問(wèn)題模型溯源　命題探究突破

吳春霞

[摘? 要] 直角弦是基于曲線(xiàn)與直線(xiàn)位置所構(gòu)建的特殊弦，實(shí)則為直角三角形的斜邊，故具有直角三角形的特性. 由于具有圓錐曲線(xiàn)的背景，直角弦模型含有特殊的性質(zhì)結(jié)論，以其為基礎(chǔ)的考題較為常見(jiàn)，關(guān)注模型特征與命題方式極為重要. 文章對(duì)此類(lèi)問(wèn)題模型進(jìn)行溯源，并結(jié)合實(shí)例探討突破策略.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線(xiàn);直角弦;策略;定點(diǎn);向量積

圓錐曲線(xiàn)中的直角弦是高考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)，問(wèn)題形式較為多樣，探究學(xué)習(xí)需要關(guān)注試題特點(diǎn)，掌握一般的解題策略，并總結(jié)常見(jiàn)的性質(zhì)結(jié)論，形成系統(tǒng)的模型認(rèn)識(shí)，下面深入探究.

[?] 溯源及探究

問(wèn)題：已知直線(xiàn)y=x+b與拋物線(xiàn)y2=2x相交于點(diǎn)A和B，且OA⊥OB（點(diǎn)O為坐標(biāo)的原點(diǎn)），試求b的值.

解讀：本題目是以直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交為背景，構(gòu)建了相應(yīng)的垂直關(guān)系，根據(jù)問(wèn)題條件可繪制圖1所示圖像. 圖像中有兩個(gè)特點(diǎn)：一是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，二是基于交點(diǎn)A和B構(gòu)建了垂直關(guān)系，OA⊥OB. 從幾何視角來(lái)看，以交點(diǎn)A和B及原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，構(gòu)建了Rt△AOB.

直角弦定義：直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于點(diǎn)A和B，若存在點(diǎn)P，使得PA⊥PB，則稱(chēng)弦AB為相對(duì)于點(diǎn)P的直角弦.

解析：對(duì)于上述直角弦問(wèn)題可以采用聯(lián)立代入的方法轉(zhuǎn)化求解，過(guò)程如下.

聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，則有y=x+b，y2=2x，整理可得x2-2x+2bx+b2=0，兩者有兩個(gè)交點(diǎn)，則Δ>0，即Δ=4-8b>0. 設(shè)交點(diǎn)A（x，y），B（x，y），由韋達(dá)定理可得x+x=2-2b，x·x=b2. 又知OA⊥OB，則x·x+ y·y=0，結(jié)合直線(xiàn)解析式可化簡(jiǎn)為2x·x+b（x+x）+b2=0，整理可得b（b+2）=0，可解得b=-2，或b=0（舍去），即b=-2.

探究：對(duì)于上述以?huà)佄锞€(xiàn)為背景的直角弦情形，有如下兩點(diǎn)需要關(guān)注.

（1）對(duì)于Rt△AOB，直角弦AB為三角形的斜邊，則點(diǎn)O位于以AB為直徑的圓上，故可形成如下結(jié)論：若曲線(xiàn)上的點(diǎn)O位于以AB為直徑的圓上，則OA⊥OB，AB為直角弦.

（2）上述是關(guān)于拋物線(xiàn)y2=2x與直線(xiàn)y=x-2的相交問(wèn)題，實(shí)際上可化為一般形式，即y2=2px和y=x-2p. 對(duì)于直線(xiàn)y=x-2p，顯然過(guò)定點(diǎn)（2p，0），故從中可衍生出如下結(jié)論：若直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2px相交于點(diǎn)A和B，則OA⊥OB成立的充要條件為直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2p，0）.

[?] 命題與破解

圓錐曲線(xiàn)中的直角弦問(wèn)題常結(jié)合向量進(jìn)行考查，即對(duì)于其中的垂直條件PA⊥PB，對(duì)應(yīng)的向量表示為·=0. 結(jié)合上述所探究的內(nèi)容，直角弦的實(shí)際考查方式有如下三種：

方式1：幾何垂直與向量積、圓過(guò)定點(diǎn)的關(guān)系，即PA⊥PB?以AB為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)P?·=0;

方式2：角度的拓展，∠APB為鈍角?點(diǎn)P在以AB為直徑的圓內(nèi)?·<0;

方式3：∠APB為銳角?點(diǎn)P在以AB為直徑的圓外?·>0.

上述考查方式是從幾何、向量、圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系視角進(jìn)行構(gòu)建，三者之間存在緊密關(guān)聯(lián)，把握三者關(guān)系是突破的關(guān)鍵，而在解析時(shí)可采用如下兩種策略進(jìn)行分步突破.

策略一：方程聯(lián)立+韋達(dá)定理

第一步，設(shè)出直線(xiàn)AB的方程;

第二步，聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程，整理為關(guān)于變量的一元二次方程;

第三步，由韋達(dá)定理寫(xiě)出關(guān)于根與系數(shù)的關(guān)系;

第四步，結(jié)合向量條件·=0，代入根與系數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化問(wèn)題.

策略二：方程聯(lián)立+代換求點(diǎn)

第一步，設(shè)出直線(xiàn)AB的方程;

第二步，聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程，整理為關(guān)于變量的一元二次方程;

第三步，利用根與系數(shù)關(guān)系求點(diǎn)A坐標(biāo)，結(jié)合垂直條件代換，推導(dǎo)點(diǎn)B的坐標(biāo);

第四步，由兩點(diǎn)式求出直線(xiàn)AB的方程，進(jìn)而探究直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn).

上述所呈現(xiàn)的是圓錐曲線(xiàn)直角弦問(wèn)題的兩大解析策略，從其構(gòu)建思路來(lái)看，適用于直角弦中的直線(xiàn)方程求解、恒過(guò)定點(diǎn)論證、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題.

[?] 類(lèi)題深探究

圓錐曲線(xiàn)直角弦的問(wèn)題形式較為多樣，實(shí)際求解時(shí)要合理運(yùn)用結(jié)論，靈活使用解題策略，充分利用數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求思想來(lái)轉(zhuǎn)化求解.

類(lèi)型一：探索直線(xiàn)中的參數(shù)

例1 已知橢圓C：+=1（a>b>0），其左、右焦點(diǎn)分別為F和F，離心率為，點(diǎn)I和J分別為橢圓C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，已知△IOJ邊IJ上的中線(xiàn)長(zhǎng)為，試回答下列問(wèn)題.

[?] 總結(jié)與反思

上述深入探究了圓錐曲線(xiàn)直角弦的結(jié)構(gòu)特征，總結(jié)了命題視角及突破策略，并結(jié)合實(shí)例探討了解題構(gòu)建，下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐深入反思.

1. 把握模型特征，探索一般結(jié)論

上述實(shí)則是探索圓錐曲線(xiàn)直角弦模型，關(guān)注模型特征、探究問(wèn)題本質(zhì)極為重要. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注曲線(xiàn)與直線(xiàn)的相交關(guān)系，把握模型的直角特性，從函數(shù)與幾何視角來(lái)綜合探究，即模型由直線(xiàn)相交構(gòu)建，同時(shí)含有垂直關(guān)系. 同時(shí)應(yīng)注重模型一般結(jié)論的探索，可采用知識(shí)探究的方式，從“特殊”到“一般”，讓學(xué)生經(jīng)歷結(jié)論的論證過(guò)程，形成深刻的數(shù)學(xué)認(rèn)知.

2. 把握命題考向，總結(jié)解題策略

高考考向是教學(xué)探討的重點(diǎn)，基于考向探索問(wèn)題模型有利于定位考點(diǎn). 如上述探究了直角弦問(wèn)題模型的命題方式，構(gòu)建了幾何、向量、圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系三者之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生深入理解模型，完善知識(shí)體系. 實(shí)際教學(xué)中建議關(guān)注歷年考題，結(jié)合實(shí)例分析命題方式，同時(shí)探究知識(shí)原理，總結(jié)解題策略. 策略總結(jié)建議包括以下兩點(diǎn)：一是問(wèn)題的知識(shí)背景、方法的知識(shí)原理，二是分步突破思路，所涉思想方法等.

3. 把握類(lèi)題實(shí)例，變式拓展探究

通常問(wèn)題模型在實(shí)際考查時(shí)有多種構(gòu)建形式，雖問(wèn)題結(jié)構(gòu)不同，但知識(shí)本質(zhì)是一致的. 如上述圍繞直角弦模型構(gòu)建了直線(xiàn)參數(shù)問(wèn)題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，實(shí)際上還包括多類(lèi)存在性問(wèn)題. 教學(xué)探究建議圍繞核心考點(diǎn)進(jìn)行命題構(gòu)建，指導(dǎo)學(xué)生探索問(wèn)題破解思路. 必要時(shí)可開(kāi)展變式探究，從模型結(jié)論、曲線(xiàn)背景、設(shè)問(wèn)形式、知識(shí)關(guān)聯(lián)等視角進(jìn)行，使學(xué)生全面掌握問(wèn)題模型，拓展解題思維，提升解題靈活性.

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