基于學(xué)情遵循教材，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)探索未知
——以“有理數(shù)的乘方(1)”教學(xué)為例*

劉東升

(江蘇省南通市教育科學(xué)研究院 226000)

學(xué)生進(jìn)入初中之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要面對(duì)的第一個(gè)難點(diǎn)就是數(shù)系擴(kuò)充之后的有理數(shù)及其運(yùn)算.而有理數(shù)運(yùn)算的重點(diǎn)與難點(diǎn)就是運(yùn)算規(guī)則的生成與運(yùn)算律的靈活運(yùn)用.那么在有理數(shù)運(yùn)算的新授課時(shí)，怎樣引導(dǎo)學(xué)生深刻理解運(yùn)算規(guī)則就是非常重要的教學(xué)目標(biāo).筆者最近在一所學(xué)生基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的農(nóng)村學(xué)校執(zhí)教了一節(jié)隨堂研討課“有理數(shù)的乘方(第1課時(shí))”，基于教材又重組教材，讓新知漸次生成，取得了較好的教學(xué)效果.

1 “有理數(shù)的乘方(第1課時(shí))”教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)1 創(chuàng)設(shè)情境，引出新知

課前交流：同學(xué)們進(jìn)入初中以來(lái)，學(xué)習(xí)了哪種新的數(shù)？(生：有理數(shù))，還學(xué)習(xí)了有理數(shù)的哪些相關(guān)概念？(生：相反數(shù)、數(shù)軸、絕對(duì)值)，在此基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了有理數(shù)的哪四種運(yùn)算？(生：加、減、乘、除)，它們的結(jié)果分別叫什么？(生：和、差、積、商)

問(wèn)題1

計(jì)算(-1)+(-1)+(-1)+(-1).

教學(xué)組織：一個(gè)學(xué)生很快報(bào)出答案，教師跟進(jìn)追問(wèn)“這個(gè)算式寫(xiě)得太長(zhǎng)且繁，能否改寫(xiě)成一個(gè)更簡(jiǎn)的算式？”學(xué)生很快想到可以寫(xiě)成乘法形式“(-1)×4=-4”.教師肯定并鼓勵(lì)，指出把相同加數(shù)相加寫(xiě)成乘法的形式，符合數(shù)學(xué)“求簡(jiǎn)”的追求，并在黑板上寫(xiě)出“求簡(jiǎn)”兩字.

預(yù)設(shè)追問(wèn)：有理數(shù)乘法的運(yùn)算法則是什么？

(安排學(xué)生回憶“同號(hào)得正、異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘”)

問(wèn)題2

計(jì)算(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3).

教學(xué)組織：學(xué)生很快算出答案是-243.教師追問(wèn)學(xué)生是如何算的？讓學(xué)生說(shuō)出確定符號(hào)的優(yōu)先意識(shí)，以及多個(gè)有理數(shù)相乘，符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)確定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積的符號(hào)為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，積的符號(hào)為正.當(dāng)一個(gè)學(xué)生說(shuō)出之后，安排另一個(gè)學(xué)生再次復(fù)述，強(qiáng)化上述確定符號(hào)的規(guī)律，因?yàn)榕c本課所學(xué)的一個(gè)新知(負(fù)數(shù)的奇次冪或偶次冪的符號(hào)規(guī)律)高度相關(guān).

預(yù)設(shè)追問(wèn)：這里5個(gè)-3連乘的算式書(shū)寫(xiě)起來(lái)也比較繁瑣，有沒(méi)有簡(jiǎn)化的方法呢？(學(xué)生由小學(xué)里已學(xué)過(guò)的平方和立方的書(shū)寫(xiě)方法，會(huì)想到寫(xiě)成(-3)的形式)，這時(shí)安排學(xué)生上臺(tái)，寫(xiě)到黑板上，并讓該學(xué)生講解所寫(xiě)算式的意義，在此基礎(chǔ)上引出本課新知.

教師在主板區(qū)板書(shū)乘方的定義，并進(jìn)一步指出底數(shù)、指數(shù)、冪的概念后，安排學(xué)生針對(duì)具體的式子復(fù)述、講解，如(-3).

教學(xué)環(huán)節(jié)2 定義乘方，例題運(yùn)算

問(wèn)題3

在乘方的定義中，我們?yōu)榱吮硎龅姆奖?，引入了兩個(gè)字母

n

，

a

，作為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖非螅瑢W(xué)們思考一下對(duì)兩個(gè)字母的取值范圍有沒(méi)有特殊的限制呢？教學(xué)組織：學(xué)生討論后可能容易理解

n

的取值范圍應(yīng)該是正整數(shù)，但對(duì)于底數(shù)

a

的范圍可能會(huì)有爭(zhēng)論和不解.這時(shí)教師可讓有疑惑的學(xué)生舉例說(shuō)說(shuō)自己的困惑，這樣可以讓學(xué)生知道底數(shù)

a

為任意有理數(shù)時(shí)都是可以進(jìn)行有理數(shù)乘方運(yùn)算的.但是學(xué)生如果提到一些特殊的例子，如0，5，就可以順便做一些規(guī)定，比如一個(gè)數(shù)等于它本身的一次方.這樣有助于學(xué)生全面、深刻地理解乘方定義.

問(wèn)題4

乘方是一種運(yùn)算，如何進(jìn)行乘方運(yùn)算呢？

教學(xué)組織：學(xué)生應(yīng)該想到將乘方運(yùn)算展開(kāi)為乘法運(yùn)算就可以了，教師肯定學(xué)生的上述思考，并形成板書(shū)(乘方的“算法”，從定義出發(fā)，利用有理數(shù)的乘法進(jìn)行乘方運(yùn)算).然后跟進(jìn)幾道例題，訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行乘方運(yùn)算.

例題

計(jì)算：

(5)

教學(xué)組織：先安排兩組學(xué)生上臺(tái)板演，再安排學(xué)生上臺(tái)批改，如有錯(cuò)誤進(jìn)行糾錯(cuò)、究錯(cuò).究錯(cuò)時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生“回到定義”去思考和理解.然后跟進(jìn)一組練習(xí)，安排學(xué)生不動(dòng)筆，直接看出答案后匯報(bào)并核對(duì).

跟進(jìn)練習(xí)，計(jì)算：

(1)(-1)；(2)(-1)；(3)8；(4)(-5).

教學(xué)環(huán)節(jié)3 觀察算式，歸納乘方的符號(hào)規(guī)律

問(wèn)題5

學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，有理數(shù)運(yùn)算的關(guān)鍵或難點(diǎn)是符號(hào)問(wèn)題.從上面的例題與練習(xí)的計(jì)算后，同學(xué)們觀察算式特點(diǎn)與冪的結(jié)果符號(hào)，有什么規(guī)律呢？

教學(xué)組織：學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組內(nèi)交流，最后全班匯報(bào)展示，得到有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律(可以在教師的引導(dǎo)下，分類(lèi)討論底數(shù)為正、0、負(fù)的情況)，師生合作形成板書(shū)(正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；0的正整數(shù)次冪是0；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)).在這個(gè)歸納的過(guò)程中，學(xué)生表述的語(yǔ)言可能不太精準(zhǔn)，教師不要急于給出教材上的“黑體字”，而是讓學(xué)生先討論、優(yōu)化、簡(jiǎn)化，最后再讓學(xué)生對(duì)照教材“黑體字”表述，在對(duì)比之后交流學(xué)習(xí)體會(huì)，感受到對(duì)數(shù)學(xué)性質(zhì)的猜想歸納與概括往往是困難的，但正是因?yàn)樽非蟆皟?yōu)秀的表達(dá)能傳遞得更遠(yuǎn)”，我們就有不斷求簡(jiǎn)、求優(yōu)的動(dòng)力.

教學(xué)環(huán)節(jié)4 課堂小結(jié)，完善“結(jié)構(gòu)化板書(shū)”

將黑板上副板區(qū)提到的有理數(shù)的四則運(yùn)算(加、減、乘、除)用“臺(tái)階”勾畫(huà)出來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)特點(diǎn)是“一步一步向上走”，進(jìn)而追問(wèn)學(xué)生本課所學(xué)習(xí)的是第幾種運(yùn)算？(第五種)完善主板區(qū)的標(biāo)題留白處，并將本課主板區(qū)用框架線(xiàn)補(bǔ)全成結(jié)構(gòu)化板書(shū)，指出隨著后續(xù)乘方運(yùn)算的學(xué)習(xí)，同學(xué)們還可繼續(xù)積累一些乘方運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，到時(shí)可以進(jìn)一步充實(shí)到這節(jié)課的聽(tīng)課筆記中.

該課最后形成的板書(shū)剪影如圖1.

圖1

課堂最后，安排一組當(dāng)堂反饋練習(xí)題：

1.(1)(-7)中，底數(shù)、指數(shù)各是什么？

(2)(-10)中-10叫做什么數(shù)？8叫做什么數(shù)？(-10)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？

2.計(jì)算：

(1)0.1；

(3)(-10)；(4)(-10).

2 教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

2.1 基于學(xué)情，遵循教材，新授宜慢不急于拓展

潘龍生老師指出：“讓學(xué)生看到過(guò)程是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能的得力措施.”并引清末數(shù)學(xué)家華蘅芳的觀點(diǎn)“力挽之習(xí)，于一切算法無(wú)不坦白示人，……不求簡(jiǎn)奧，不避粗俗，惟使人易明而已”，來(lái)批判當(dāng)下概念教學(xué)中“一帶而過(guò)”的教學(xué)現(xiàn)象.在上面的課例中，我們基于所教校情、班情和學(xué)情，決定遵循教材，在有理數(shù)乘方的第1課時(shí)教學(xué)時(shí)，沒(méi)有安排大量的計(jì)算或練習(xí)，也沒(méi)有針對(duì)學(xué)材進(jìn)行無(wú)度的拓展與拔高，全課沒(méi)有安排類(lèi)似(-10)與-10的易錯(cuò)辨析(事實(shí)上，在我們見(jiàn)到的很多公開(kāi)課或?qū)W案上都有相關(guān)的辨析練習(xí)，而教材上卻一例沒(méi)有，這種現(xiàn)象是值得深思的，難道編寫(xiě)教材的專(zhuān)家不知道要安排學(xué)生辨析嗎？)，所選問(wèn)題情境或例題運(yùn)算都源于教材或經(jīng)簡(jiǎn)單改編，立意在新授課階段讓學(xué)生掌握乘方定義及算法，發(fā)現(xiàn)并歸納乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律，“固化”學(xué)生對(duì)新知“標(biāo)準(zhǔn)形式”的理解，而不是急于安排大量“非標(biāo)準(zhǔn)形式”的習(xí)題讓學(xué)生去進(jìn)行辨析、糾錯(cuò)，避免影響一些學(xué)生的學(xué)習(xí)效果與信心.

2.2 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，探索未知，討論完善新知識(shí)體系

這里可順便提及所謂“‘探索世界’的范式”，這是2009年漢斯·弗賴(lài)登塔爾獎(jiǎng)獲得者、法國(guó)數(shù)學(xué)教育家Yves Chevallard所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)教育取向，即變“參觀紀(jì)念碑”式為“探索世界”范式，訓(xùn)練學(xué)生預(yù)見(jiàn)未來(lái)的能力，Yves Chevallard稱(chēng)之為“預(yù)先認(rèn)知”.在上面的課例中，我們一共預(yù)設(shè)了5個(gè)問(wèn)題和1組例習(xí)題驅(qū)動(dòng)著全課進(jìn)程，學(xué)生在這些問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下探索未知、生成新知，在獨(dú)立思考、小組討論、板演互評(píng)、大組匯報(bào)等形式下完善了有理數(shù)乘方的知識(shí)體系.事實(shí)上，當(dāng)前不少學(xué)校使用的“大容量習(xí)題單式導(dǎo)學(xué)案”在某種意義上助推了“一個(gè)定義、三項(xiàng)注意、大量練習(xí)”的教學(xué)生態(tài).從大容量習(xí)題的學(xué)案走向簡(jiǎn)約呈現(xiàn)、內(nèi)涵豐富的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，可有效促進(jìn)學(xué)生思維卷入高質(zhì)量問(wèn)題中，從而追求探索未知的有效教學(xué).

2.3 留白布局，調(diào)整優(yōu)化，漸次生成結(jié)構(gòu)化板書(shū)

全國(guó)著名特級(jí)教師李庾南老師及其團(tuán)隊(duì)倡導(dǎo)的“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法，在單元教學(xué)時(shí)特別重視“結(jié)構(gòu)化板書(shū)”的設(shè)計(jì)與生成研究.這種板書(shū)的特點(diǎn)是知識(shí)結(jié)構(gòu)化，學(xué)生和教師都能一眼看清本課所學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系與次序，并且知道本課新知的“源與流”.特別是，這種結(jié)構(gòu)化板書(shū)不是從上往下、從左往右這樣簡(jiǎn)單化地“一寫(xiě)到底”，而是結(jié)合學(xué)程推進(jìn)，融入“生成性資源”留白布局，漸次呈現(xiàn)，直到課堂小結(jié)甚至下課之前，黑板上才能完整呈現(xiàn)其“全貌”.如果沒(méi)有全課都參與其中、親歷生成，往往不知道是如何漸次呈現(xiàn)的，這也正是“結(jié)構(gòu)化板書(shū)”的藝術(shù)性所在.因?yàn)樗囆g(shù)是沒(méi)有程式化的，是動(dòng)態(tài)生成的，是豐富多樣的，所以經(jīng)常構(gòu)思、實(shí)踐留白式結(jié)構(gòu)化板書(shū)，在全課板書(shū)呈現(xiàn)生成完善之后，都會(huì)有一種“美美地教了一課”的教學(xué)體驗(yàn).