半序偏b-度量空間中壓縮映像的不動點定理

彭 榮

(廣東培正學院 數(shù)據(jù)科學與計算機學院，廣州 510830)

0 引言及預備知識

不動點理論是非線性泛函分析的重要組成部分，它與近代數(shù)學的許多分支有著緊密的聯(lián)系，在求各類方程的唯一解方面中起著重要作用，許多學者對它進行了大量研究，其中對空間結構的推廣是研究的重要方向之一[1]．1922年，Banach S在度量空間證明了Banach壓縮映像原理．隨后，該定理被學者進行了各種不同形式的改進和推廣[2-13]．2004年，Ran和Reurings研究了偏序集上的不動點問題，并證明了偏序集上的不動點定理[4]．2014年，Satish Shukla在偏度量空間和b-度量空間的基礎上提出了偏b-度量空間的概念，證明了偏b-度量空間中的不動點定理[14]．最近，有學者考慮在偏b-度量空間中引入偏序關系，并證明了半序偏b-度量空間中一些不動點結果[13-15]．受此啟發(fā)，本文在半序偏b-度量空間中，在空間非完備的條件下討論一類廣義壓縮型映像的不動點存在性唯一性問題，推廣和改進一些已有的文獻結果．

為敘述方便，下面首先介紹一些相關的概念與結論．

定義1[10]設X是非空集合，函數(shù)d:X×X→[0,+∞)對任意x,y,z∈X滿足

(i)d(x,x)=d(x,y)=d(y,y)當且僅當x=y；

(ii)d(x,x)≤d(x,y)；

(iii)d(x,y)=d(y,x)；

(iv)d(x,y)≤s(d(x,z)+d(z,y))-d(z,z)，

則稱d是X上的偏b-度量，s是度量系數(shù)，(X,d)是偏b-度量空間．

注1每一個偏度量空間和b-度量空間都是偏b-度量空間，但反之不真．如果d是X上的一個偏b-度量，d(x,y)=0則由(i)和(ii)知x=y．反之若x=y時d(x,y)不一定為0．

例1[10]設X=[0,+∞)，d:X×X→[0,+∞)是一個函數(shù)，令d(x,y)=(max{x,y})2

則d是X上的偏b-度量，系數(shù)s=2．可以驗證d既不是偏度量也不是b-度量．

定義2[11]設(X,d)是一偏b-度量空間，s是系數(shù)，序列{xn}?X．

定義3[11]設(X,d)是一偏b-度量空間，s是系數(shù)，序列{xn}?X．

2)如果每一個X中的0-Cauchy序列{xn}都存在x∈X，使得

則稱(X,d)是0-完備的偏b-度量空間．

注2在偏b-度量空間中，序列的收斂極限可能不唯一．每個0-Cauchy列都是Cauchy列，反之不然．每個完備的偏b-度量空間一定是0-完備的，反之不一定成立．具體例子可以參見文獻[10]．

定義4設(X,?)是一半序集，d是X上的偏b-度量空間，則稱(X,?,d)是一個半序偏b-度量空間．

定義5[12]設(X,d)是一半序偏b-度量空間，f:X→X是自映像，A?X，定義δ(A)=sup{d(x,y)|x,y∈A}，對任意的x∈A，n∈N，記

OA(0,∞)={x,fx,f2x,…,fnx，…}

稱為f在x處生成的軌道．

定義6[12]如果A中每個OA(0,∞)中的Cauchy序列都收斂于x*∈A，稱空間(X,d)關于A是f-軌道完備．

定義7[12]如果ΟA(0,∞)中每一個嚴格單調(diào)增的序列都收斂于A中且極限值為序列的嚴格上界，即如果{xn}?ΟA(0,∞)且嚴格單調(diào)增，則xn→x*∈A且xnx*，稱(X,d)關于A是軌道完備．

定義8[14]設函數(shù)ψ:[0,+∞)→[0,+∞)滿足以下條件：

(ψ1)ψ連續(xù)且單調(diào)不減；

(ψ2)ψ(t)=0當且僅當t=0，

則稱ψ是距離改變函數(shù)．

1 主要結果

ψ(sd(fx,fy))≤ψ(d(x,y))-φ(d(x,y))，

(1)

其中ψ是改變距離函數(shù)，φ:[0,+∞)→[0,+∞)是下半連續(xù)函數(shù)，φ(t)=0當且僅當t=0，則f在A中存在唯一不動點．

證明 由A≠?知存在x0∈A且x0?f(x0)．不妨假設x0fx0，若不然，則有x0=f(x0)可知x0為不動點．取x1=fx0，由f(A)?A知x1∈A且x0x1．同理取x2=fx1，若x1=fx1，則x1為不動點，否則x1x2．依此類推，可以構造序列{xn}?A，使得對任意n∈N，

xn+1=f(xn)且xnxn+1．

(2)

ψ(sd(xn,xn+1))=ψ(sd(f(xn-1),f(xn))≤ψ(d(xn-1,xn))-φ(d(xn-1,xn))．

(3)

又因為函數(shù)ψ，φ單調(diào)不減，故

ψ(d(xn,xn+1))≤ψ(sd(xn,xn+1))，

(4)

ψ(d(xn-1,xn))-φ(d(xn-1,xn))≤ψ(d(xn-1,xn))．

(5)

ψ(d(xn,xn+1))≤ψ(d(xn-1,xn))-φ(d(xn-1,xn))．

(6)

2)證明{xn}是0-Cauchy序列．若不然，假設{xn}不是0-Cauchy序列，則存在{xn}子列{xmk}和{xnk}，存在ε0>0，當nk>mk>n0∈N時，nk是相對mk最小指數(shù)，使得

d(xmk,xnk)≥ε0，

(7)

d(xmk,xnk-1)<ε0．

(8)

由(7)(8)式及定義1(iv)式可得

d(xmk-1,xnk-1)≤s(d(xmk,xmk-1)+d(xmk,xnk-1))-d(xmk,xmk)≤

sε+sd(xmk,xmk-1)-d(xmk,xmk)，

(9)

同理由(7)(8)及定義1(iv)式可得

ε0≤d(xmk,xnk)≤s(d(xmk,xmk-1)+d(xmk-1,xnk))-d(xmk-1,xmk-1)≤

sd(xmk,xmk-1)+s(s(d(xmk-1,xnk-1)+d(xnk-1,xnk))-d(xnk-1,xnk-1))-d(xmk-1,xmk-1)=

sd(xmk,xmk-1)+s2d(xmk-1,xnk-1)+s2d(xnk-1,xnk)-sd(xnk-1,xnk-1)-sd(xmk-1,xmk-1)．

取下極限令k→+∞可得

(10)

由(1)和(7)式及ψ的單調(diào)性可得

ψ(sε0)≤ψ(sd(xmk,xnk))≤ψ(d(xmk-1,xnk-1))-φ(d(xmk-1,xnk-1))

令k→+∞取上極限可得

ψ(sd(xn+1,fx*))=ψ(sd(fxn,fx*))≤ψ(d(xn,x*))-φ(d(xn,x*))．

令n→+∞取極限得

ψ(sd(x*,fx*))≤ψ(d(x*,x*))-φ(d(x*,x*))≤ψ(d(x*,fx*))-φ(d(x*,x*))．

因此φ(d(x*,x*))=0，d(x*,x*)=0，于是ψ(sd(x*,fx*))=0，所以d(x*,fx*)=0，即fx*=x*．

3)證明不動點x*是唯一的．若不然，假設存在y*∈A使得fy*=y*且y*≠x*，由(1)式可知

ψ(sd(x*,y*))=ψ(sd(fx*,fy*))≤ψ(d(x*,y*))-φ(d(x*,y*))

因此d(x*,y*)=0，由定義知x*=y*，即x*是唯一不動點．

定理2設(X,d,?)是一半序偏b-度量空間，系數(shù)s≥1，f:X→X是一壓縮型映像，集合A={x|x?fx,x∈X}非空，f(A)?A且對任意x,y∈A滿足

sd(fx,fy)≤d(x,y)-φ(d(x,y))

證明 令ψ(x)=x，仿照定理1證明．

定理3設(X,d,?)是一半序偏b-度量空間，系數(shù)s≥1，f:X→X是一壓縮型映像，集合A={x|x?fx,x∈X}，f(A)?A非空且對任意x,y∈A滿足

d(fx,fy)≤λd(x,y)

2 舉例

ψ(d(x,y))-φ(d(x,y))=2y2-y2=y2

顯然ψ(d(fx,fy))≤ψ(d(x,y))-φ(d(x,y))，因此滿足定理1的壓縮條件，故由定理1可知f在A上有唯一的不動點x=0．