淺談數(shù)字“1”在最值問題中的應用

曹江誼

(義烏市第五中學,浙江 義烏 322000)

“1”是數(shù)字發(fā)展的開始，也是人類最早用于記數(shù)的單位，更是在數(shù)學解題中不尋常且又奇妙的存在，在諸多知識板塊的問題求解中都能見到它活躍的身影，尤其在最值問題中.無論是不等式的最值問題，還是與函數(shù)、解析幾何、線性規(guī)劃等其他知識相結合的問題，靈活運用數(shù)字“1”進行式子轉化，常能快速找到解題思路，從而使問題迎刃而解.

本文從平時的教學中總結了多類最值問題，試圖通過數(shù)字“1”在這些題目中的巧妙應用，讓學生深刻體會數(shù)字“1”在最值問題中的重要作用，嘗試引導學生發(fā)掘數(shù)字“1”的各種巧思妙用，以此提高他們的觀察運算能力和邏輯思維能力.

1 在不等式最值問題中的應用

在不等式最值問題中，如何巧妙地使用數(shù)字“1”是解題的關鍵.它的恰當、靈活運用，不僅能達到化繁為簡、化難為易的效果，而且還能讓學生在解題中感受到“柳暗花明又一村”的驚喜.求解時，數(shù)字“1”有相乘、配湊、分離、消減等多種應用技巧和方式.下面就“1”的應用技巧簡單舉例介紹.

( )

A.m≥4或m≤-2 B.m≥2或m≤-4

C.-2

解若x+2y>m2-2m恒成立，則

m2-2m<(x+2y)min.

當且僅當x=4,y=2時取到等號，所以

(x+2y)min=8,

即

m2-2m<8,

解得-2

( )

A.3 B.4 C.10 D.16

進行適當變形,得到

利用基本不等式即可求得最小值為4.

解由已知x+y=1,可得

x+1+y+2=4,

當且僅當x=0,y=1時取到等號.故選B.

這里對數(shù)字“1”應用了直接相乘和配湊相乘的解題技巧，特別是在湊系數(shù)時，我們要根據(jù)題意將目標式進行拆分，從而找到缺少的系數(shù).通過技巧為基本不等式的使用創(chuàng)設條件，成功地將式子變形為能相乘為常數(shù)的結構，從而達到快速解題的目的.

在有關分式的題目中最常用的方法是分離常數(shù)法.本題就是抓住題目中分式的結構特征，分離出數(shù)字“1”，并對式子進行巧妙的變形，使其出現(xiàn)兩數(shù)之積為定值的結構，以此利用基本不等式進行求解.分離技巧往往應用于分式最值問題中，此時還需注意分子、分母在配湊時的系數(shù)變化情況.

例4已知正實數(shù)x,y滿足x2+xy=1，則y2-2xy的最小值是______.

解由x2+xy=1，可得

此題應用的是數(shù)字“1”的消去技巧.除了上述方法外，數(shù)字“1”的應用技巧還有很多，如代入法、加減法等.學生在解題過程中，容易形成思維定勢，我們除了要掌握典型題型中“1”的妙用外，在平時的解題中，更要學會靈活多變，不拘泥于套路，具體問題具體分析.

2 在與其他知識相結合的最值問題中的應用

2.1 與三角函數(shù)相結合

解三角形是三角函數(shù)中的重要組成部分.在求解三角形的過程中，往往需要結合正余弦定理對原等式進行“邊化角”或“角化邊”運算.在“角化邊”的運算中通?？梢缘玫綆讞l邊之間的等式關系，巧妙地對等式中的“1”進行轉換，往往會得到意想不到的好處.

圖1

( )

因為C∈(0,180°),sinC≠0,所以

即

又因為A∈(0,180°),所以A=120°.

如圖1，由S△ABC=S△ABD+S△ACD,知

得

bc=b+c,

即

當且僅當b=c=2時取到等號.故選C.

2.2 與線性規(guī)劃知識相結合

圖2

2a+3b=12.

評注本題綜合了線性規(guī)劃的知識.在解題時，首先需要根據(jù)線性規(guī)劃知識建立關系式，然后利用得到的關系式巧用“1”進行代換，將所求式子巧妙變形為兩數(shù)之積為常數(shù)的形式,進而求得最值.

2.3 與函數(shù)相結合

f′(1)=0,

從而

2a+b=3,

于是

評注函數(shù)知識是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，常常與其他知識綜合進行考查，與不等式相結合的最值問題就是常考的內(nèi)容.因此在解題時，要抓住問題的本質(zhì)，結合函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像變換等得到“兩數(shù)之和或兩數(shù)之積為定值”的結構，最終利用數(shù)字“1”的各種應用技巧快速解題.

2.4 與解析幾何相結合

解析幾何中的最值問題往往綜合性較強，常與距離、角度有關.在解題時，需要根據(jù)題意挖掘出關于“1”的等式，從而達到化繁為簡的效果.

( )

圖3

解如圖3，橢圓的焦點在y軸上，且當點P為橢圓的左、右頂點時，∠APB取得最大值120°,則

又

得

|PM|+|PN|=2a=6,

當且僅當|PM|=2,|PN|=4時取到等號.故選D.

2.5 與立體幾何相結合

圖4

分析本題考查立體幾何的空間位置關系，首先要找到線面之間的聯(lián)系，然后運用求體積的相關知識將空間問題轉化為不等式關系，最后結合“1”的妙用求解.

解如圖4，設點A在底面BCD的射影為E,則△BCD的外接圓半徑為

從而

所以

由等體積法可得

VA-BCD=VO-ABC+VO-ACD+VO-ABD+VO-BCD

即

又因為x,y都是正數(shù)，所以

以上是筆者積累和總結的“1”在不等式及與其他知識相結合最值中的應用.在具體問題中，我們要針對不同類型的目標式采用相應的有關“1”的方法進行求解,特別是與其他知識相結合的題目中，要善于挖掘題中隱含的“1”的條件.只要能夠靈活運用有關“1”的各種方法，舉“1”反三，時刻牢記基本不等式的運用條件“一正、二定、三相等”，最終往往能化繁為簡，化難為易，起到“1”點通的妙效[1].

拓展學生的探索創(chuàng)新思維，提高其邏輯解題能力，進而培養(yǎng)他們的數(shù)學核心素養(yǎng)，這一直是數(shù)學教學的核心要求和終極目標.筆者通過數(shù)字“1”在最值問題中的靈活妙用，試圖從中找到線索,以期在培養(yǎng)學生數(shù)學綜合能力方面達到拋磚引玉之效.