巧用“追問(wèn)”與“變式” 促進(jìn)深度學(xué)習(xí)
——以基本不等式應(yīng)用為例

蔡旦利

(諸暨中學(xué)，浙江 諸暨 311800)

蘇聯(lián)教育家烏申斯基曾說(shuō)：“復(fù)習(xí)不是為了修補(bǔ)倒塌了的建筑,而是為了加固原來(lái)的結(jié)構(gòu),并且建一新的樓房.”這就告訴我們：復(fù)習(xí)課不是簡(jiǎn)單地“炒冷飯”,應(yīng)從學(xué)生的學(xué)習(xí)需求與現(xiàn)狀出發(fā)，將復(fù)習(xí)課上成豐富的、生動(dòng)的思維構(gòu)建課，有助于學(xué)生知識(shí)的提高和升華.而復(fù)習(xí)課最突出的矛盾就是時(shí)間緊，思維量大，要處理足量的題目與充分發(fā)展學(xué)生思維之間的矛盾，能否處理好這二者之間的關(guān)系直接影響到課堂的效果．

波利亞認(rèn)為，智力的特殊成就是解題，而數(shù)學(xué)教師的首要任務(wù)就是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展解決問(wèn)題的能力.波利亞把解題分成4個(gè)部分：了解問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧.其中,了解問(wèn)題是指弄清已知數(shù)和未知數(shù),條件是什么,可用哪些符號(hào)來(lái)表述問(wèn)題；擬定計(jì)劃是指找到已經(jīng)解決過(guò)的題目與這個(gè)題目的聯(lián)系與區(qū)別；實(shí)現(xiàn)計(jì)劃是指解決當(dāng)前問(wèn)題，核驗(yàn)每個(gè)步驟；回顧包括如何把這個(gè)結(jié)果或方法進(jìn)行深度思考和反芻,能否運(yùn)用到其他題目上去[1].

為實(shí)現(xiàn)以上4個(gè)部分和諧有序展開(kāi),教師通過(guò)對(duì)題目的條件及結(jié)論的不斷變形，進(jìn)行啟發(fā)式追問(wèn)，這是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、建立高質(zhì)量課堂的有效手段．所謂“變式”教學(xué)就是對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理、習(xí)題等在不同視角、不同層次、不同背景下進(jìn)行變化，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求數(shù)學(xué)規(guī)律.其中“追問(wèn)”就是在教師提問(wèn)后，學(xué)生進(jìn)行回答，然后教師再根據(jù)回答情況進(jìn)行啟發(fā)性、有針對(duì)性地提問(wèn)．通過(guò)追問(wèn)可以讓學(xué)生更好地抓住重點(diǎn)、吃透關(guān)鍵.

求最值是高中數(shù)學(xué)考查的一塊重要內(nèi)容，其中基本不等式的應(yīng)用又是常用方法之一.通過(guò)加法、乘法、除法和開(kāi)方等運(yùn)算，揭示了算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小規(guī)律，并且通過(guò)拓展得出了其他幾類平均數(shù)之間的大小關(guān)系，這是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要載體.它的考查方法靈活多變，在每年的模擬考試乃至于高考中都得到了命題專家的青睞.當(dāng)然，在復(fù)習(xí)備考中不能只把問(wèn)題著眼于各種眼花繚亂的代數(shù)形式的變形上，而應(yīng)該讓學(xué)生明白為什么要這樣變形，這種變形方法又是如何想到的，使學(xué)生在碰到新的問(wèn)題時(shí)不會(huì)手足無(wú)措，懂而不會(huì).

下面筆者以一節(jié)關(guān)于基本不等式的復(fù)習(xí)課為例，簡(jiǎn)單談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)與理解.

上課開(kāi)始，教師直接給出問(wèn)題.

例1設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足4x2-2xy+y2=8，則2x+y的最大值為_(kāi)_____.

幾分鐘后，教師展示學(xué)生的方法：由條件得到

(2x+y)2-6xy=8,

即

從而

(2x+y)2≤32,

于是

師：怎么想到把條件配湊成2x+y和xy這樣的形式呢？

生1：兩個(gè)數(shù)的和可以聯(lián)想它們的積，把條件配湊成2x，y的“積”與“和”的形式，從而利用基本不等式將“積”轉(zhuǎn)化為“和”，可以直接變?yōu)殛P(guān)于2x+y的一個(gè)不等關(guān)系.

師：那么為什么又把2xy單獨(dú)放在一邊了呢？

生1：這樣使得目標(biāo)更加清晰了.要求的是“和”，因此要把轉(zhuǎn)化對(duì)象之“積”放在一邊，再轉(zhuǎn)化為目標(biāo)就行了.

師：其實(shí)就是保留“要的”在一邊，把另一部分轉(zhuǎn)化為“要求的對(duì)象”即可.這個(gè)過(guò)程中使用了基本不等式的方法，其關(guān)鍵是配湊.

評(píng)注該教學(xué)過(guò)程是為了讓學(xué)生明白：1)這是求兩個(gè)數(shù)的和的問(wèn)題；2)和的最值問(wèn)題可以聯(lián)想兩個(gè)數(shù)的積；3)如何確保最值能取到，從而建立起應(yīng)用基本不等式求最值的模式.這顯然比教師直接強(qiáng)調(diào)“一正、二定、三相等”有效多了.

師：大家還有其他方法嗎？對(duì)于二元變量問(wèn)題，可以怎么處理?xiàng)l件？

生2：可以通過(guò)條件找兩個(gè)變量之間的關(guān)系，把其中一個(gè)變量用另一個(gè)量來(lái)替換.

師：也就是“消元”的思想.問(wèn)題是這里的條件是平方關(guān)系，消元的話要帶根號(hào)了，運(yùn)算起來(lái)有些不方便.

生3：可以采用三角換元.先配成兩個(gè)完全平方之和，即

3x2+(x-y)2=8，

亦即

師：此時(shí)x,y都可以用θ表示了，變量也就只有一個(gè)了，那要注意什么問(wèn)題呢？

生3：新變量θ的取值范圍要定下來(lái)，這個(gè)問(wèn)題中x的取值沒(méi)有要求，即θ∈R，從而

師：對(duì)于有條件的多變量問(wèn)題，我們往往可以通過(guò)條件去“消元”；對(duì)于帶有平方的式子，配方后進(jìn)行三角換元也不失為一種好的方法.我們?cè)偎伎家幌逻€有沒(méi)有其他方法能夠把兩個(gè)變量變?yōu)橐粋€(gè)呢？觀察一下條件，有什么啟發(fā)呢？

生4：可以先求(2x+y)2，用常數(shù)代入，轉(zhuǎn)化成一個(gè)齊次的二次分式形式，即

師：經(jīng)過(guò)這樣的處理，形式就比較完美了，分子、分母的每一項(xiàng)都變成了二次的形式.下面如何處理呢？

生4：可以同時(shí)除以x2或y2或xy.

師：好的，我們來(lái)看一下，比如選擇同除以x2，得

生5：可以把分子的二次項(xiàng)“分離”，得

這樣就可以用基本不等式了.

師：這里新變量t的取值范圍是什么？使用基本不等式的時(shí)候要注意什么問(wèn)題？

生6：t有可能會(huì)大于0，也有可能會(huì)小于0.

師：這種通過(guò)齊次式形式處理為一元的方法很好.可以把這個(gè)過(guò)程總結(jié)如下：

評(píng)注三角換元和變齊次式的方法實(shí)際上都是將題目中的多變量變?yōu)橐粋€(gè)，從而使問(wèn)題更加簡(jiǎn)潔、明了.

師：在這里我們也可以將目標(biāo)2x+y看成t，則y=t-2x，代入條件得到關(guān)于x的一個(gè)一元二次方程

12x2-6tx+t2-8=0.

利用方程有解，通過(guò)Δ≥0可得t的取值范圍，我們把上述方法稱做判別式法.請(qǐng)大家總結(jié)一下該方法還可以用在什么問(wèn)題中？

生7：含有一個(gè)二次式的整式問(wèn)題，把要求的量看成二次方程的系數(shù)即可.

評(píng)注通過(guò)教師的追問(wèn)和提示，學(xué)生從一個(gè)例題出發(fā)，找到了處理一類問(wèn)題的方法.通過(guò)對(duì)題目的分析提煉，洞察題目類型和模式，提升了學(xué)生的概括能力和轉(zhuǎn)化能力.

師：如果給原題附加條件x<0,y<0，還能像上面那樣做嗎？

生8：那應(yīng)該要發(fā)生變化了.比如在配湊法中，(2x+y)2-6xy=8隱含著(2x+y)2>8，因此2x+y的取值范圍會(huì)進(jìn)一步縮?。辉谌菗Q元中，角θ的取值范圍也會(huì)受到約束；齊次式中t的范圍會(huì)變化；最后一種方程思想只考慮Δ≥0還不行，因?yàn)閤<0，所以要在(-∞,0)上求解.

師：同一類型的問(wèn)題，條件稍微變化一下，得到的結(jié)果就會(huì)發(fā)生變化.因此，當(dāng)我們碰到問(wèn)題時(shí)，要注意觀察，區(qū)別對(duì)待.

下面只要分析二次函數(shù)復(fù)合反比例函數(shù)的取值范圍即可.

師：那么m的取值范圍還是原來(lái)的嗎？

師：除了這樣去消元，條件中的定值1還有其他用法嗎？

師：這里角θ的范圍呢？

生10：因?yàn)閙=cos2θ>0,n=sin2θ>0,所以θ∈R,sin2θ∈(0,1],從而

生12：變式1與例1題型相同，只是分母發(fā)生了變化，因此可以把條件配成分母的兩部分形式.即

再把x+1和my+1看成整體，就變成例1的形式了.

師：很好！變式1給出了最小值，然后求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題.再來(lái)觀察一下變式2.

師：變式2與例1相比，不同點(diǎn)在哪里？

生13：分子不是常數(shù)了.

師：我們可以怎么處理？

生13：用分離常數(shù)法.由

師：對(duì)的！這樣一轉(zhuǎn)化也變成了原來(lái)的問(wèn)題.

師：變式3中有3個(gè)變量，如何處理？

生14：首先還是把分子4y+2z分離，得

已知條件可變形為 2(2y+z)+3(x+z)=6，

評(píng)注有了例1的啟發(fā)，學(xué)生能想到“消元法”，變式3中“逆代法”的結(jié)構(gòu)特征也是比較明顯的,因此變式3的解決較順利.在此，筆者設(shè)置變式1～3的目的是：通過(guò)對(duì)比去挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，從而提高學(xué)生思維的可辨性，培養(yǎng)解題能力.

這樣的一節(jié)課下來(lái)，筆者有兩個(gè)深刻的體會(huì)：1)通過(guò)不斷地“追問(wèn)”開(kāi)拓了學(xué)生的思路，從而尋找到新的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)；2)一題多解，一題多變，達(dá)到了觸類旁通、舉一反三的效果，以學(xué)生為主的課堂教學(xué)模式也得到了體現(xiàn)．同時(shí)，關(guān)于“追問(wèn)”，筆者認(rèn)為：“追問(wèn)”要精準(zhǔn)，緊扣目標(biāo)，不能空泛；“追問(wèn)”要精煉，抓住重點(diǎn)，不能零碎；“追問(wèn)”要有序，由淺入深，順藤摸瓜；“追問(wèn)”要靈活，啟發(fā)思考，直搗黃龍.“追問(wèn)”的時(shí)間節(jié)點(diǎn)可以是缺乏思考時(shí)或欠缺深度時(shí)，甚至是產(chǎn)生歧義時(shí).“追問(wèn)”能使學(xué)生把零碎、散亂、無(wú)序的知識(shí)主動(dòng)構(gòu)建成整體、系統(tǒng)的知識(shí)體系.

題目永遠(yuǎn)是做不完的，但是萬(wàn)變不離其宗，若能善于變式，善于挖掘不同的解題思路，在不斷“變”的過(guò)程中掌握一類問(wèn)題的解法，則會(huì)大大提高教學(xué)效率.“變”與“不變”，都要讓學(xué)生去經(jīng)歷，通過(guò)不斷地引導(dǎo)與點(diǎn)撥，讓學(xué)生去思考和比較，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì).只要我們?cè)趯?shí)踐中不斷總結(jié)、探索、創(chuàng)新，就會(huì)找到更多、更好的教學(xué)方法．