重通法巧轉(zhuǎn)化，提高解題效率

陶炳宏

[摘? 要] 傳統(tǒng)教學(xué)多采用“題海戰(zhàn)術(shù)”，但高考題型變幻莫測(cè)，這種機(jī)械的訓(xùn)練容易造成學(xué)生思路僵化，思維缺乏變通性，對(duì)同一類型問(wèn)題習(xí)慣于從單一角度分析，從而無(wú)法找到最優(yōu)解題思路，解題效率低下. 為提高解題效率，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題時(shí)去抓住問(wèn)題的核心和本質(zhì)，利用科學(xué)的方法將問(wèn)題進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，從而化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化特殊為一般.

[關(guān)鍵詞] 解題效率;變通性;轉(zhuǎn)化

因高考試題的題型新、題量大，為了提高學(xué)生成績(jī)，部分教師認(rèn)為需要讓學(xué)生多做題、做難題、做偏題，這樣在遇到新穎復(fù)雜的題目時(shí)不會(huì)產(chǎn)生畏難心理. 這種片面的認(rèn)知，容易使學(xué)生因多做題而出現(xiàn)思維疲勞和思維定式，解題缺乏變通性，解題效率低下;因做難題和偏題使學(xué)生忽視了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的積累，反而在遇到綜合題目時(shí)顯得力不從心.

隨著教改的不斷深入，對(duì)如何發(fā)展學(xué)生的思維水平，如何提升學(xué)生的綜合能力提出了更高的要求，因此教學(xué)中不能只關(guān)注于“教”和“練”，也應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)技能的培養(yǎng)，提升他們的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從而提高他們的解題效率. 那么如何提升解題效率呢？筆者淺談了自己的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)，以期共鑒.

[?] 利用必要條件化繁為簡(jiǎn)

必要條件因其可以簡(jiǎn)潔迅速地解決問(wèn)題，在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用較廣泛，例如，其常出現(xiàn)在解決含參不等式恒成立、求參數(shù)取值范圍、用分析法證明不等式、探究存在類等相關(guān)問(wèn)題中. 其實(shí)解題的過(guò)程可以看作是一個(gè)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，通過(guò)已有認(rèn)知找到等價(jià)條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，但因有時(shí)問(wèn)題較為復(fù)雜，使之在尋找等價(jià)關(guān)系時(shí)思維受阻. 對(duì)此，我們可嘗試?yán)帽匾獥l件解題，利用必要性對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，也許會(huì)收獲化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果.

例1? 已知函數(shù)f（x）=x2-m（x-1）+1（m>0），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，都有≤f（x）≤3成立，試求m的取值范圍.

題目解析：由已知條件可知，二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸與參數(shù)的m值有關(guān)，因此為動(dòng)對(duì)稱軸. 雖然已知給了定區(qū)間上的函數(shù)值域，但因?qū)ΨQ軸的位置不確定，所以在求解本題時(shí)需要進(jìn)行分類討論. 問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值小于等于3，最小值大于等于，又m>0，所以需要分成三類進(jìn)行討論：第一類為0<<，第二類為≤<1，第三類為≥1. 因?yàn)楸绢}沒(méi)有必要確定最大值的位置，所以可以將分類優(yōu)化，即把第一類和第二類合并，此時(shí)只需要滿足f（0）≤3，且f（1）≤3，f≥;第二類為≥1.

解：當(dāng)x=0時(shí)，由條件可知≤m≤2，所以二次函數(shù)f（x）=x2-m（x-1）+1（m>0）的圖像對(duì)稱軸為x=∈，1?[0，1]. 由f（0）≤3，且f（1）≤3，f（）≥，可得2-≤m≤2.

評(píng)注：對(duì)于含參不等式恒成立問(wèn)題，若需要求參數(shù)的取值范圍經(jīng)常會(huì)用到分類討論，但有時(shí)也可以從必要性的角度出發(fā)，這樣可以達(dá)到縮小參數(shù)范圍的效果. 這樣合理地利用必要條件，引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，化繁為簡(jiǎn)，提高了解題效率.

[?] 利用分類討論化難為易

分類討論是數(shù)學(xué)思想的重要成員，因其具有多樣性、邏輯性和綜合性，在歷屆高考題中從未缺席. 但在解決分類討論問(wèn)題時(shí)，有些學(xué)生因?qū)Ψ诸惖臉?biāo)準(zhǔn)和分類的原因缺乏清晰的認(rèn)識(shí)，常出現(xiàn)分類重復(fù)或分類遺漏等情況，從而不能正確求解問(wèn)題. 為提高分類討論的能力，學(xué)生必須注意夯實(shí)基礎(chǔ)，認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，搞清楚分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，遵循分類原則，做到科學(xué)合理分類，由此提高解題的準(zhǔn)確性和高效性.

[?] 利用數(shù)形結(jié)合化抽象為直觀

數(shù)學(xué)問(wèn)題常以抽象著稱，尤其復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題更為抽象，若從數(shù)的角度出發(fā)無(wú)從下手，則可以嘗試轉(zhuǎn)變思路，結(jié)合圖形進(jìn)行直觀觀察，從形的角度嘗試求解. 在處理復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系時(shí)多從圖形的性質(zhì)出發(fā)，這樣往往可以簡(jiǎn)化問(wèn)題，因此，在解題教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生多角度觀察，多維度思考，重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，有效地將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將抽象問(wèn)題直觀化，以達(dá)到提高解題效率的目的.

評(píng)注：若一個(gè)二元方程組含有3個(gè)未知量，用代數(shù)法求解會(huì)很難實(shí)現(xiàn). 設(shè)b=x，c=y，將a看為參數(shù)，轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)的二元方程組，方程組轉(zhuǎn)化后容易聯(lián)想到直線和圓，因?yàn)榉匠探M有解，所以圓與直線的位置關(guān)系必然相切或相交. 這樣將“數(shù)”完美地轉(zhuǎn)化為“形”，問(wèn)題不僅變得更加直觀，求解也變得更加容易.

數(shù)與形不是孤立存在的，彼此間存在著密切的聯(lián)系，可以進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)化. 數(shù)形結(jié)合思想在解決多元等式、向量、最值、不等式、立體幾何等方面的問(wèn)題具有一定的優(yōu)勢(shì)，利用形的直觀性變抽象的問(wèn)題為具體的問(wèn)題.

[?] 利用變式化特殊為一般

數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，欲使學(xué)生順利地解決問(wèn)題，必須引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)必要的變式訓(xùn)練使學(xué)生掌握解決問(wèn)題的通法，這樣可以有效地解決變化莫測(cè)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例4? 已知tanα=，求sinα，cosα的值.

題目解析：

方法1：用同角三角函數(shù)求解. 根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式可得tanα==，sin2α+cos2α=1. 兩式聯(lián)立可以求解. 方法2：由于tanα=，因此可以確定α在第一象限或第三象限，接下來(lái)可以根據(jù)α的位置進(jìn)行分類討論. 方法3：利用比例的性質(zhì)，由tanα==，可得 =，利用此種方法解題更妙.

例5? 已知sinα=，α是第二象限角，求tanα.

解：因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，sinα=，所以cosα=-=-，tanα=-.

變式1：已知sinα=，求tanα.

題目解析：本題未給出α在哪個(gè)象限，由sinα=>0可知，α是第一象限角或第二象限角，因此需要分類討論.

變式2：已知sinα=m（m>0），求tanα.

題目解析：本題是在變式1基礎(chǔ)上的變式，若0<m<1，則與變式1解法相同;若m=1，則tanα不存在.

變式3：已知sinα=m（m≤1），求tanα.

題目解析：在求本題時(shí)需要對(duì)m進(jìn)行更細(xì)致的分類. 若m=1，-1時(shí)，tanα不存在;若m=0，則tanα=0;若0<m<1時(shí)，α為第一象限角或第二象限角;-1<m<0，α為第三象限角或第四象限角.

評(píng)注：通過(guò)變式訓(xùn)練不僅可以達(dá)到鞏固知識(shí)的目的，而且有助于學(xué)生根據(jù)變化總結(jié)出一般規(guī)律，從而化特殊為一般，找到解決問(wèn)題的方法. 同時(shí)，通過(guò)變式也可以將其與有關(guān)的知識(shí)互相關(guān)聯(lián)，從而達(dá)到融會(huì)貫通的目的. 另外，通過(guò)有效的變式訓(xùn)練可以暴露出學(xué)生的知識(shí)盲區(qū)，對(duì)完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有著積極的意義.

總之，要提高解題效率，提升學(xué)習(xí)的熱情，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從多角度思考問(wèn)題，讓學(xué)生積極地參與到教學(xué)實(shí)踐中，在實(shí)踐中積累解題方法和解題技巧，通過(guò)合作和探究來(lái)發(fā)展學(xué)生的思維能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展.

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