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    分?jǐn)?shù)階復(fù)變量混沌系統(tǒng)的復(fù)投影同步

    2022-03-23 08:12:42張曉青杜澤英
    關(guān)鍵詞:階數(shù)投影分?jǐn)?shù)

    張曉青,杜澤英

    (太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系,太原030008)

    混沌運(yùn)動(dòng)是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中看似無(wú)序,實(shí)則有規(guī)律的一種復(fù)雜類隨機(jī)運(yùn)動(dòng).隨著混沌和多個(gè)學(xué)科的融合,關(guān)于混沌的同步控制研究在不少領(lǐng)域取到了顯著的成果,特別是利用混沌同步實(shí)現(xiàn)通信保密方面,然而復(fù)投影同步[1]在這方面的應(yīng)用前景更加廣闊.復(fù)投影同步中的尺度因子為復(fù)矩陣,復(fù)變量可以展開為實(shí)部分量與虛部分量,這使得變量數(shù)量增加一倍,進(jìn)而信息傳輸量也增加一倍,并且復(fù)矩陣具有任意性且比實(shí)矩陣更難以預(yù)測(cè),而且復(fù)數(shù)的乘積和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算也更復(fù)雜,因此大大降低了攔截器從傳輸信號(hào)中提取信息的可能性.1982年A.C.Fowler等人提出了復(fù)洛倫茲方程[2],打開了學(xué)者們開始研究復(fù)混沌系統(tǒng)的大門.1990年,學(xué)者們發(fā)現(xiàn)初值敏感,運(yùn)動(dòng)復(fù)雜的混沌系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)同步,掀起了研究混沌相關(guān)同步的熱潮.文獻(xiàn)[3]針對(duì)耦合復(fù)混沌系統(tǒng),推導(dǎo)控制律使復(fù)狀態(tài)向量漸近同步到所需的復(fù)函數(shù)矩陣實(shí)現(xiàn)復(fù)雜函數(shù)投影同步.文獻(xiàn)[4]研究了兩個(gè)相異分?jǐn)?shù)階復(fù)混沌系統(tǒng)(復(fù)Lorenz系統(tǒng)、復(fù)Chen系統(tǒng))在復(fù)空間內(nèi)的動(dòng)力學(xué)行為、特征,以及其同步方法,并說(shuō)明它們?cè)诎踩ㄐ欧矫娴膽?yīng)用.文獻(xiàn)[5]利用激活控制法實(shí)現(xiàn)了不同類型(整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階)的混沌的錯(cuò)位投影(DPS)同步.本文首先刻畫了復(fù)矩陣下的投影同步定義,其次依據(jù)分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)分離實(shí)部虛部的統(tǒng)一控制輸入項(xiàng).然后選取相異的兩個(gè)三維復(fù)變量混沌系統(tǒng)作為案例,設(shè)計(jì)控制輸入項(xiàng),最后數(shù)值仿真進(jìn)行驗(yàn)證.

    1 控制器的設(shè)計(jì)

    存在一個(gè)n維復(fù)變量分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng):

    dαx/dtα=Ax+f(x)

    (1)

    響應(yīng)系統(tǒng)為n維復(fù)變量分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng):

    dαy/dtα=By+g(y)+U(x,y)

    (2)

    其中,x=xr+jxi∈Cn×1,y=yr+jyi∈Cn×1為復(fù)狀態(tài)向量,A,B∈Rn×n為參數(shù)矩陣,f,g為非線性復(fù)向量函數(shù),U為所設(shè)計(jì)的非線性控制輸入項(xiàng).

    定義1對(duì)于系統(tǒng)(1)和(2),如果存在非零復(fù)值矩陣:

    (3)

    定理1設(shè)計(jì)如下控制器:

    (4)

    證明 根據(jù)定義1,可以得到系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)的誤差如下:

    (5)

    系統(tǒng)(5)的分?jǐn)?shù)α階導(dǎo)數(shù)為:

    (6)

    將系統(tǒng)(1),(2)代入(6)式,整理得:

    (7)

    將所設(shè)計(jì)的控制器(4)代入(7)得:

    (8)

    2 分?jǐn)?shù)階復(fù)Chen系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階復(fù)T系統(tǒng)

    復(fù)變量分?jǐn)?shù)階混沌Chen系統(tǒng)[6]如下:

    (9)

    其中,0<α<1,a1,a2,a3為Chen系統(tǒng)參數(shù),x1,x2,x3是復(fù)值狀態(tài)變量.Chen系統(tǒng)的初值、參數(shù)以及分?jǐn)?shù)階數(shù)分別為(x1,x2,x3)T=(1+2j,1.5+4j,3)T,(a1,a2,a3)T=(42,26,4)T,α為0.95時(shí),系統(tǒng)(9)是混沌狀態(tài)的.吸引子的二維相圖見圖1所示.

    圖1 Chen系統(tǒng)的二維相圖

    將三維復(fù)變量分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)選作驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),三維復(fù)變量分?jǐn)?shù)階T系統(tǒng)選作響應(yīng)系統(tǒng),添加非線性復(fù)值控制輸入機(jī)制的T系統(tǒng)為[7]:

    (10)

    其中階數(shù)0<α<1,b1,b2,b3為系統(tǒng)參數(shù),y1,y2,y3是復(fù)值狀態(tài)變量.分?jǐn)?shù)階復(fù)變量T系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)、初始值分別為(b1,b2,b3)T=(2.1,27.9,0.6)T,(y1,y2,y3)T=(8+7j,6+8j,7)T,并且分?jǐn)?shù)階α=0.95時(shí),復(fù)變量T系統(tǒng)是混沌狀態(tài).系統(tǒng)(10)吸引子的二維相圖見圖2所示.

    圖2 T系統(tǒng)吸引子的二維相圖

    3 分?jǐn)?shù)階復(fù)Chen系統(tǒng)和復(fù)T系統(tǒng)的CPS

    把系統(tǒng)(9)和 (10)寫成如下形式:

    (11)

    (12)

    為復(fù)控制函數(shù),任取復(fù)尺度因子為

    定理2設(shè)計(jì)控制輸入項(xiàng)為:

    (13)

    其中,所選擇的增益控制矩陣

    證明 系統(tǒng)(11)和系統(tǒng)(12)的CPS誤差函數(shù)如下:

    (14)

    對(duì)方程(14)做α階導(dǎo)數(shù),并將所設(shè)計(jì)的控制輸入項(xiàng)(13)代入得:

    (15)

    滿足

    則系統(tǒng)(11)與(12)實(shí)現(xiàn)了CPS.

    4 數(shù)值仿真

    圖3 誤差曲線

    5 結(jié)論

    本文利用分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論,設(shè)計(jì)了合適的普適復(fù)值非線性輸入項(xiàng),實(shí)現(xiàn)了階數(shù)為α為0.95的復(fù)變量Chen系統(tǒng)和復(fù)變量T系統(tǒng)的CPS.通過理論分析,以及MATLAB數(shù)值仿真繪制CPS同步誤差曲線圖,觀察到曲線快速趨向于0,驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的非線性復(fù)值控制輸入項(xiàng)的正確性.本文所做成果在信息傳輸領(lǐng)域有潛在的應(yīng)用價(jià)值.

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