如何判斷空間中四點是否共面

管小紅

在空間中的點是隨意分布的，不一定在同一個平面內(nèi).判斷空間中的三個點是否在一個平面內(nèi)的依據(jù)是公理：過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.由此公理可得出兩個結(jié)論，即結(jié)論1：經(jīng)過兩條平行的直線，有且只有一個平面;結(jié)論2：經(jīng)過兩條相交的直線，有且只有一個平面.在判斷空間中的四個點是否共面時，我們需根據(jù)這兩個結(jié)論來解題.下面以一道題為例，談一談判斷空間中的四個點是否共面的方法.

題目：如圖1，已知平面 ABEF⊥平面 ABCD ，四邊形 ABEF 與四邊形 ABCD 都是直角梯形，∠BAD =∠FAB =90°，BC? AD， BEAF .請判斷 C，D，E，F(xiàn) 四點是否共面.

該幾何體為不規(guī)則幾何體，僅靠觀察圖形，很難判斷空間中的 C 、D 、E 、F 四個點是否共面.我們需根據(jù)上述兩個結(jié)論來尋找解題的思路.有如下三種方法.

方法一：運用坐標系法進行判斷

坐標系法是解答立體幾何問題的重要方法.只要根據(jù)幾何體的特征建立合適的空間直角坐標系，求出各個點的坐標，便可將問題轉(zhuǎn)化為向量運算問題，運用向量的共線定理便可證明四個點所在的兩條直線平行，根據(jù)結(jié)論1可判定空間中的四點共面.

解：因為平面 ABEF⊥平面 ABCD，AF⊥AB，所以 AF⊥平面 ABCD，所以以 A 為坐標原點、射線 AB為 x 軸的正半軸，建立如圖2所示的空間直角坐標系 A -xyz .設(shè) AB =a，BC =b，BE =c .由題意得 A0，0，0， Ba，0，0，Ca，b，0，D0，2b，0，Ea，0，c.則 F0， 0，2c，所以 F D =0，2b，-2c，而 E C =0，b，c，所以 E C = F D，所以 EC//FD，所以 C，D，E，F(xiàn) 四點共面.

方法二：利用三角形中位線的性質(zhì)進行判斷

三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.在判斷空間中的四個點是否共面時，可巧妙添加輔助線，合理構(gòu)造三角形及其中位線.若四個點在三角形的中位線或第三邊上，便可利用三角形中位線的性質(zhì)證明四點共線.

解：延長 CD 交 AB 的延長線于 G 點，由 BC// AD得 BC 是三角形 ADG 的中位線，則 GA = GD = AD =2.延長 EF 交于 AB 的延長線于 G′點，由 BE// AF 得EB 是三角形 AFG 的中位線，則 G′F = G′A = AF =2，所以 G′A = GA，所以 G 與 G′重合，所以直線 CD 、EF 相交于G 點，所以 C，D，E，F(xiàn) 四點共面.

方法三：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進行判斷

平行四邊形的一個重要性質(zhì)是：平行四邊形的兩組對邊平行且相等.在判斷空間中的四個點是否共面時，可根據(jù)題意合理添加輔助線，構(gòu)造平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)便可證明四個點所在的兩條直線平行，根據(jù)結(jié)論1即可證明空間中的四個點共面.

解：如圖4，取 FA，F(xiàn)D 的中點 G， H，連接 BG， GH， HC .由題意得 FG = GA，F(xiàn)H =HD，所以 FH =HD，所以 GH//AD，GH =2AD .又 BC//AD，BC =2AD，所以 GH//BC，GH =BC，所以四邊形 BCHG 是平行四邊形，所以BG//CH .又因為BE //AF，BE = AF，G 是 FA 中點，所以 BE // GH，BE = GH，所以 EF//BG，所以 EF// GH，所以 CE， FH 共面.又因為 D 在直線 FH 上，所以 C， D，E，F(xiàn) 四點共面.

解答空間立體幾何問題需找到解題的依據(jù)，而判斷空間中四點共面的依據(jù)是上述公理.我們由該公理的兩個結(jié)論想到平面向量的共線定理、三角形中位線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，于是運用坐標系法、構(gòu)造三角形的中位線、平行四邊形，從而判定空間中的四點共面.因此，在解答立體幾何問題時，同學(xué)們需首先找到解題的依據(jù)，如公理、定理、性質(zhì)等，由此展開聯(lián)想，來尋找解題的方案.

（作者單位：江蘇省鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)）