兩種構(gòu)型碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)對(duì)比分析

胡旺寧

(上海捷勃特機(jī)器人有限公司，上海 200030)

碼垛機(jī)器人作為一種通用型自動(dòng)化設(shè)備，因其負(fù)載能力大、工作節(jié)拍快、結(jié)構(gòu)緊湊、可靠性好等優(yōu)點(diǎn)，在眾多行業(yè)的生產(chǎn)、倉(cāng)儲(chǔ)、物流等環(huán)節(jié)的應(yīng)用越來(lái)越廣。碼垛機(jī)器人按構(gòu)型分為混聯(lián)碼垛機(jī)器人和關(guān)節(jié)碼垛機(jī)器人[1]。對(duì)碼垛機(jī)器人構(gòu)型的研究有助于對(duì)其性能特性的理解，從而在開(kāi)發(fā)碼垛機(jī)器人時(shí)選擇合適的構(gòu)型。

混聯(lián)碼垛機(jī)器人的構(gòu)型特點(diǎn)是：第2、3軸采用滾珠絲杠驅(qū)動(dòng)，通過(guò)連桿機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)末端在豎直平面內(nèi)的定位，借助輔助平行四邊形保持末端的水平姿態(tài)。日本不二開(kāi)發(fā)的“FUJI ACE”系列混聯(lián)碼垛機(jī)器人采用直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)原理，實(shí)現(xiàn)豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的解耦[2]。李金泉等[3]開(kāi)發(fā)的TH50型碼垛機(jī)器人采用三角形原理將滾珠絲杠的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為第2、3軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)末端定位。混聯(lián)碼垛機(jī)器人因其具有的滾珠絲杠結(jié)構(gòu)，在結(jié)構(gòu)緊湊性、整機(jī)剛性和維護(hù)性上面受到了制約。關(guān)節(jié)碼垛機(jī)器人的構(gòu)型區(qū)別于混聯(lián)碼垛機(jī)器人的地方在于用關(guān)節(jié)減速機(jī)代替了滾珠絲杠，在結(jié)構(gòu)緊湊性、工作節(jié)拍和維護(hù)性上面得到了較大提升[4]。關(guān)節(jié)碼垛機(jī)器人根據(jù)構(gòu)型特點(diǎn)分為雙平行四邊形碼垛機(jī)器人和單平行四邊形碼垛機(jī)器人，其中雙平行四邊形碼垛機(jī)器人含有1個(gè)主平行四邊形機(jī)構(gòu)和1組輔助平行四邊形機(jī)構(gòu)，而單平行四邊形碼垛機(jī)器人只有1組輔助平行四邊形機(jī)構(gòu)[5-6]。

對(duì)這兩種碼垛機(jī)器人進(jìn)行機(jī)構(gòu)方面的對(duì)比研究對(duì)指導(dǎo)開(kāi)發(fā)關(guān)節(jié)碼垛機(jī)器人具有重要意義，目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)雙平行四邊形碼垛機(jī)器人的機(jī)構(gòu)研究得較多，對(duì)單平行四邊形碼垛機(jī)器人的機(jī)構(gòu)研究得較少。本文擬就運(yùn)動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)兩方面對(duì)這兩種構(gòu)型碼垛機(jī)器人進(jìn)行對(duì)比分析，以便為碼垛機(jī)器人的構(gòu)型選擇提供參考。

1 兩種構(gòu)型碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)比分析

1.1 單平行四邊形碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與逆解

單平行四邊形碼垛機(jī)器人的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，由1個(gè)串聯(lián)機(jī)構(gòu)和1組(2個(gè))輔助平行四邊形機(jī)構(gòu)組成，具有4個(gè)自由度。輔助平行四邊形機(jī)構(gòu)能夠使末端執(zhí)行器始終保持水平姿態(tài)，使原本5個(gè)自由度的串聯(lián)機(jī)構(gòu)減少1個(gè)自由度。因此，可以按照串聯(lián)機(jī)構(gòu)的方式建立單平行四邊形碼垛機(jī)器人的D-H連桿坐標(biāo)系。

圖1 單平行四邊形碼垛機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

克雷格將坐標(biāo)系{i}固連于連桿i的首端關(guān)節(jié)副，其原點(diǎn)位于關(guān)節(jié)軸i上，坐標(biāo)系的編號(hào)與關(guān)節(jié)軸的編號(hào)保持一致[7]46-49。按該方法建立的單平行四邊形碼垛機(jī)器人的D-H連桿坐標(biāo)系如圖2所示。

圖2 單平行四邊形碼垛機(jī)器人D-H連桿坐標(biāo)系

(1)

式中：cθi=cosθi；sθi=sinθi；αi-1為繞Xi-1軸，從Zi-1旋轉(zhuǎn)到Zi的角度；ai-1為沿Xi-1軸，從Zi-1移動(dòng)到Zi的距離；θi為繞Zi軸，從Xi-1旋轉(zhuǎn)到Xi的角度；di為沿Zi軸，從Xi-1移動(dòng)到Xi的距離。αi-1，ai-1，θi，di(i=1,2,3,…)都是D-H連桿坐標(biāo)系參數(shù)。

(2)

式中：s1=sinθ1；c1=cosθ1；s23=sin(θ2+θ3)；c23=cos(θ2+θ3)；s1-5=sin(θ1-θ5)；c1-5=cos(θ1-θ5),其他類(lèi)同；[nxnynz]T構(gòu)成X6軸的單位矢量；[oxoyoz]T構(gòu)成Y6軸的單位矢量；[axayaz]T構(gòu)成Z6軸的單位矢量；(px,py,pz)為坐標(biāo)系{6}原點(diǎn)在坐標(biāo)系{0}中的坐標(biāo)。

由式(2)中px,py對(duì)應(yīng)的表達(dá)式可得：

θ1=Atan2(py,px)

(3)

由式(2)中nx,ny對(duì)應(yīng)的表達(dá)式可得：

θ5=θ1-Atan2(ny,nx)

(4)

(5)

θ3=Atan2(s3,c3)

(6)

由式(2)中pz對(duì)應(yīng)的表達(dá)式整理可得：

(a3s3)c2+(a3c3+a2)s2=l2

(7)

解超越方程[7]82-83得

(8)

上述步驟解算出來(lái)的θi是D-H連桿坐標(biāo)系中定義的關(guān)節(jié)角，可由圖1所示機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖中各個(gè)軸的物理軸角Ai疊加上關(guān)節(jié)角的初始值得到。因此，各個(gè)軸的物理軸角Ai可由式(9)算得：

(9)

1.2 雙平行四邊形碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

雙平行四邊形碼垛機(jī)器人的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖3所示，由含1個(gè)主平行四邊形的主體機(jī)構(gòu)和1組(2個(gè))輔助平行四邊形機(jī)構(gòu)組成，同樣具有4個(gè)自由度。與單平行四邊形碼垛機(jī)器人不同的是，其主體機(jī)構(gòu)是1個(gè)串并聯(lián)混合機(jī)構(gòu)。在運(yùn)動(dòng)學(xué)上，仍然可以按照串聯(lián)機(jī)構(gòu)的方式來(lái)處理，不過(guò)需要考慮主平行四邊形的約束關(guān)系。因此，雙平行四邊形碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解中解算關(guān)節(jié)角θi的步驟與單平行四邊形碼垛機(jī)器人相同。下面僅就主平行四邊形的約束關(guān)系對(duì)各個(gè)軸的物理軸角Ai的影響作具體闡述。

圖3 雙平行四邊形碼垛機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

由圖3可知，第1、2、5軸的物理軸角與單平行四邊形碼垛機(jī)器人相同，而第2、3軸的物理軸角的軸線(xiàn)重合。由于主平行四邊形的約束，第3軸的物理軸角為:

(10)

(11)

2 兩種構(gòu)型碼垛機(jī)器人靜力學(xué)對(duì)比分析

2.1 單平行四邊形碼垛機(jī)器人靜力學(xué)分析

與機(jī)器人第3軸靜力矩有關(guān)桿件3、4、5、8的受力情況如圖4所示。分別對(duì)桿件8、桿件4和桿件5構(gòu)成的整體、桿件3作受力分析，并根據(jù)力平衡和力矩平衡條件列出表達(dá)式，然后聯(lián)立這些表達(dá)式，可得：

圖4 單平行四邊形碼垛機(jī)器人第3軸靜力矩分析

T3=G3lC3c23+FD2l3c23

(12)

式中：ci=cosAi；cij=cos(Ai+Aj)，以下類(lèi)同。

與機(jī)器人第2軸靜力矩有關(guān)桿件2、6、7的受力情況如圖5所示。分別對(duì)桿件6、桿件7、桿件2作受力分析，并根據(jù)力平衡和力矩平衡條件列出表達(dá)式，然后聯(lián)立這些表達(dá)式，可得：

圖5 單平行四邊形碼垛機(jī)器人第2軸靜力矩分析

(13)

2.2 雙平行四邊形碼垛機(jī)器人靜力學(xué)分析

與機(jī)器人第3軸靜力矩有關(guān)桿件3、4、5、8、9、10的受力情況如圖6所示。分別對(duì)桿件8、桿件4和桿件5構(gòu)成的整體、桿件3、桿件10、桿件9作受力分析，并根據(jù)力平衡和力矩平衡條件列出表達(dá)式，然后聯(lián)立這些表達(dá)式，可得：

圖6 雙平行四邊形碼垛機(jī)器人第3軸靜力矩分析

(14)

與機(jī)器人第2軸靜力矩有關(guān)桿件2、6、7的受力情況如圖7所示。分別對(duì)桿件6、桿件7、桿件2作受力分析，并根據(jù)力平衡和力矩平衡條件列出表達(dá)式，然后聯(lián)立這些表達(dá)式，可得：

圖7 雙平行四邊形碼垛機(jī)器人第2軸靜力矩分析

(15)

3 實(shí)例計(jì)算與仿真驗(yàn)證

3.1 雙平行四邊形碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解實(shí)例與仿真

由1.2節(jié)可知，雙平行四邊形碼垛機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解過(guò)程實(shí)際上包含了單平行四邊形碼垛機(jī)器人的逆解過(guò)程?，F(xiàn)以ABB IRB460為例對(duì)雙平行四邊形碼垛機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解計(jì)算，從機(jī)器人結(jié)構(gòu)模型中提取D-H參數(shù)值如下：a1=260 mm，a2=945 mm，a3=1 025 mm，a4=220 mm，d1=724.5 mm，d6=251.5 mm。在笛卡爾空間對(duì)TCP(末端法蘭中心點(diǎn))規(guī)劃一條由多段線(xiàn)組成的“門(mén)型”軌跡，其控制點(diǎn)坐標(biāo)如下：P0(1 505,0,1 436)，P1(1 150,-776,270)，P2(1 150,-776,793)，P3(1 722,590,793)，P4(1 722,590,270)，且保持末端法蘭姿態(tài)不變。由逆解計(jì)算得到各關(guān)節(jié)角軌跡，再將各關(guān)節(jié)角轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的物理軸角。

逆解計(jì)算與仿真驗(yàn)證思路框圖如圖8所示。在仿真環(huán)境中，對(duì)TCP施加與上述相同的軌跡，進(jìn)行仿真，然后測(cè)試得到的相應(yīng)物理軸角軌跡。逆解計(jì)算和仿真兩種方法得到的物理軸角軌跡幾乎完全重合(如圖9所示)，證明前述運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解算法是正確的。

圖8 逆解計(jì)算與仿真驗(yàn)證思路框圖

圖9 逆解計(jì)算與仿真得到的物理軸角軌跡對(duì)比

3.2 雙平行四邊形碼垛機(jī)器人靜力學(xué)實(shí)例與仿真

圖10 ABB IRB460典型位姿下的物理模型

將物理模型的相關(guān)物理參數(shù)及工況數(shù)據(jù)代入式(14)和(15)，得出第2、3軸的靜力矩：T2=1.580 5E+06 N·mm，T3=1.335 9E+06 N·mm。

將上述機(jī)器人物理模型轉(zhuǎn)成力學(xué)仿真模型，進(jìn)行靜平衡計(jì)算，測(cè)試第2、3軸的驅(qū)動(dòng)力矩，結(jié)果如下：T2=1.594 1E+06 N·mm，T3=1.361 0E+06 N·mm。仿真計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果非常接近，證明前述理論推導(dǎo)是正確的。

3.3 單平行四邊形碼垛機(jī)器人靜力學(xué)實(shí)例與仿真

為了方便對(duì)比，單平行四邊形碼垛機(jī)器人靜力學(xué)實(shí)例計(jì)算和仿真驗(yàn)證仍然采用ABB IRB460的模型，只是刪除了第3軸的曲柄和連桿。機(jī)器人物理模型分析工況如下：負(fù)載為110 kg，A2=30°,A3=15°。

將物理模型的相關(guān)物理參數(shù)及工況數(shù)據(jù)代入2.1節(jié)中的算式(12)和(13)，得出第2、3軸的靜力矩：T2=2.959 6E+06 N·mm，T3=1.426 9E+06 N·mm。

將上述機(jī)器人物理模型轉(zhuǎn)成力學(xué)仿真模型，運(yùn)行靜平衡計(jì)算，測(cè)試第2、3軸的驅(qū)動(dòng)力矩，結(jié)果如下：T2=2.996 6E+06 N·mm，T3=1.450 2E+06 N·mm。仿真計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果非常接近，證明前述理論推導(dǎo)是正確的。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)實(shí)例計(jì)算和仿真驗(yàn)證對(duì)單平行四邊形和雙平行四邊形兩種構(gòu)型碼垛機(jī)器人做了運(yùn)動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)對(duì)比分析，結(jié)果表明：?jiǎn)纹叫兴倪呅魏碗p平行四邊形兩種碼垛機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)算法是一致的，只是軸角的表達(dá)形式不同；在典型位姿下，雙平行四邊形碼垛機(jī)器人第2軸的靜平衡力矩顯著小于單平行四邊形碼垛機(jī)器人，但第3軸的靜平衡力矩相差不大。此結(jié)論可為開(kāi)發(fā)關(guān)節(jié)碼垛機(jī)器人選擇構(gòu)型提供重要的參考依據(jù)。