是學(xué)生探究數(shù)列的開始，無論是知識(shí)的學(xué)習(xí)，還是方法的探究，其對(duì)學(xué)生后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)都有著積極的指導(dǎo)意義. 文章以“等差數(shù)列（第1課時(shí)）”為例，嘗試進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)反思，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 等差數(shù)列;教學(xué)設(shè)計(jì);教學(xué)反思

生活中的等差數(shù)列無處不在，等差數(shù)列是學(xué)生探究數(shù)列的開始，無論是知識(shí)的學(xué)習(xí)，還是方法的探究，其對(duì)學(xué)生后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)都有著積極的指導(dǎo)意義.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：理解等差數(shù)列概念，能在具體的問題情境中找出等差關(guān)系，初步掌握等差數(shù)列的證明方法.

過程與方法：經(jīng)歷等差數(shù)列概念的揭示，學(xué)會(huì)觀察、分析、探索、歸納和推理等方法，樹立函數(shù)與方程、合情推理等基本數(shù)學(xué)思想.

情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過引例激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情;讓學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中感悟數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情;通過對(duì)數(shù)列的深入研究，使學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的變化形態(tài)，養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好的思維習(xí)慣，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì).

2. 教學(xué)的重難點(diǎn)

重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念和等差數(shù)列的判定.

難點(diǎn)：等差數(shù)列的“等差”特點(diǎn)及等差數(shù)列的證明.

3. 教學(xué)過程

（1）創(chuàng)設(shè)問題情境——引入概念.

引例1：（新聞錄音）2001年北京時(shí)間7月13日22：10，此刻是中國(guó)體育史上永不磨滅的時(shí)刻，一個(gè)全國(guó)人民翹首以盼的特大喜訊降臨中華大地——2008年第29屆奧運(yùn)會(huì)的主辦權(quán)花落中國(guó)，花落北京. 這是我國(guó)自1992年以來歷經(jīng)9年、兩次申辦奧運(yùn)會(huì)艱辛努力的成果，它向世界昭示：中國(guó)向體育大國(guó)又邁進(jìn)了一大步.

奧運(yùn)會(huì)每四年舉行一次，你能倒推出第一屆奧運(yùn)會(huì)是哪一年嗎？

引例2：為了便于與家長(zhǎng)、同學(xué)聯(lián)系，多數(shù)同學(xué)都備有手機(jī). 某電信公司的一種計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：通話時(shí)間不超過3分鐘，通話費(fèi)為0.2元，以后每分鐘的通話費(fèi)為0.1元，那么通話費(fèi)由小到大的次序?yàn)椋?0.2，0.2+0.1，0.2+0.1×2，0.2+0.1×3，….

對(duì)于通話次數(shù)多而長(zhǎng)的同學(xué)，每月的話費(fèi)較大，為了節(jié)省話費(fèi)，某同學(xué)采用包月發(fā)短信的方式與家長(zhǎng)聯(lián)系.已知每月的短信包月費(fèi)是10元（200條），若他每月發(fā)短信不超過200條，則他每月的短信費(fèi)為多少元？

設(shè)計(jì)意圖：這里對(duì)原教材的兩個(gè)引例作了適當(dāng)?shù)男薷?，使問題情境更具生活化和現(xiàn)實(shí)意義，大大激發(fā)了學(xué)生的求知欲，為等差數(shù)列概念的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)了良好的學(xué)習(xí)氛圍.

（2）學(xué)生活動(dòng)——探求特征.

同學(xué)們，你能用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述上面數(shù)列的共同特點(diǎn)嗎？

學(xué)生通過討論、交流，回答以下問題（問題組1），不斷完善對(duì)等差數(shù)列概念的敘述.

問題組1：①1，3，5，6，12是等差數(shù)列嗎？②1，3，4，5，6，7是等差數(shù)列嗎？③1，2是等差數(shù)列嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在概念的產(chǎn)生過程中培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，通過反例的辨析，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性.

（3）建構(gòu)數(shù)學(xué)理論——形成概念.

①等差數(shù)列的定義：一般地，若某數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，則該數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）.

②定義分析：第一，上述定義中的關(guān)鍵字或關(guān)鍵詞是什么？ 第二，回到引例，請(qǐng)你分別說出相應(yīng)數(shù)列的首項(xiàng)和公差. 第三，試想等差數(shù)列的公差的范圍是什么，舉例說明. 第四，當(dāng)公差d=0時(shí)，這個(gè)等差數(shù)列是什么數(shù)列？當(dāng)d>0，d<0時(shí)呢？（回到問題情境進(jìn)行說明）

設(shè)計(jì)意圖：回歸引例，發(fā)揮問題情境的作用. 從引例出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的推理能力. 在解決問題的過程中，養(yǎng)成自主探究、合作、交流等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

③（幻燈片）關(guān)于等差數(shù)列的數(shù)學(xué)史：在1858年，蘇格蘭埃及學(xué)家發(fā)現(xiàn)，大約在公元前1650年的萊因德紙草書上就記載著等差數(shù)列，即10人要分10斗玉米，從第二人開始，每人所得玉米依次比前一人少. 在我國(guó)出土于春秋至戰(zhàn)國(guó)時(shí)代楚國(guó)的銅環(huán)權(quán)的重量大致是按等差數(shù)列來配置的，我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》（公元前2世紀(jì)）上有“七衡圖”[1]……這些都記載著人們當(dāng)時(shí)研究等差數(shù)列的成果，被贊譽(yù)為“數(shù)字推理的第一思維”.

設(shè)計(jì)意圖：通過融入數(shù)學(xué)史，滲透數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化，以此來激發(fā)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的探究興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神.

（4）等差數(shù)列的等價(jià)形式.

問題組2：①上述定義用的是文字語(yǔ)言，用符號(hào)語(yǔ)言怎么表示？（a-a=d）

②n應(yīng)滿足什么條件？（n≥2，n∈N*）

③若n∈N*對(duì)所有等式都成立，則a-a=d可以改為何種形式？?jī)墒降墓残允鞘裁?？（a-a=d）

④我們能否跳出關(guān)于d的思維定式，得到其他的變形公式？

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)問題組2的思考，學(xué)生充分認(rèn)識(shí)了用符號(hào)語(yǔ)言表示的等差數(shù)列，學(xué)會(huì)了自然語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化.

結(jié)論：等差數(shù)列{a}？圳a-a=d（n≥2，n∈N*）？圳a=a+d（n≥2，n∈N*）？圳a-a=a-a（n≥2，n∈N*），即a=.

強(qiáng)調(diào)：等差數(shù)列{a}？圳a-a=d（n≥2，n∈N*）？圳a=中“？圳”的可逆性. 從左到右是等差數(shù)列的性質(zhì)，從右到左是等差數(shù)列的判定.

（5）數(shù)學(xué)運(yùn)用——鞏固新知.

例1 （搶答題）判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列，若是，請(qǐng)指出此數(shù)列的首項(xiàng)和公差.

①1，1，1，1;

②4，7，10，13，16;

③-3，-2，-1，1，2，3.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生加深對(duì)等差數(shù)列概念的理解.

例2 求出下列等差數(shù)列中的未知項(xiàng)：①3，a，5;②3，b，c，-9.

設(shè)計(jì)意圖：逆用等差數(shù)列的定義來解決問題，深刻理解定義的可逆性和變形公式.

例3 已知數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式是a=2n-1，則{a}是等差數(shù)列嗎？若是，請(qǐng)證明;若不是，請(qǐng)說明理由. 追問：若通項(xiàng)公式是a=kn+b呢？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)會(huì)等差數(shù)列的判定和證明，并初步認(rèn)識(shí)等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的關(guān)系，為后續(xù)的關(guān)系研究做好必要的準(zhǔn)備.

例4 （探究題）等差數(shù)列{a}的公差是d，那么下列數(shù)列是否是等差數(shù)列？如果是等差數(shù)列，請(qǐng)說出它們的公差.

①ka，ka，ka，…，ka，…;②a+a，a+a，a+a，a+a，…，a+a，….

③你能在等差數(shù)列{a}的基礎(chǔ)上繼續(xù)構(gòu)造出新的等差數(shù)列嗎？這些等差數(shù)列有何規(guī)律？

設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)等差數(shù)列概念的理解，掌握等差數(shù)列的判定方法和分類討論思想. 以開放題的形式研究問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和歸納推理的能力.

（6）回顧反思——提高認(rèn)識(shí).

提出問題：這節(jié)課你學(xué)到了什么？請(qǐng)大家積極回答，互相補(bǔ)充，共同提高.

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生從三維目標(biāo)上進(jìn)行概括總結(jié). 通過總結(jié)，提高學(xué)生的概括能力、表達(dá)能力和合作探究能力.

教學(xué)反思

1. 靈活處理新教材

教材是無聲的，教師切不可照抄照搬，信奉“拿來主義”;教師應(yīng)該“因地制宜”，在充分理解和深刻領(lǐng)會(huì)教材的設(shè)計(jì)意圖的基礎(chǔ)上，加以個(gè)性化改編，讓素材更引人入勝[2]. 比如，本課中關(guān)于通話費(fèi)、短信費(fèi)的設(shè)計(jì)要因地因時(shí)而異，因此可以進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整;問題情境中舉例的等差數(shù)列都是遞增的，不利于概括等差數(shù)列的共性，因此通過倒推奧運(yùn)會(huì)舉辦的年份和支付短信包月費(fèi)，引出遞減數(shù)列和常數(shù)列，有利于揭示等差數(shù)列的本質(zhì)特征;同時(shí)，從申奧的簡(jiǎn)單歷程中引出關(guān)于奧運(yùn)會(huì)的知識(shí)，豐富數(shù)學(xué)的文化背景，以“我”為當(dāng)事人的身份加入引例2，可有效增加現(xiàn)實(shí)感.

2. 多途徑培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在新課標(biāo)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一個(gè)相當(dāng)重要的任務(wù)，它不僅應(yīng)落實(shí)于學(xué)習(xí)新知的過程中，更應(yīng)貫穿課堂教學(xué)的整個(gè)過程. 本節(jié)課通過兩個(gè)引例的研究，讓學(xué)生經(jīng)歷了“再創(chuàng)造”的過程;通過問題組的設(shè)置，培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性;通過開放式問題的探究，拓展了學(xué)生的發(fā)散性思維;通過申奧成功情節(jié)的引入，激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣;通過等差數(shù)列數(shù)學(xué)史的介紹，增加了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí);通過問題的討論、交流，培養(yǎng)了學(xué)生合作探究的能力[3].

參考文獻(xiàn)：

[1] ?張宗余. 千淘萬(wàn)漉雖辛苦 吹盡黃沙始到金——談“等差數(shù)列”概念課教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 中小學(xué)教材教學(xué)，2004（27）：16-21.

[2] ?王德昌. 新課程理念下數(shù)學(xué)教材處理的“十化”策略[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（05）：26-28.

[3] ?宋永全. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透核心素養(yǎng)的策略——以《等差數(shù)列》教學(xué)為例[J]. 廣西教育，2020（18）：106-107.