“雙管齊下”，求參數(shù)的取值范圍

董雪嬌

思路探尋求參數(shù)的取值范圍問題常與函數(shù)、不等式、方程、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，對(duì)同學(xué)們運(yùn)算能力和綜合分析能力的要求較高.此類問題涉及的知識(shí)比較豐富，解法多種多樣.那么，在面對(duì)這類問題時(shí)，我們?cè)撊绻麑ふ医忸}的思路呢？本文以一道題為例，談一談求解參數(shù)的取值范圍問題的方法.

題目：若當(dāng) x∈0， ?（ù）時(shí)， cosx+ sinx= 有解，求 a 的取值范圍.

題目條件中給出了x 的取值范圍以及一個(gè)含有參數(shù) a 的方程，條件較少，要求 a 的取值范圍，我們需從方程入手，采用數(shù)形結(jié)合法，利用三角函數(shù)的性質(zhì)來求解.

方法一：數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法是求解參數(shù)問題的常用手段.在求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可根據(jù)已知關(guān)系式構(gòu)造出函數(shù)式、直線的方程、圓的方程等，然后畫出相應(yīng)的圖形，通過分析圖形中點(diǎn)、線、面的位置及其關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，即可求得參數(shù)的取值范圍.

解：由 cosx+ sinx= 可得1-sinx= cosx，

而 x ∈0，? ?（ù），1-sinx≠0，cosx≠0，

所以 =，= .

令=-k，則 k = ，該式可視為兩點(diǎn) A0，1，Bcosx，sinx的斜率.

所以-1≤-k ≤1，

即-1≤ ≤1，解得1≤ a ≤3+2 .

我們將已知方程進(jìn)行變形，使參數(shù)與變量分離，然后將不含參數(shù)的式子看作直線的斜率，根據(jù)x 的取值范圍以及圖形，確定直線斜率的范圍，進(jìn)而得到參數(shù)的取值范圍.

方法二：利用三角函數(shù)的性質(zhì)

三角函數(shù)具有有界性和單調(diào)性，這是求最值或值域的重要工具.在求參數(shù)的取值范圍時(shí)，我們可通過三角換元，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值或值域問題，然后利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性來解題.

解法一：由cosx+ sinx= 可得 ==tanπ+x

因?yàn)?x ∈0，? ?（ù），則 + ∈ ?（é）， +?（ù），? 又因?yàn)?tanè（?）+ ?（?）在 x∈0，? ?（ù）上為增函數(shù)，當(dāng) x =0時(shí)，函數(shù)取最小值，即 tan=1;

當(dāng) x = 時(shí)，函數(shù)取最大值，而 tanè（?）2× ?（?）=1=，得 tan= =-1+ ，所以 tan+?? +1，

所以1≤ ≤ +1，即1≤ a ≤3+2 .

將參數(shù)方程進(jìn)行變形，使參數(shù)與變量分離，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù) y =tanè（?）+ ?（?）的最值，然后在定義域上討論該三角函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求得函數(shù)的最大、最小值，進(jìn)而求得參數(shù)的取值范圍.

解法二：由cosx+ sinx= 可得 ==1-sinx1+sinx= cosx ，

因?yàn)?+sinx在0，? ?（ù）上單調(diào)遞增，cosx在0，? ?（ù）上單調(diào)遞減，所以 在0， ?（ù）上為增函數(shù)，在0，? ?（ù）上為增函數(shù)，

所以cos θ ≤ cosx ≤ cos ，

即1≤≤ +1，則1≤ ≤ +1，所以1≤ a ≤3+2 .

將參數(shù)方程進(jìn)行變形，使參數(shù)與變量分離，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域.判斷出該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求得函數(shù)的值域，進(jìn)而求得參數(shù)的取值范圍.

求參數(shù)的取值范圍問題涉及的知識(shí)面較廣，題型變化多樣.在解題時(shí)，我們只要將問題與函數(shù)、三角函數(shù)、直線的斜率關(guān)聯(lián)起來，就能將問題轉(zhuǎn)化為角的范圍、函數(shù)的值域、直線的斜率范圍問題來求解.

（作者單位：江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)）47