例談基本不等式的配湊技巧

陸咸娟

基本不等式：a，b ∈ R+ ，a + b ≥ 2 ab .基本不等式在解答高中數(shù)學問題中應用廣泛，尤其在求函數(shù)的最值、值域以及參數(shù)的范圍時，運用基本不等式能快速求得問題的答案.在運用基本不等式時需確保三個前提條件成立，即（1）兩個數(shù)為正數(shù);（2）兩數(shù)的和或積為定值;（3）當且僅當 a=b 時取“=”號.第一、三個條件一般很容易找到，第二條件卻很難得到.下面重點談一談如何配湊出兩式的和或積，并使其中之一為定值.

一、分離常數(shù)

對于含有分式，且分子的最高次數(shù)高于分母的最高次數(shù)的代數(shù)式，在求其最值時，我們需要將分子配湊成分母的倍數(shù)，將其化簡為“整式+分式”的形式，這樣便將常數(shù)分離.再將整式配湊為分式分母的倍數(shù)，兩式的乘積便為定值，就能直接運用基本不等式解題.

例1 .

解：我們先將函數(shù)式變形，將分子配湊為分母的倍數(shù)，使常數(shù)分離，將分式變形為 y = ag（x）+ bg（x）+ c 的形式，這樣使兩式的積為定值.

二、“1”的代換

“1”的代換法通常適用于“已知 a + b = 1或ab = 1，求 ma + nb（m，n為常數(shù)）的最值”問題.在解題時，可將“1”代入目標式中，通過化簡得到 m + n + nba + mab .而

nba ，mab 的積為定值，這樣就能運用基本不等式來求得目標式的最值.

例 2 .已知 a > 0，b > 0，a + 2b = 1 ，求 t = 1a + 1b 的最小值.

解：

在求解此題時，我們可直接在目標式的左右乘以1，通過“1”的代換將目標式轉(zhuǎn)化為與的和式，而與 的積為定值，這樣便可利用基本不等式求t 的最小值.

三、湊系數(shù)

有時為了方便運用基本不等式解題，我們需將代數(shù)式中的系數(shù)進行調(diào)整，可通過乘以、除以、加上、減去某個常數(shù)，配湊出相同的系數(shù)，以便使兩式的和或積為定值.在湊系數(shù)時，我們需將兩式進行對比，以明確其中缺少的系數(shù)，再進行配湊.

例3.若 x ∈（0，），求函數(shù) y =x（5-2x）的最大值.

解：y =x（5-2x）=?2x（5-2x）≤（）2≤ × = ，當且僅當2x =5-2x 時，即x = 時取等號，所以 y =x（5-2x）的最大值為 .

對于形如 y =ax（b -cx）、y =ax 的代數(shù)式，可以利用湊系數(shù)的方法將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為 y = cx（b -cx）、y = a? x ，然后直接利用基本不等式求最值.

基本不等式的配湊技巧還有很多種，如添減項、換元等.在配湊時，同學們要仔細觀察函數(shù)式的結構特征，如函數(shù)式中含有分式、絕對值，為乘積、和的形式等，然后將其進行變形、整合，如分離常數(shù)、進行“1”的代換、湊系數(shù)等配湊出兩式的和或者積，并使其一為定值，這樣就能方便運用基本不等式求得最值.

（作者單位：江蘇省鹽城市大岡中學）