隱圓“現(xiàn)”形記

摘 要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017版）指出，學(xué)科素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。所謂深度學(xué)習(xí)，是一種不同于一般意義學(xué)習(xí)方式的理解性學(xué)習(xí)，是一種在現(xiàn)象教學(xué)中把已有知識遷移到新問題的解決的學(xué)習(xí)方式，它更注重學(xué)習(xí)方式方法的掌握和運(yùn)用。所以，深度學(xué)習(xí)正是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的一把利劍，可以提高學(xué)生解決實際問題的能力，培養(yǎng)他們主動建構(gòu)知識的良好品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí);核心素養(yǎng);現(xiàn)象教學(xué)

一、問題提出

高中學(xué)生在剛接觸解析幾何時，對于直線與圓這一部分入門級內(nèi)容的學(xué)習(xí)，都感覺力不從心。大部分同學(xué)知道直線與圓問題的關(guān)鍵點在于圓心與直線的距離，但在遇到一些解析幾何問題時，仍然沒能看出題中隱藏的直線與圓的問題，當(dāng)然也就得不到解題思路，更不能解決這類問題。這很值得我們深究，為什么學(xué)生會無法發(fā)現(xiàn)問題的指向？從本質(zhì)上說是學(xué)生沒有抓住數(shù)學(xué)現(xiàn)象，進(jìn)行深度思考與學(xué)習(xí)，導(dǎo)致數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象這一關(guān)鍵能力沒能得到很好的培養(yǎng)。本文筆者以解析幾何中隱圓的問題來談?wù)劵跀?shù)學(xué)現(xiàn)象的深度學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)的關(guān)系。

二、案例分析

在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)如果給出圓的標(biāo)準(zhǔn)式或一般方程式，學(xué)生還是很容易上手的。但很多時候，題目中并沒有出現(xiàn)圓的方程，需要學(xué)生經(jīng)過分析、轉(zhuǎn)化等一系列方法技巧處理，才能發(fā)現(xiàn)是有關(guān)圓的問題，這類隱圓問題對學(xué)生來說就屬于難題了，如何來幫助學(xué)生尋找解答諸如此類的數(shù)學(xué)問題的方法呢？

其實很多數(shù)學(xué)問題的解題關(guān)鍵是善于透過條件現(xiàn)象的表面，深挖其內(nèi)涵，找尋隱含條件，這樣就能打開解題思路。下面我們就來觀察幾種現(xiàn)象，挖掘一下問題的關(guān)鍵，找到隱含圓的條件，發(fā)現(xiàn)那些隱圓。

問題情境1：含有動點P到兩定點距離的平方和為定值的現(xiàn)象

由于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是由兩點距離平方后推導(dǎo)而來，所以如果將兩個距離平方后相加，例如：動點P（x，y）與定點A（a，b），B（c，d）的距離平方和為：

PA2+PB2=（x-a）2+（y-b）2+（x-c）2+（y-d）2=

2x2+2y2-（2a+2c）x-（2b+2d）y+（a2+b2+c2+d2）

從這個數(shù)學(xué)現(xiàn)象出發(fā)，深入思考后發(fā)現(xiàn)兩個距離的平方和的“形”與圓的一般方程的“形”基本一致，因此我們就可以從方程的觀點出發(fā)，讓學(xué)生知道，只要能得到二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，當(dāng)滿足A=C且B=0時，就很有可能表示一個圓，從而就能發(fā)現(xiàn)隱含在題目中的圓了。

例1：D在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（x-a）2+（y-a+2）2=1，點A（0，2），若圓C上存在點P，滿足PA2+PO2=10，則實數(shù)a的取值范圍是? ?。

本題解析：由PA2+PO2=10這個已知條件，可以得知此處隱含了圓，所以設(shè)P（x，y），由PA2+PO2=10，得到二元二次方程x2+（y-2）2+x2+y2=10，整理后得x2+y2-2y-3=10，可見P的軌跡是以N（0，1）為圓心，2為半徑的圓。

又因為P是圓C上一點，即兩圓有交點，得，即，解得實數(shù)a的取值范圍是[0，3]。

情境拓展：一般的，一動點到任意有限多個點的距離平方和等于定值，都可以從代數(shù)式子上發(fā)現(xiàn)隱圓，乃至形如型問題，都可能是隱圓問題，其中C和λi是常數(shù)，Ai是定點。

問題情境2：含有動點P到兩定點距離的比值為定值（不為1）的現(xiàn)象

特別的：含有λPA2-μPB2=k的現(xiàn)象中，當(dāng)λPA2-μPB2=0時，即λPA2=μPB2，可得為常數(shù)（圓的第二定義，阿波羅尼斯圓），也是隱圓的常見現(xiàn)象。

例2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點O（0，0），A（0，3），圓的方程為：C：（x-a）2+（y-2a+4）2=1，若圓上總存在點P滿足PA=2PO，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是 。

本題解析：由已知條件PA=2PO，滿足動點P到兩定點距離的比值為定值的現(xiàn)象，所以設(shè)P（x，y），得，得到二元二次方程3x2+3y2+6y-9=0，即x2+（y+1）2=4，得到點P的軌跡是以N（0，-1）為圓心，2為半徑的圓。即P是兩圓的公共點，得，即解得實數(shù)a的取值范圍是。

問題情境3：含有動點P與兩定點所成向量的數(shù)量積為定值的現(xiàn)象

例3. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（-t，0），B（t，0）（t>0），點P滿足，且點P到直線l：3x-4y+24=0的最小距離為，則實數(shù)t的值是 。

本題解析：設(shè)P（x，y），由，得（x+t，y）·（x-t，y）=8，得到二元二次方程x2-t2+y2=8，即x2+y2=8+t2，可知動點P的軌跡是以O(shè)（0，0）為圓心，為半徑的圓。又由點P到直線l：3x-4y+24=0的最小距離為，又因為O到直線l：3x-4y+24=0的距離為，所以=3，得t=1。

情境拓展：動點P與兩定點所成向量和的模為定值的現(xiàn)象，即，也是隱圓問題。

問題情境4：含有動點P與兩定點所成角為直角的現(xiàn)象

例4.已知圓和兩點，若圓上存在點P，使得 ，則m的取值范圍是 。

本題解析：設(shè)P（x，y），由，得，即，得到二元二次方程，所以點P的軌跡是以O(shè)（0，0）為圓心，m為半徑的圓.即P是兩圓的公共點，得，即，解得實數(shù)m的取值范圍是[4，6]。

情境拓展：動點P與兩定點A、B所成角為定角的現(xiàn)象，即（θ為定值且θ≠90°），則動點P的軌跡是兩段圓弧。

三、深度學(xué)習(xí)導(dǎo)向下，以隱形圓為例培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

（一）通過深度學(xué)習(xí)來培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的方式

“深度學(xué)習(xí)”，由瑞典學(xué)者費倫斯·馬頓和羅杰·薩爾喬1979年在《學(xué)習(xí)的本質(zhì)區(qū)別：結(jié)果與過程》一書中首次提出，它是指“學(xué)習(xí)者以高級思維的發(fā)展和實際問題的解決為目標(biāo)”的一種學(xué)習(xí)方式，而這種方式恰恰適應(yīng)了我們新課標(biāo)中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的需求。新課標(biāo)將直線與圓調(diào)整到選擇性必修的平面解析幾何中，讓直線、圓、橢圓、拋物線等連貫到一起，集中學(xué)習(xí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)解析幾何時循序漸進(jìn)、逐步深入，緊扣“四基”，提升“四能”，培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”。我們要鼓勵學(xué)生從已有的舊知圓的基本形象出發(fā)，從直觀幾何到抽象代數(shù)，積極主動地學(xué)習(xí)新知，批判性地接受新知，從而把新知納入已有知識體系，進(jìn)而達(dá)到縱向遷移的最終目的，讓數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué)，讓萬物皆數(shù)的思想延伸并實際化，從而為提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)揮作用。

（二）立足概念本質(zhì)的深度學(xué)習(xí)，引導(dǎo)直觀想象，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象

古代埃及人認(rèn)為：圓，是神賜給人的神圣圖形。這個神圣的圖形，在自然界和我們的日常生活中普遍存在，它是一個看似簡單卻又奇妙的圖形。早在兩千多年前，墨子就給圓下了一個定義：圓，一中同長也。意思是說：圓有一個中心（即圓心），圓心到圓周上各點的距離（即半徑）都相等。這個定義一直沿用到現(xiàn)在，而且我們對圓的研究也從未停歇。這些概念學(xué)生已爛熟于心，但我們無法確信他們是淺層次的記憶，還是通過積極主動的思考、勇敢努力的嘗試形成的，但獲得概念的方式必將影響進(jìn)一步的深層學(xué)習(xí)。

由圓的定義，我們可以通過兩點的距離公式來推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），其中（a，b）為圓心坐標(biāo)，r為半徑。

基于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2這個代數(shù)式的直觀現(xiàn)象，我們很容易推導(dǎo)出圓的一般方程的形式，即x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0），其中圓心坐標(biāo)為，半徑。

在圓的方程的學(xué)習(xí)中，我們要讓學(xué)生親身嘗試發(fā)現(xiàn)，要從數(shù)學(xué)定義出發(fā)，再到形的辨識和理解，才是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的整個過程，當(dāng)對這類概念的本質(zhì)進(jìn)行深度學(xué)習(xí)后，學(xué)生很容易產(chǎn)生直觀想象，以后凡看到二元二次的形式，便會抽象出數(shù)學(xué)中圓方程的形象，所以這個概念的學(xué)習(xí)完全可以由學(xué)生通過自我深度學(xué)習(xí)完成。

（三）立足性質(zhì)探究的深度學(xué)習(xí)，提升邏輯推理，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

在有了概念的深入理解后，我們就應(yīng)該通過對于性質(zhì)的探究性深度學(xué)習(xí)去提高學(xué)生的邏輯推理能力。比如：在學(xué)習(xí)圓方程式，思維不應(yīng)只局限在一個直觀而形象的圓上，而應(yīng)拓寬學(xué)生的思維，用探究的方式引發(fā)他們的積極思考，多提問，大膽設(shè)想，讓學(xué)生去驗證。在此過程中，當(dāng)學(xué)生奔著某一目標(biāo)大膽追尋時，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力也就在潛移默化中得到優(yōu)化，直至熟練掌握運(yùn)算技巧，以期發(fā)展他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

在問題1中，變式思考：若條件改為2PA2+PO2=10，P的軌跡是否依然是圓？學(xué)生不斷嘗試、探索，通過簡單的推理運(yùn)算，就可以發(fā)現(xiàn)P的軌跡是圓。

引導(dǎo)學(xué)生對此性質(zhì)進(jìn)行推廣，從而自主得到含有λPA2+μPB2=k的現(xiàn)象和含有λPA2-μPB2=k的現(xiàn)象可以本質(zhì)性地劃歸為一類問題。由此問題2中的性質(zhì)就水到渠成了。

（四）立足多角度分析問題的深度學(xué)習(xí)，學(xué)會數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析

問題3中涉及向量數(shù)量積的這一概念時，我們要引領(lǐng)學(xué)生多角度地分析問題，不能僅僅停留在向量數(shù)量積的表面，而應(yīng)讓學(xué)生多角度分析問題，結(jié)合上面隱形圓的經(jīng)驗，就不難發(fā)現(xiàn)動點P（x，y）與定點A（a，b），B（c，d）的向量數(shù)量積為：=（x-a）（x-c）+（y-b）（y-d）=x2+y2-（a-c）x-（b+d）x+ac+bd，顯然展開后的“形”與圓的一般方程的“形”又是基本一致，因此我們就可以發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象也是隱含了圓。

問題4表面上是一道解三角形的數(shù)學(xué)問題，但題中關(guān)鍵信息是APB=90°，出現(xiàn)定角，也是隱圓現(xiàn)象。

變式：在三角形ABC中，AB=2，ACB=60°，則三角形面積的最大值是 。

如圖：以AB邊為x軸，以AB中點為原點，建立直角坐標(biāo)系，由圓周角的特性及，可以發(fā)現(xiàn)點C在定圓的圓周上運(yùn)動，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三角形是等腰三角形時，面積最大。

根據(jù)數(shù)學(xué)題目展示的條件現(xiàn)象，尋找解題的方法，比尋找題目的答案更重要。在核心素養(yǎng)之下，解法也不是最重要的，讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題，觀察世界，根據(jù)問題所給出的現(xiàn)象，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，形成數(shù)學(xué)的眼光和思維，才是我們數(shù)學(xué)的真正核心所在。

結(jié)束語

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可僅局限于有限的學(xué)校學(xué)習(xí)，它應(yīng)該是一種終身學(xué)習(xí)。學(xué)校學(xué)習(xí)中我們應(yīng)盡可能地培養(yǎng)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，為以后人們所遇到的問題可能是數(shù)學(xué)問題，也可能不是明顯的和直接的數(shù)學(xué)問題做好準(zhǔn)備。而只有具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人才能從數(shù)學(xué)的角度看待問題，用數(shù)學(xué)的思維方法思考問題，用數(shù)學(xué)的方法解決問題，這才是我們數(shù)學(xué)教育的最終目標(biāo)，我們所需要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指當(dāng)前或未來的生活中為滿足個人成為一個會關(guān)心思考的市民的需要而具備的認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)在自然、社會生活中的地位的能力，做出數(shù)學(xué)判斷的能力，以及參與數(shù)學(xué)活動的能力。而所有的這些能力，只有在深度學(xué)習(xí)中才有可能被習(xí)得，被遷移。所以，通過深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生能從現(xiàn)象中提出問題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，在分析和解決問題的過程中提高數(shù)學(xué)邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的能力，通過熟練的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析技能，把生活中所需要的問題抽象成數(shù)學(xué)問題，直觀想象，進(jìn)而解決實際問題，讓數(shù)學(xué)源于生活而高于生活。

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作者簡介：陳國仙（1982—），男，漢族，江蘇蘇州人，蘇州市吳江高級中學(xué)，中學(xué)一級教師，學(xué)士學(xué)位，研究方向：基于學(xué)生為主體的理念，進(jìn)行教學(xué)實踐與解題策略研究。

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