線性代數(shù)河北省精品在線開放課程建設(shè)實(shí)踐

李麗紅，何亞麗，郭小強(qiáng)

(華北理工大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山 063210)

大學(xué)數(shù)學(xué)課程，對(duì)于普通地方高等院校，特別是理工科院校，有著舉足輕重的地位[1]。數(shù)學(xué)課程公共課的教學(xué)水平是學(xué)校教學(xué)質(zhì)量中最重要的一環(huán)[2]。截至2016年12月，中國(guó)網(wǎng)民規(guī)模達(dá)7.31億，互聯(lián)網(wǎng)普及率為53.2%。智能手機(jī)的推廣使得網(wǎng)民中手機(jī)上網(wǎng)的人群比例持續(xù)上升，而大學(xué)生幾乎人手一智能手機(jī)[3]。互聯(lián)網(wǎng)和移動(dòng)通訊等網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的快速發(fā)展，為慕課、微課、開放課教學(xué)模式提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)[4-7]?！毒€性代數(shù)》一直是為工科和部分文科專業(yè)學(xué)生開設(shè)的一門重要的公共基礎(chǔ)課，它是其它自然科學(xué)與經(jīng)濟(jì)科學(xué)的基礎(chǔ)。其獨(dú)特的理論體系、嚴(yán)格的推理論證和抽象的思維方法都極具特色，是其它課程無法取代的[8]。

一、在線開放課程建設(shè)總體思路

線性代數(shù)課程教學(xué)采取線上線下混合教學(xué)模式，充分利用自建、優(yōu)質(zhì)的開放課線上資源，“課下線上隨時(shí)學(xué)，課上線下強(qiáng)化學(xué)”，有效解決數(shù)學(xué)課程學(xué)時(shí)不足，學(xué)生練習(xí)不夠，難點(diǎn)答疑不及時(shí)的“痛點(diǎn)”問題；課程內(nèi)容遵循“案例引入+基礎(chǔ)知識(shí)+性質(zhì)解析+案例分析+知識(shí)應(yīng)用”的設(shè)計(jì)理念，以線性方程組為主線，概念的引出、方法的講解、理論的證明及應(yīng)用均以線性方程組為主，以矩陣、向量為輔助工具，初等變換為主要手段，有效解決大學(xué)數(shù)學(xué)課程抽象不好理解的“痛點(diǎn)”問題；以簡(jiǎn)單直觀的方式呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，以應(yīng)用案例的解決化解教學(xué)難點(diǎn)，理論與實(shí)踐并重。注重培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)”數(shù)學(xué)的本能、“習(xí)”數(shù)學(xué)的意識(shí)和“用”數(shù)學(xué)的能力。

線上資源知識(shí)點(diǎn)劃分原則：概念、方法。概念注重引入和剖析；方法注重思路分析、應(yīng)用技巧、融會(huì)貫通。在線教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行碎片化處理后，形成彼此獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)51個(gè)，制作教學(xué)視頻51個(gè)，每個(gè)視頻時(shí)長(zhǎng)控制在10分鐘左右，最多不超過20分鐘，在線資源覆蓋全部知識(shí)點(diǎn)。分割學(xué)習(xí)內(nèi)容后，每個(gè)碎片知識(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)間變得可控，提高學(xué)生掌握學(xué)習(xí)時(shí)間的靈活度。學(xué)生可以從任何知識(shí)點(diǎn)開始進(jìn)行重復(fù)學(xué)習(xí)，直到學(xué)懂為止，從而真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自主化學(xué)習(xí)。線上慕課每章設(shè)有小結(jié)，旨在助力學(xué)生全面了解知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)思路、經(jīng)典方法、重點(diǎn)難點(diǎn)及知識(shí)點(diǎn)的典型應(yīng)用。為幫助學(xué)習(xí)者掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容或測(cè)試學(xué)習(xí)效果，線上還設(shè)置有在線題庫和在線答疑模塊，開放期內(nèi)全天有教師和助教在線答疑，實(shí)現(xiàn)疑難問題當(dāng)天解決。2020年，在線開放課上線運(yùn)行(圖1)，在疫情延期返校期間，有序組織3000學(xué)生線上線下同步進(jìn)行，圓滿完成教學(xué)任務(wù)。

圖1 2020年課程第一次線上運(yùn)行安排

二、課程建設(shè)創(chuàng)新研究

(一)課程教學(xué)理念創(chuàng)新

課程組結(jié)合課程教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)與反思，圍繞“數(shù)學(xué)不僅是一些知識(shí)，也是一種素質(zhì)，即數(shù)學(xué)素質(zhì)；數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一種文化，即數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)不僅是一種工具，也是一種思維，即理性思維”；形成課程教學(xué)的創(chuàng)新理念。當(dāng)今人類進(jìn)入信息時(shí)代，數(shù)學(xué)無聲無息地走進(jìn)人們的生活，引領(lǐng)科技的發(fā)展，把握社會(huì)的命脈。在追求科學(xué)的、可持續(xù)發(fā)展的工作目標(biāo)時(shí)，越來越多地需要數(shù)學(xué)的描述，需要使用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行定量分析，可以說信息時(shí)代本質(zhì)上是數(shù)學(xué)時(shí)代，信息技術(shù)本質(zhì)上是數(shù)字技術(shù)，使用數(shù)學(xué)的程度深淺成為衡量國(guó)家科學(xué)進(jìn)步的重要標(biāo)志。大學(xué)數(shù)學(xué)課程因其在培養(yǎng)大學(xué)生理性思維、計(jì)算能力、創(chuàng)新意識(shí)等方面具有不可替代的作用，而成為大學(xué)課程中最重要的公共必修課[9]。

線性代數(shù)課程的主要內(nèi)容包括：行列式、矩陣、線性方程組、向量組、特征值和特征向量、二次型等。通過本門課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生們掌握線性代數(shù)的基本概念、基本方法，獲得基本的運(yùn)算技能，并了解運(yùn)用線性代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的思路和方法，培養(yǎng)學(xué)生較強(qiáng)的運(yùn)算能力、抽象思維和邏輯思維能力，并具有建立數(shù)學(xué)模型和求解數(shù)學(xué)模型的初步能力，為學(xué)習(xí)后繼數(shù)學(xué)以及其它專業(yè)課程和將來的工作實(shí)踐奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

(二)課程教學(xué)組織創(chuàng)新

課程教學(xué)模式上采取線上線下混合教學(xué)，充分利用自建的線上資源，“課下線上隨時(shí)學(xué)，課上線下強(qiáng)化學(xué)”，有效解決數(shù)學(xué)課程學(xué)時(shí)不足，學(xué)生練習(xí)不夠，難點(diǎn)答疑不及時(shí)的問題(圖2)。

圖2 課程教學(xué)安排

教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)方面：線上開放課按知識(shí)點(diǎn)設(shè)置，內(nèi)容設(shè)計(jì)遵循“案例引入+基礎(chǔ)知識(shí)+性質(zhì)解析+案例分析+知識(shí)應(yīng)用”的教學(xué)理念，以線性方程組為主線，概念的引出、方法的講解、理論的證明及應(yīng)用均以線性方程組為主，以矩陣、向量為輔助工具，初等變換為主要手段。每章設(shè)計(jì)小結(jié)，便于學(xué)生全面了解知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)思路、經(jīng)典方法、重點(diǎn)難點(diǎn)及知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值；課堂討論主題29個(gè)，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)配備隨堂測(cè)試題5道，每個(gè)單元有單元測(cè)試10題。在分割學(xué)習(xí)內(nèi)容后，每個(gè)碎片化知識(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)間變得可控，提高學(xué)生掌握學(xué)習(xí)時(shí)間的靈活度。學(xué)生可重點(diǎn)學(xué)習(xí)對(duì)自己更有幫助或啟發(fā)的那部分內(nèi)容；針對(duì)性更強(qiáng)，吸收率更高。引入數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行線性代數(shù)的各種運(yùn)算，將線性代數(shù)與計(jì)算機(jī)融合，有利于學(xué)習(xí)者在工作和生活中應(yīng)用線性代數(shù)解決問題。

教學(xué)活動(dòng)組織方面：線下課上貫穿以人為本、素質(zhì)培養(yǎng)；重點(diǎn)把握傳授知識(shí)、培養(yǎng)能力、提高素質(zhì)和鍛煉思維之間的關(guān)系，采取分組任務(wù)、討論、搶答、翻轉(zhuǎn)課堂等方法[10-12]。線下線上、課上課下，重新調(diào)整課堂內(nèi)外的時(shí)間分配，教師組織，制成課前學(xué)習(xí)任務(wù)單，學(xué)生參與，貫徹“學(xué)生為主、學(xué)為主、學(xué)習(xí)效果為目標(biāo)”的理念。

課程考核方面：從一卷式考試調(diào)整到全過程考核，記錄學(xué)生整個(gè)課程學(xué)習(xí)的全過程，改變學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力；改變教師教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量和水平；促進(jìn)教師與教師、教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生的深度融合，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)精神。線上章節(jié)學(xué)習(xí)、課程測(cè)試，無法監(jiān)督學(xué)生是否獨(dú)立完成，為了考核學(xué)生知識(shí)掌握情況，督促學(xué)習(xí)進(jìn)度，又設(shè)置了期中階段考核環(huán)節(jié)做以補(bǔ)充(客觀試題，閉卷上機(jī)完成)。課程成績(jī)構(gòu)成為(圖3)：

圖3 課程成績(jī)構(gòu)成

總成績(jī)=平時(shí)成績(jī)40%+階段考試成績(jī)20%+期末考試成績(jī)40%；

平時(shí)成績(jī)=線下表現(xiàn)20%(作業(yè)課堂表現(xiàn)等)+線上MOOC成績(jī)20%；

線上MOOC成績(jī)=單元測(cè)試平均成績(jī)40%+課堂討論10%+課程測(cè)試成績(jī)50%。

課程提升方面：為夯實(shí)學(xué)科基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)興趣，深化現(xiàn)代信息技術(shù)與高等教育融合，創(chuàng)新學(xué)習(xí)模式，助力學(xué)生充分利用碎片化時(shí)間提高學(xué)習(xí)效率、拓寬視野、提升自己，推動(dòng)實(shí)現(xiàn)人人皆學(xué)、處處可學(xué)、時(shí)時(shí)能學(xué)的目標(biāo)，配合課程建設(shè)，申報(bào)學(xué)校組織開展的本科教學(xué)萬個(gè)小視頻(圖4)并獲得立項(xiàng)。課程結(jié)束后組織4學(xué)時(shí)全校講座，旨在打破章節(jié)結(jié)構(gòu)，梳理知識(shí)脈絡(luò)，點(diǎn)燃競(jìng)賽熱情，種下科研夢(mèng)想。暑期選拔學(xué)生參加大學(xué)數(shù)學(xué)提升暑期訓(xùn)練營(yíng)，全面梳理課程知識(shí)點(diǎn)，講解重點(diǎn)難點(diǎn)、典型例題，組織同學(xué)進(jìn)行精選練習(xí)，為數(shù)學(xué)競(jìng)賽和數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽選拔參賽選手。

圖4 小視頻目錄

(三)課程教學(xué)案例設(shè)計(jì)

課程精心設(shè)置課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，引入數(shù)學(xué)史話、數(shù)學(xué)文化，搜集相關(guān)的工程案例作為問題的提出，讓學(xué)生帶著問題聽課，帶著興趣學(xué)習(xí)。

例如講解向量組的秩與最大無關(guān)組時(shí)，引入營(yíng)養(yǎng)餐案例。首先，將營(yíng)養(yǎng)餐配料表用矩陣表示，將案例中涉及的問題用向量語言描述，從而將營(yíng)養(yǎng)餐問題轉(zhuǎn)化為向量組里向量的問題；其次，分析案例中選擇出的營(yíng)養(yǎng)餐的特點(diǎn)，對(duì)應(yīng)向量組中向量的特點(diǎn)得出符合條件的向量是其容量最大的線性無關(guān)部分組，由此引出向量組的最大無關(guān)組和秩的定義；再次，進(jìn)一步分析最大無關(guān)組和秩的特性和實(shí)質(zhì)，包括最大性、無關(guān)性、秩的唯一確定性、最大無關(guān)組的不確定性、向量組與最大無關(guān)組以及最大無關(guān)組之間的等價(jià)性；最后，通過最大無關(guān)組中向量的不可替代性和代表性，幫助學(xué)生明確在學(xué)習(xí)工作中要努力奮斗，從而實(shí)現(xiàn)個(gè)人的人生價(jià)值。

課程設(shè)置的情景教學(xué)，達(dá)到簡(jiǎn)約理論，重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)，改變以往枯燥的教學(xué)例題，引入與學(xué)生專業(yè)相關(guān)的教學(xué)案例(圖5)，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的應(yīng)用領(lǐng)域。同步錄制教學(xué)案例小視頻，有助于學(xué)生隨時(shí)學(xué)習(xí)。

圖5 課程教學(xué)案例庫

三、課程思政設(shè)計(jì)

2016年12月，習(xí)近平總書記出席全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議并發(fā)表重要講話，強(qiáng)調(diào)指出：“要堅(jiān)持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開創(chuàng)我國(guó)高等教育事業(yè)發(fā)展新局面”，并提出“各類課程與思想政治理論課程同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)”[13]。

線性代數(shù)課程以“知識(shí)傳授”、“能力提升與價(jià)值引領(lǐng)”相結(jié)合的原則為基礎(chǔ)，挖掘自身蘊(yùn)含的思政素材和資源，結(jié)合自身課程的特色和優(yōu)勢(shì)，圍繞“知識(shí)目標(biāo)”、“能力目標(biāo)”、“素質(zhì)目標(biāo)”三位一體構(gòu)建“課程思政”體系。按照“聯(lián)、融、引、立”的思政路徑進(jìn)行思政教學(xué)。通過線性代數(shù)課程內(nèi)容，結(jié)合數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化，提煉所蘊(yùn)含的人文精神、社會(huì)責(zé)任、愛國(guó)情懷，引導(dǎo)學(xué)生樹立和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，增強(qiáng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感、使命感和愛國(guó)熱情，使學(xué)生堅(jiān)定文化自信，繼承和發(fā)揚(yáng)中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化；培養(yǎng)新時(shí)代學(xué)生“工匠精神”，借助線性代數(shù)課程具有的“科學(xué)嚴(yán)密、邏輯性強(qiáng)”等特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生堅(jiān)守科學(xué)理念，強(qiáng)化數(shù)學(xué)意識(shí)，逐步提升學(xué)生精益求精、勇于創(chuàng)新的品質(zhì)，達(dá)成思政教育的目的。

通過思政教學(xué)各環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，線上線下配合，保障教學(xué)效果，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。在教學(xué)過程中，以立德樹人為出發(fā)點(diǎn)，堅(jiān)持教書與育人相結(jié)合，以思政元素為載體，隱性融入數(shù)學(xué)課程課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，豐富課程思政的內(nèi)涵，在傳授專業(yè)知識(shí)的同時(shí)，引領(lǐng)學(xué)生思想、塑造價(jià)值觀、培養(yǎng)家國(guó)情懷。深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)對(duì)相關(guān)學(xué)科、科學(xué)的基礎(chǔ)作用，感受數(shù)學(xué)史中作為文明古國(guó)的中華民族的貢獻(xiàn)和力量，激發(fā)我中國(guó)青年的責(zé)任與擔(dān)當(dāng)，建立民族自豪感、民族自信心、民族創(chuàng)造力，通過時(shí)事案例的數(shù)學(xué)分析、科學(xué)計(jì)算，切實(shí)感受當(dāng)今社會(huì)在黨的領(lǐng)導(dǎo)下，生活的幸福和美好。

四、課程教學(xué)實(shí)施情況與分析

開放課2020年2月在疫情特殊時(shí)期上線，為落實(shí)“停課不停學(xué)”發(fā)揮了重要作用，19級(jí)近3000名學(xué)生能夠順利、高效實(shí)施線上教學(xué)的背后，是課程組十幾名教師對(duì)本職工作的初心和堅(jiān)守。2801名學(xué)生全部進(jìn)入任課教師QQ群，課程平臺(tái)注冊(cè)總?cè)藬?shù)2902人，學(xué)生的注冊(cè)比例達(dá)到99%。線下課程組統(tǒng)一使用超星學(xué)習(xí)通管理自己的班級(jí)，通過發(fā)布作業(yè)的方式要求學(xué)生按時(shí)間節(jié)點(diǎn)上交平臺(tái)學(xué)習(xí)進(jìn)度截圖，作為平時(shí)成績(jī)依據(jù)，利用學(xué)習(xí)通點(diǎn)對(duì)點(diǎn)發(fā)送提醒信息功能，從而達(dá)到督促學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)的目的。

經(jīng)過兩個(gè)學(xué)期的運(yùn)行，課程按線上線下混合教學(xué)模式組織，線上資源可以隨時(shí)反復(fù)重點(diǎn)觀看學(xué)習(xí)、線下課上學(xué)生可以參加教師組織的重點(diǎn)難點(diǎn)討論和教學(xué)案例分析，課程學(xué)生整體參與率從70%(原始教學(xué)方式進(jìn)入課堂并參與課程活動(dòng)的學(xué)生)提高至90%(參與線上教學(xué)，使用平臺(tái)資源)，主動(dòng)參與率從30%(原始教學(xué)方式主動(dòng)參與課程活動(dòng)的學(xué)生)提高至60%(參與提問搶答翻轉(zhuǎn)課程的學(xué)生)。線上設(shè)有章節(jié)和課程測(cè)試，對(duì)于是否獨(dú)立完成無法監(jiān)督，為考核學(xué)生課程掌握情況，設(shè)置期中階段考核(閉卷上機(jī)完成)做以補(bǔ)充。確保使課程的實(shí)施過程和考核環(huán)節(jié)科學(xué)有效。

五、課程建設(shè)推廣與展望

河北省線性代數(shù)精品在線開放課可以實(shí)現(xiàn)線上線下混合式教學(xué)模式的開展。課程的建設(shè)模式，線上資源，可以供同類地方高校使用，也可以推廣到高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中。在線開放課的建設(shè)使課程的過程性評(píng)價(jià)考核得以實(shí)施，同時(shí)過程性評(píng)價(jià)和考核，使考核過程更加人性化，使教師可以觀測(cè)學(xué)生的點(diǎn)滴學(xué)習(xí)和成長(zhǎng)軌跡。在線開放課的基礎(chǔ)視頻資源已建設(shè)完成，提升模塊和課程推廣將是后續(xù)建設(shè)的重點(diǎn)工作。