讓學(xué)生學(xué)習(xí)『講道理』的數(shù)學(xué)

文 高飛

道理，《現(xiàn)代漢語詞典》解釋說：①事物的規(guī)律；②事情或論點(diǎn)的是非得失的根據(jù)；理由；情理；③辦法；打算。讓學(xué)生學(xué)習(xí)“講道理”的數(shù)學(xué)，一方面是指引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)規(guī)律;另一方面是指促動學(xué)生闡明數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展和形成的依據(jù)或理由，等等。讓學(xué)生學(xué)習(xí)“講道理”的數(shù)學(xué)，不僅有助于學(xué)生“觸摸”數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)知識的理解水平，而且有助于學(xué)生明確數(shù)學(xué)知識規(guī)定的合理性，理解基本技能操作的程序與步驟的道理，培養(yǎng)學(xué)生地數(shù)學(xué)思維能力。綜上所述，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與詮釋數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展、形成和應(yīng)用的道理，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)目標(biāo)的重要措施之一。那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“講道理”的數(shù)學(xué)，達(dá)成深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)呢？

一、立足本質(zhì)“講道理”，促進(jìn)學(xué)生理解概念的內(nèi)涵

概念教學(xué)是小學(xué)階段重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容之一。概念教學(xué)的要求是使學(xué)生經(jīng)歷概念的產(chǎn)生、發(fā)展和形成的過程，促進(jìn)學(xué)生理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵，達(dá)成“知其然，又知其所以然”的目標(biāo)。為此，在概念教學(xué)中，教師要從概念的本質(zhì)屬性出發(fā)，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)慕膛c學(xué)的活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對概念例證的觀察、操作、推理、抽象、概括和交流等認(rèn)知活動，通過講好概念形成的道理，促進(jìn)學(xué)生體驗(yàn)概念的本質(zhì)屬性，達(dá)成對概念內(nèi)涵的深刻理解。

點(diǎn)到直線的距離（蘇教版數(shù)學(xué)四年級上冊）是圖形與幾何領(lǐng)域的重要概念之一。它是學(xué)生認(rèn)識各類圖形的高的認(rèn)知基礎(chǔ)。眾所周知，數(shù)學(xué)上，之所以確定從已知點(diǎn)到已知直線的垂直線段作為點(diǎn)到直線的距離，其根本原因是它的唯一屬性，而非長度最短的特征。為此，教材先是從已知點(diǎn)向已知直線引出若干條線段，然后，通過測量活動，引導(dǎo)學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)在這些線段中，與已知直線相互垂直的線段的長度“最”短。力求從詞意上，通過“最”字的體悟，幫助學(xué)生感受與已知直線相互垂直線段的唯一性。為此，在實(shí)際教學(xué)中，通常采取的教學(xué)路徑是：出示從已知點(diǎn)到已知直線的若干條線段—引導(dǎo)學(xué)生猜測哪條線段最短—通過測量進(jìn)行驗(yàn)證，得出結(jié)論—揭示點(diǎn)到直線距離的概念。不難看出，不管是猜測環(huán)節(jié)，還是驗(yàn)證環(huán)節(jié)，學(xué)生的注意力及其探究聚焦點(diǎn)無不集中在“線段的長度”上，從而“短”字成為了探究學(xué)習(xí)過程中的“強(qiáng)刺激”，而體現(xiàn)與已知直線相互垂直線段的唯一性的“最”字的感悟，無形中被“弱化了”。最終，通過系列活動，學(xué)生只是強(qiáng)烈感受了“垂直線段最短”。無疑，學(xué)生的體會和教材的編排意圖“相距甚遠(yuǎn)”。那么，如何幫助學(xué)生體會點(diǎn)到已知直線的垂直線段的唯一性，進(jìn)而幫助學(xué)生理解點(diǎn)到直線的距離的內(nèi)涵呢？

出示圖1：

圖1

如圖1，在已知直線上任取點(diǎn)B，連接點(diǎn)AB，線段AB 和已知直線的夾角為∠1，接著，繼續(xù)畫出線段AC、AD 和AE，夾角分別是∠2、∠3 和∠4。

互動1：像AB、AC、AD 和AE這樣，從A 點(diǎn)到已知直線的線段，能畫多少條？為什么？

引導(dǎo)學(xué)生從“直線上有無數(shù)個點(diǎn)”，或者重點(diǎn)從“像AB、AC、AD 和AE 這樣的線段與已知直線的夾角，如∠1、∠2、∠3 和∠4 都是銳角，因?yàn)殇J角有無數(shù)種，所以，這樣的線段能畫無數(shù)條”的角度，理解及闡述像AB、AC、AD 和AE 這樣的線段有無數(shù)條的道理。

互動2：從A 點(diǎn)到已知直線的線段中，“有且只有一條”的線段在哪里？它與已知直線有什么關(guān)系？找一找、畫一畫，說明理由。

引導(dǎo)學(xué)生借助圖形，找出與已知直線互相垂直的線段（如圖2，AF），并從“AF 與已知直線的夾角是直角，直角是唯一的”的角度，說明線段AF 的唯一性。

圖2

互動3：量一量AB、AC、AD、AE 和AF，你有什么發(fā)現(xiàn)？

通過測量，使學(xué)生認(rèn)識“從直線外一點(diǎn)到已知直線的垂直線段是最短的”的特征。

最后，揭示點(diǎn)到直線的距離概念。

角是學(xué)生熟悉的知識。特別是，經(jīng)歷小數(shù)的初步認(rèn)識、角的測量和分類等知識技能學(xué)習(xí)以后，學(xué)生對“銳角有無數(shù)個”“直角是唯一的”的認(rèn)識更加充分而深入。為此，案例中，教師“另辟蹊徑”從學(xué)生已有的“角”的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)他們借助“銳角有無數(shù)個”“直角是唯一的”的認(rèn)知與體驗(yàn)，通過推理和想象等活動，感受從直線外一點(diǎn)到已知直線的線段中，與已知直線互相垂直的線段“只有一條”的特性，從而助力學(xué)生體會點(diǎn)到已知直線的垂直線段的唯一性，促進(jìn)學(xué)生理解點(diǎn)到直線的距離的內(nèi)涵，更重要的是，自始至終引發(fā)了學(xué)生思維活動的深度參與，達(dá)成了深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)。

二、立足意義“講道理”，促進(jìn)學(xué)生理解計(jì)算的道理

運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行計(jì)算的能力，培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。因此，計(jì)算教學(xué)在促使學(xué)生熟練掌握算法的同時，還要促進(jìn)學(xué)生理解計(jì)算的道理。然而，教學(xué)假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)（蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊）時，教師通常是不講“道理”的。學(xué)生往往僅憑教師的簡單傳授“分子除以分母的‘商’作帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分，‘余數(shù)’作分子，‘分母’不變”進(jìn)行模仿和操練。試想：“假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)用分子除以分母，為什么‘商’‘余數(shù)’分別是帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分和分子，分母不變呢？”對這些問題的思辨、解釋和澄清，正是學(xué)生學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)必須經(jīng)歷的、不可省卻的思考過程！否則，就嬗變?yōu)椤爸淙唬恢渌匀弧钡臋C(jī)械學(xué)習(xí)。為此，教學(xué)中，教師可以借助幾何直觀手段，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)圖并利用圖形詮釋假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)的“算理”：

互動1：分子不是分母的倍數(shù)的假分?jǐn)?shù)，怎樣化成帶分?jǐn)?shù)？試一試。

生1：

圖3

互動2：（指生2）能不能借助生1 的圖形，說說你是怎樣想的？

接著，讓學(xué)生“趁熱打鐵”繼續(xù)將幾個假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)，并發(fā)現(xiàn)把假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)“用分子除以分母的商作帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分，余數(shù)作分子，分母不變”的規(guī)律。

假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)和帶分?jǐn)?shù)的“算理”理解，需要學(xué)生從“包含除”的視角進(jìn)行探索與思考。案例中，把化成帶分?jǐn)?shù)。有的學(xué)生通過構(gòu)造圖形描述，從而“看”出；有的學(xué)生聯(lián)系分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，通過11÷4=2……3，推導(dǎo)出。為此，教師巧妙利用生成“資源”追問生2：“能不能借助生1 的圖形，說說你是怎樣想的？”板演學(xué)生“心有靈犀”，借著圖形，有根有據(jù)地闡明了的數(shù)學(xué)道理，同時，欣然理解：“為什么要每4 個分成一份呢？而不是2 個、3 個？”從而突破了假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)的“算理理解”的難點(diǎn)，達(dá)成了深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)。

三、立足需要“講道理”，促進(jìn)學(xué)生理解操作方法的合理性

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“在基本技能教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握基本技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理?！碑嬈叫芯€是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要技能之一，教材（人教版數(shù)學(xué)四年級上冊）基本上是采取“直接告知”的方式進(jìn)行教學(xué)的。即以“圖示”的方式，在分步演示選擇什么工具，怎樣操作的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生討論、歸納操作步驟和方法。但是，畫平行線的基本原理是什么？作圖時，可能遇到什么困難？為什么用兩把尺子“合作”等等，對這些問題的體驗(yàn)、質(zhì)疑和闡釋，正是學(xué)生理解畫平行線的方法和步驟需要經(jīng)歷的、不可逾越的思考過程。那么，在教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生體會平移和平行的關(guān)系，經(jīng)歷畫平行線的工具選擇、方法優(yōu)化、畫法概括等思維過程，促進(jìn)學(xué)生理解操作的合理性？

動畫出示：

圖4

互動1：說說推拉窗和五星紅旗分別是什么運(yùn)動？用鉛筆在方格紙上移一移、畫一畫，你發(fā)現(xiàn)了什么？

引導(dǎo)學(xué)生用鉛筆在方格紙上，模仿推拉窗和五星紅旗的運(yùn)動軌跡，移一移、畫一畫，使學(xué)生體驗(yàn)平移和平行的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識通過平移可以得到兩條互相平行的直線。

互動2：你能在紙上，利用平移畫出兩條互相平行的直線嗎？試一試，你有什么感受？

通過操作，促使學(xué)生體驗(yàn)利用直尺或三角尺進(jìn)行平移時，會出現(xiàn)“偏軌”現(xiàn)象，產(chǎn)生解決問題的心理需求。

互動3：想一想，有什么改進(jìn)的辦法嗎？議一議。

激發(fā)學(xué)生積極調(diào)用已有經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化工具，改進(jìn)操作方法：在三角尺的另一條直角邊上，貼緊一把直尺或三角尺作“軌道”，平移時不會發(fā)生“偏軌”的現(xiàn)象，體驗(yàn)選用兩把尺子的必要性，理解畫平行線的方法。

互動4：你能畫出一組互相平行的直線嗎？說一說畫平行線時，要注意什么？

利用改進(jìn)后的操作工具及其方法，畫一組互相平行的直線，并總結(jié)畫平行線的方法（略），促進(jìn)學(xué)生體驗(yàn)選擇工具的必要性及其操作方法的合理性。

案例中，通過動畫演示兩組平移的現(xiàn)象，同時，引導(dǎo)用鉛筆在方格紙上模仿兩組平移現(xiàn)象畫出兩組平行線，促使學(xué)生體會平移與平行的內(nèi)在聯(lián)系，認(rèn)識通過平移方式可以畫出一組互相平行的直線。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生自主選擇工具，通過在紙上畫平行線，促進(jìn)他們體驗(yàn)用一把尺子進(jìn)行平移畫平行線的局限性，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，形成“迫切”解決問題的心理需求，從而促動學(xué)生積極討論改進(jìn)畫平行線的操作工具及其方法。整個教學(xué)過程，學(xué)生經(jīng)歷了平行線的畫法及工具的選擇、優(yōu)化與調(diào)整的反思、嘗試等思維過程，深刻體會了畫平行線工具選擇的必要性及其操作方法的合理性，達(dá)成了“知其然，又知其所以然”的目標(biāo)，積累了尺規(guī)作圖的活動經(jīng)驗(yàn)，提升了操作能力。