“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”的教學(xué)思考

[摘 ?要] 筆者于2020年12月1日至12月4日參加了全國第十屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動(dòng)，課題是“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”. 教學(xué)中，筆者淡化特殊技巧，回歸通性通法，圍繞數(shù)學(xué)本質(zhì)，設(shè)計(jì)梯度問題，引發(fā)深度思考，引導(dǎo)學(xué)生探究. 最后，給出了筆者自己的一些教學(xué)思考.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;統(tǒng)一定義;深度

中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)于2020年12月1日至12月4日在福建省廈門市舉辦了全國第十屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動(dòng)，筆者代表安徽省參賽，課題是“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”，本節(jié)課得到了在場(chǎng)的專家評(píng)委與觀摩教師的較高評(píng)價(jià).

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 復(fù)習(xí)回顧 鋪墊新知

師：同學(xué)們，我們現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)習(xí)了三種圓錐曲線，你還記得是怎樣繪制它們的嗎？我們一起來重溫一下.

師生活動(dòng)：教師動(dòng)態(tài)演示三種圓錐曲線的繪制過程，而后請(qǐng)學(xué)生回答三種圓錐曲線的定義（第一定義），提醒學(xué)生注意限制條件.

設(shè)計(jì)意圖：一方面，動(dòng)態(tài)演示三種圓錐曲線的繪制過程，讓學(xué)生親身體會(huì)定義中各要素之間的關(guān)系，這樣學(xué)生就有了對(duì)有關(guān)定義的直觀感受，解題時(shí)回憶再現(xiàn)圓錐曲線的概念就變得輕而易舉了. 這種在理解的基礎(chǔ)上記住的定義印象更深刻，記憶保持得更持久. 另一方面，為下一步拋物線、橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)做好鋪墊.

2. 回歸教材 二次開發(fā)

（1）引導(dǎo)探究.

師：我們來回顧一下圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，以拋物線為例：首先建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），由拋物線的定義得到MF=d（課件演示），然后將各點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式，得到等式=x--，化簡(jiǎn)得y2=2px（教師板書），加上限制條件p>0.

師生活動(dòng)：總結(jié)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：建—設(shè)—限—代—化. 建：建立平面直角坐標(biāo)系;設(shè)：設(shè)立動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo);限：限制條件;代：代入等量關(guān)系式;化：化簡(jiǎn).

設(shè)計(jì)意圖：了解求曲線軌跡（方程）的一般步驟，掌握通性通法，同時(shí)為后面的問題探究進(jìn)一步做好鋪墊.

（2）自主探究.

師：請(qǐng)大家仔細(xì)閱讀教材中橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程（課件展示教材內(nèi)容），此推導(dǎo)過程出現(xiàn)了一個(gè)式子a2-cx=a，與拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程出現(xiàn)的一個(gè)式子=x--很相似，能否將其變形成類似的結(jié)構(gòu)呢？下面我們來探究一下這兩個(gè)等式的關(guān)聯(lián).

對(duì)等式a2-cx=a進(jìn)行變形：兩邊同時(shí)除以a，得=a-x①，對(duì)①式繼續(xù)變形得=-x，即=②.

師：若作直線l：x=，式②有什么幾何意義呢？

設(shè)計(jì)意圖：利用等式結(jié)構(gòu)的相似性，引導(dǎo)學(xué)生觀察，等式=1和等式=的左邊都是動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比，而兩個(gè)等式的右邊均是其離心率，這樣引發(fā)學(xué)生深度思考：這是巧合嗎？?jī)纱巫冃蔚倪^程給了學(xué)生直觀感受——在進(jìn)行解析幾何學(xué)習(xí)時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合，認(rèn)識(shí)到式子的幾何意義，這對(duì)學(xué)生在解析幾何中解題意識(shí)的培養(yǎng)有著重要的作用.

（3）自發(fā)探究.

師：類比上述的推導(dǎo)過程，在雙曲線中是否也會(huì)有類似的結(jié)論呢？（課件展示教材內(nèi)容）根據(jù)等式，你是否也能得到與上述等式（=1和=）相同結(jié)構(gòu)的表達(dá)式？請(qǐng)嘗試一下.

設(shè)計(jì)意圖：在前面兩個(gè)問題研究的基礎(chǔ)上，激發(fā)學(xué)生自發(fā)探究雙曲線類似規(guī)律的結(jié)構(gòu)式=，讓學(xué)生自己觀察得出：等式的左邊仍是動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比，而等式的右邊是離心率，原來這一切都不是巧合.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，從而歸納總結(jié)出圓錐曲線的統(tǒng)一定義，體驗(yàn)到成功的喜悅.同時(shí)，讓學(xué)生自發(fā)地寫出化簡(jiǎn)過程，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

3. 抽象概括 形成概念

師生總結(jié)，形成概念：

（1）文字語言.

平面上到一定點(diǎn)F的距離和到一定直線l的距離之比為一個(gè)常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線.其中定點(diǎn)F在定直線l外，此時(shí)點(diǎn)F是焦點(diǎn)，l是相應(yīng)的準(zhǔn)線，e是離心率（e>1時(shí)，軌跡是雙曲線;e=1時(shí)，軌跡是拋物線;0<e<1時(shí)，軌跡是橢圓）.

（2）符號(hào)語言.

設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，符號(hào)表示為=e，也可以表示為MF=ed.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓時(shí)，其焦點(diǎn)為（c，0），相應(yīng)的準(zhǔn)線是x=;焦點(diǎn)為（-c，0），相應(yīng)的準(zhǔn)線是x=-;焦點(diǎn)為（0，c），相應(yīng)的準(zhǔn)線是y=;焦點(diǎn)為（0，-c），相應(yīng)的準(zhǔn)線是y= -. 雙曲線的情況類似，這里不再贅述.

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)三種圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程中的一個(gè)等式變形，首先讓學(xué)生意識(shí)到，在進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)，要回歸教材，敢于探究課本表象下隱含的東西.同時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷上述探究活動(dòng)的過程，教會(huì)學(xué)生研究問題的一般思路與方法，有助于進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)概念的深度理解，更為重要的是，能夠培養(yǎng)他們?cè)趯?shí)踐中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力. 這種以知識(shí)為載體、以探究為主線、以能力為目標(biāo)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)正是我們目前應(yīng)該追求的.

4. 辨析概念 例題互動(dòng)

學(xué)生板書，教師點(diǎn)評(píng).

設(shè)計(jì)意圖：以方程判斷曲線類型時(shí)，最常見的方法就是直接法和定義法. 直接法思路清晰，但計(jì)算較麻煩，學(xué)生通過對(duì)比，發(fā)現(xiàn)利用定義法解題計(jì)算量較小，初步體驗(yàn)定義法的便利性. 通過例題的變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，增強(qiáng)思維的靈活性，由此提升思維能力，使學(xué)生獲得知識(shí)、方法、思維上的最大收益.

例2 橢圓E：+=1的左、右焦點(diǎn)分別是F，F(xiàn)，過點(diǎn)F的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸的下方，且滿足=2，則直線l的方程為______.

教師展示學(xué)生的解答過程，師生互評(píng).

設(shè)計(jì)意圖：研究解析幾何問題的基本方法之一是坐標(biāo)法，計(jì)算量一般較大. 事實(shí)上，在解決此類問題的過程中，如果抓不住問題的本質(zhì)，就會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過多. 對(duì)于例2，部分學(xué)生可能會(huì)使用韋達(dá)定理進(jìn)行解決，這樣處理的計(jì)算量較大. 此時(shí)教師應(yīng)適時(shí)提醒學(xué)生，可以“小題小做”，從形的角度去思考問題，而后逐步引導(dǎo)學(xué)生利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義解決問題，學(xué)生可以從中體會(huì)到這樣做能得到簡(jiǎn)化運(yùn)算、事半功倍的效果，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個(gè)維度去思考問題的意識(shí).

5. 提煉心得 布置作業(yè)

師：請(qǐng)你從知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想等方面談?wù)劚竟?jié)課有哪些收獲.

學(xué)生回答，教師點(diǎn)評(píng).

師：事實(shí)上，處理圓錐曲線的很多問題時(shí)，可以從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度去思考問題，要重視定義的靈活運(yùn)用，抓住定義的結(jié)構(gòu)特征，有時(shí)可以收到簡(jiǎn)化運(yùn)算、事半功倍的效果，這與“雙新”背景下所倡導(dǎo)的回歸教材、回歸概念、回歸通性通法相吻合.

作業(yè)：已知點(diǎn)F是橢圓E：+=1上的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（-2，2），求PA+PF的最小值. 你能編制一道與雙曲線有關(guān)的類似問題嗎？

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生自我總結(jié)、反思的習(xí)慣，同時(shí)作業(yè)中讓學(xué)生主動(dòng)參與編制試題，激發(fā)其參與教學(xué)的興趣，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一定義的理解.

教學(xué)思考

1. 動(dòng)態(tài)生成，促進(jìn)學(xué)生的深度理解

圓錐曲線的應(yīng)用比較復(fù)雜，涉及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等多種數(shù)學(xué)思想方法. 圓錐曲線的復(fù)習(xí)往往始于其定義，教學(xué)觀察發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生對(duì)此內(nèi)容的學(xué)習(xí)困境是：抓不住圓錐曲線的結(jié)構(gòu)特征，或者因忽視定義中關(guān)鍵條件的檢驗(yàn)而出現(xiàn)錯(cuò)誤.實(shí)際教學(xué)中，教師迫于教學(xué)進(jìn)度的緊張，對(duì)圓錐曲線定義的復(fù)習(xí)，一般是依次呈現(xiàn)定義的文字語言、符號(hào)語言、圖形語言，再給出幾道有針對(duì)性的例題，所用課時(shí)非常有限.這樣的教學(xué)安排會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)定義的理解只是停留在表面，缺乏對(duì)其內(nèi)涵的深度挖掘，由此引起學(xué)生死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練，最終導(dǎo)致“記不住或記不準(zhǔn)確”的現(xiàn)象產(chǎn)生，進(jìn)而影響到后續(xù)知識(shí)點(diǎn)的落實(shí). 針對(duì)這一現(xiàn)象，本堂課的伊始，筆者動(dòng)態(tài)演示了三種圓錐曲線的繪制過程，讓學(xué)生親身體會(huì)定義中各要素之間的關(guān)系，解題時(shí)回憶再現(xiàn)圓錐曲線的概念就變得輕而易舉了;而且實(shí)踐證明，這種在理解基礎(chǔ)上記住的定義印象更深刻，記憶保持得更持久.

2. 挖掘教材，深度剖析數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程

在平時(shí)的復(fù)習(xí)中，無論是教師還是學(xué)生，普遍存在的一種問題就是把教材束之高閣，不理不問. 事實(shí)上，很多試題恰恰是以教材中的素材為背景編制的，這就更加需要學(xué)生回歸教材，對(duì)其中蘊(yùn)含的知識(shí)與方法進(jìn)行系統(tǒng)化梳理和歸納，深度理解知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵，對(duì)前后知識(shí)進(jìn)行縱向和橫向的比較，加強(qiáng)各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，從而形成一個(gè)完整的知識(shí)體系，這也與大單元教學(xué)思想相契合.實(shí)際上，圓錐曲線的兩種定義是等價(jià)的，只不過它們是從不同的角度刻畫了圓錐曲線的內(nèi)涵與外延，分別確定了圓錐曲線的本質(zhì)特征. 這兩種定義不僅是推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的依據(jù)之一，也是研究圓錐曲線幾何性質(zhì)、解決相關(guān)問題的重要抓手. 因此，筆者在本節(jié)課中回歸教材，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了三種圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，一方面復(fù)習(xí)求解動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟，另一方面以此作為鋪墊，研究推導(dǎo)過程中的等量關(guān)系，通過“問題串”指引學(xué)生確定變形的方向，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等式中存在相同的結(jié)構(gòu)特征，總結(jié)出相應(yīng)的規(guī)律，順勢(shì)引出圓錐曲線的統(tǒng)一定義，從而建立起了兩種定義的聯(lián)系，加強(qiáng)了各部分知識(shí)的連貫性，使之渾然一體.

3. 運(yùn)用定義，深入挖掘數(shù)學(xué)思想

華羅庚教授說過，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”. 通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)助形”，將抽象思維與形象思維相結(jié)合，有時(shí)可使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化.在教師深度教學(xué)的過程中，要依據(jù)學(xué)情，深入挖掘教材中隱含的數(shù)學(xué)思想，再將挖掘出的數(shù)學(xué)思想逐步滲透到相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容之中，以便學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，有效地提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).在解析幾何的教學(xué)中，筆者認(rèn)為不僅要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的解題方法，更要培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思維習(xí)慣. 由于人類對(duì)事物的認(rèn)知呈螺旋上升的趨勢(shì)，因此，在本節(jié)課中筆者對(duì)圓錐曲線定義例題的安排是循序漸進(jìn)的，呈現(xiàn)順序由易到難，而且配有一定的變式訓(xùn)練，希望學(xué)生能夠“做一題得一法”“會(huì)一類通一片”，以達(dá)到掌握數(shù)學(xué)思想、提高學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心的目的.

4. 問題引領(lǐng)，開展有深度的探究活動(dòng)

目前以自主、合作、探究為主的教學(xué)方式已成為課堂教學(xué)中一道亮麗的“景致”，學(xué)生開展自主探究，以問題為載體、以探究為方式，在此過程中，教師要充分發(fā)揮學(xué)生的自主性和能動(dòng)性，讓學(xué)生經(jīng)歷感悟、體驗(yàn)、反思和矯正的過程，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生提高自主能力的目標(biāo). 課堂教學(xué)中，教師可以以問題為導(dǎo)向，但是問題不宜過小過密，要留給學(xué)生一些思維的空間和時(shí)間，可以在大問題中設(shè)立導(dǎo)向性明確的子問題，使學(xué)生的思維具有連貫性. 在教學(xué)過程中，教師要及時(shí)捕捉課堂信息，調(diào)控教學(xué)方向，扮演好組織者、引導(dǎo)者、合作者等不同的角色. 只有這樣，學(xué)生才會(huì)在“欲罷不能”的參與狀態(tài)中，主動(dòng)探索新知、主動(dòng)實(shí)踐操作、主動(dòng)嘗試創(chuàng)新. 在教學(xué)實(shí)踐中，筆者十分注重創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，循循善誘，由淺入深，教學(xué)活動(dòng)總是基于問題引導(dǎo)學(xué)生積極開展合作式學(xué)習(xí)、體驗(yàn)式學(xué)習(xí)和建構(gòu)式學(xué)習(xí)，改變學(xué)生固有的思維方式，跳出思維定式. 筆者認(rèn)為更重要的是要教會(huì)學(xué)生如何去發(fā)現(xiàn)問題，提升其探究問題的能力，促進(jìn)學(xué)生的理性思維逐漸走向成熟. 本節(jié)課中筆者通過引導(dǎo)探究、主動(dòng)探究、自發(fā)探究等三步逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，通過例題探究，讓學(xué)生掌握如何抓住圓錐曲線定義的結(jié)構(gòu)特征去解決相關(guān)問題的基本思路，筆者在作業(yè)中嘗試讓學(xué)生參與試題的編制，進(jìn)一步讓學(xué)生深度理解概念，提高學(xué)生的教學(xué)參與度，激發(fā)其對(duì)學(xué)習(xí)的興趣和主動(dòng)性[1].

參考文獻(xiàn)：

[1] ?羅風(fēng)云，張曉陽. 明確問題指向 緊扣探究主題——“平面與平面垂直的判定定理”的觀課思考與實(shí)踐改進(jìn)[J]. 中國數(shù)學(xué)教育，2017（10）：27-29.