推倒一堵墻所需要的力和功

邵云，陶強(qiáng)

（1.南京曉莊學(xué)院 電子工程學(xué)院，江蘇 南京 211171；2.南京市上元中學(xué)，江蘇 南京 211100）

用力推倒一堵墻在生活中是一個(gè)十分常見(jiàn)的事件，但若認(rèn)真思考，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著不少物理知識(shí).本文將就“力”和“功”2 個(gè)方面對(duì)其進(jìn)行一定的解析.

1 推倒均質(zhì)實(shí)心豎墻所需要的力和功

設(shè)某一堵均質(zhì)實(shí)心豎墻的厚度為a（見(jiàn)圖1），高為H，長(zhǎng)為l（圖中未顯示），密度為ρ，質(zhì)心在中心C點(diǎn)，右側(cè)的水平推力F距離地面h高度，同時(shí)設(shè)該豎墻為剛體，它與地面之間的附著應(yīng)力不構(gòu)成抵抗因素（實(shí)際情況常常如此，見(jiàn)下文），可以忽略，而只有壓力，則該堵墻的重力大小為

圖1 力推均質(zhì)實(shí)心墻截面示意圖

以A點(diǎn)（邊）為支點(diǎn)，根據(jù)力矩平衡知識(shí)有

則推倒該豎墻所需要的起始外力為

將式（1）代入式（3）得

可見(jiàn)，這個(gè)起始外力F與墻高H、墻長(zhǎng)l成正比，而與墻厚a的平方成正比，與力臂h成反比.當(dāng)h一定時(shí)，隨著墻高H的增加，推倒墻所需的外力F也將同比增加，直至∞.

那么，推倒豎墻所需要做的功W是否會(huì)隨墻高H的增加而趨于∞？

由圖1 可知，要想推倒該堵墻，就必須克服墻的重力做功，使得墻的重心C能夠到達(dá)支點(diǎn)A的正上方，因此，推倒這堵墻所需要做的功至少為

根據(jù)圖1 有H=atanθ，將它代入式（5）得

可見(jiàn)，隨著墻高H的增加，θ將增加，推倒墻所需要做的功W也將增加.但是W卻有個(gè)極限值，即當(dāng)H→∞也即時(shí)有

這就是說(shuō)，推倒無(wú)限高的墻所需要做的功并不是無(wú)窮大，而是有限值[1].

若墻體是由普通實(shí)心磚塊建成，其密度ρ=2 ×103kg/m3，設(shè)墻長(zhǎng)l=10 m，厚度a=0.3 m，則由式（7）可算得推倒無(wú)限高此墻所需要的極限功Wlim=1 323 J.這個(gè)功其實(shí)十分有限，僅相當(dāng)于把一個(gè)67.5 kg的物體舉高2 m 而已.

事實(shí)上，由式（6）結(jié)合圖1 即可看出，墻體不用多高，θ角便能接近90°，式（7）所表達(dá)的極限功就幾乎達(dá)到.根據(jù)式（5）及墻體參數(shù)作出W～H圖（見(jiàn)圖2），從圖2 中可以看出，墻高只需2 m，推倒它所需做的功就幾乎等于推倒無(wú)限高墻所需做的功.

圖2 推倒某面墻所需做的功W 與墻高H 的關(guān)系

2 原理分析及思考

從式（4）和式（6）得到了2 個(gè)截然不同的結(jié)論：當(dāng)墻的高度H→∞時(shí)，推倒墻所需的外力F→∞，但所需的功W卻趨于一個(gè)定值.該結(jié)論出乎意料，通常的直覺(jué)是墻越高，推倒它所需要的功“一定同比增加”.究其原因在于，隨著墻高H的增加，重力G確實(shí)也同比增加，但是推倒墻所需其重心上升的高度卻越?。◤膱D1 中的幾何關(guān)系很容易看出），兩者的乘積則趨于一個(gè)常量.

由此聯(lián)想到建高大建筑必須深筑地基且用鋼筋澆筑，使地面上、下建筑融為一體，像電線桿一樣不易傾倒，同時(shí)采用整體的框架結(jié)構(gòu)來(lái)擴(kuò)大建筑的水平有效寬度（相當(dāng)于本文墻厚a），極大地提升了式（6）（7）中的極限功Wlim（∝a3）值，從而顯著地提升了建筑抵抗水平推力的能力.然而，公路旁的圍墻通常都是用磚塊由平地簡(jiǎn)單建起（見(jiàn)圖3），并未使用鋼筋混凝土貫穿地面上下澆筑.由上文可知，它實(shí)際上并不太安全，較容易傾倒.因此，當(dāng)人們經(jīng)過(guò)它時(shí)，有必要加以小心，尤其在刮風(fēng)下雨的天氣.

圖3 人行道旁的危墻

3 吹倒一面墻所需要的風(fēng)速

在上文中已經(jīng)將水平推力F距離地面的高度h視作常量，故而得到所需推力F隨墻高H同比增加的結(jié)論.實(shí)際上，從式（4）可以看出，若F的作用點(diǎn)（即h）隨墻高H同比升高，那么所需推力F將保持不變.墻面受到的水平風(fēng)力便近似屬于這種情況，它的作用點(diǎn)近似在墻面中心.

根據(jù)空氣動(dòng)力學(xué)知識(shí)[2-4]，墻長(zhǎng)l不很大的平面墻面的風(fēng)阻系數(shù)可以近似視為1，因此墻面受到的風(fēng)力大小為

式中：ρ空為空氣的密度；墻面面積S=lH；v為風(fēng)速.設(shè)ρ空=1.29 kg/m3，風(fēng)力12 級(jí)即風(fēng)速v=35 m/s，墻高H=5 m，墻長(zhǎng)l=10 m，則得

可見(jiàn)該風(fēng)力十分巨大.

推導(dǎo)吹倒一面墻所需要的風(fēng)速，將h=H/2代入式（4）即得吹倒一面墻所需要的風(fēng)力大小

它與H無(wú)關(guān).聯(lián)立式（8）（10）并化簡(jiǎn)可得

可見(jiàn)，墻越高，吹倒它所需要的風(fēng)速就越??；反之墻越厚，吹倒它所需要的風(fēng)速就越大.不難理解，這里的v與墻長(zhǎng)l無(wú)關(guān).

同樣以H=5 m，l=10 m墻為例，并設(shè)a=0.3 m，ρ=2 ×103kg/m3，將諸數(shù)據(jù)代入式（11）可得

經(jīng)查表[5]，式（12）這個(gè)風(fēng)速相當(dāng)于9 級(jí)烈風(fēng)（屋頂受損，瓦片吹飛）.類似可算出吹倒H=3 m的矮墻所需要的風(fēng)速則為30.2 m/s，相當(dāng)于11級(jí)暴風(fēng)（損毀普遍，房屋吹走）.

這里所得結(jié)論的根本原因在于式（10）即F風(fēng)=ρgla2，吹倒不同高度的墻所需要的風(fēng)力竟然相等.

4 關(guān)于墻與地基之間粘結(jié)力影響的討論

為簡(jiǎn)化處理，可將墻與地基粘結(jié)處的拉伸壓縮應(yīng)力近似看作呈線性分布[6-7]，D為零應(yīng)力點(diǎn)（見(jiàn)圖4）.

圖4 墻與地基粘結(jié)處的拉伸壓縮應(yīng)力分布

當(dāng)重力G與推力F關(guān)于A點(diǎn)力矩平衡時(shí)，可設(shè)應(yīng)力的分布函數(shù)為

于是，根據(jù)y方向上的受力平衡以及對(duì)A點(diǎn)的力矩平衡有

將式（1）（13）代入式（14）（15），經(jīng)計(jì)算整理可得

聯(lián)立式（16）（17）解得

再將式（18）（19）代入式（13），即得此時(shí)的應(yīng)力分布函數(shù)

右側(cè)墻角E點(diǎn)處的拉伸應(yīng)力則為

通常建筑材料的抗壓性能遠(yuǎn)優(yōu)于抗拉性能，因此圖4 中墻與地基粘結(jié)處的斷裂一定是從右側(cè)拉斷開(kāi)始.因此σ(a)即式（22）便成了墻體抵御外界推力的關(guān)鍵.根據(jù)式（22）并結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)，可作出σ(a)～H的正比例函數(shù)曲線（見(jiàn)圖5）.

圖5 右側(cè)墻角處的拉伸應(yīng)力σ（a）隨墻高H 的變化

文獻(xiàn)[8]指出，普通砂漿粘結(jié)的粘土磚墻砌體，沿通縫截面彎曲（類似于推墻）的彎曲抗拉強(qiáng)度規(guī)范值約為0.48 MPa.但是文獻(xiàn)[9]又指出，若是考慮到實(shí)際的施工質(zhì)量、砂漿質(zhì)量（包括水泥質(zhì)量與比例、河砂質(zhì)量、石屑石灰替代等）、粘結(jié)處老化以及裂縫缺陷等因素，整堵墻面的彎曲抗拉強(qiáng)度的設(shè)計(jì)值大概只能取到規(guī)范值的1/3，也即0.16 MPa 左右.于是，對(duì)比圖5 即可看出，當(dāng)墻高H＜4 m時(shí)，圖4 中墻與地基粘結(jié)處的拉伸應(yīng)力確實(shí)能夠幫助墻面抵御一部分外界推力；但是當(dāng)墻高H＞4 m時(shí)，拉伸應(yīng)力可能就幫不上忙了——在外力F所產(chǎn)生的力矩尚未與重力矩平衡時(shí)，E點(diǎn)處的拉伸應(yīng)力可能就已經(jīng)達(dá)到了它的設(shè)計(jì)極限值0.16 MPa.這是由固體內(nèi)部的應(yīng)力結(jié)構(gòu)所造成的.

由此可見(jiàn)，本文忽略墻與地基之間粘結(jié)力的做法，對(duì)于推倒4 m 以下的墻而言，或存在低估，其中對(duì)于推力F，從圖5 及式（22）可見(jiàn)，墻越矮低估得越多（具體數(shù)值讀者可以按照上文思路自行建模估算，本文在此省略）；但對(duì)于推倒墻體所需要做的功W，則因墻根斷裂處的形變極其微小，故而斷裂所需要的額外功微乎其微，低估幾可忽略.對(duì)于推倒4 m 以上的高墻而言，則無(wú)“低估推力”之憂，本文的討論結(jié)果完全適用.

5 總結(jié)與說(shuō)明

綜上可見(jiàn)，推倒一面與地基之間粘結(jié)力幾可忽略的老墻、劣質(zhì)墻或石灰砌墻，所需要的（起始）水平外力F與作用點(diǎn)的位置有關(guān)，當(dāng)作用點(diǎn)的位置固定即圖1 中h固定時(shí)，F(xiàn)將隨墻高H的增加同比增加直至∞；而當(dāng)作用點(diǎn)的位置也即h隨墻高H同比增加時(shí)，所需外力F則變成一個(gè)常量.水平風(fēng)力恰好滿足后者要求，因此吹倒上述墻所需要的水平風(fēng)力墻高墻矮都一樣，見(jiàn)式（10）即F風(fēng)=ρgla2，這將導(dǎo)致“墻高招風(fēng)”——單面墻越高越容易被吹倒.

推倒一面豎墻外力所需要做的功將隨墻高H的增加而增加，但是很快就能達(dá)到其極限值（見(jiàn)式（6）及圖1）.對(duì)于通常30 cm 厚的磚墻，推倒2 m 高與推倒無(wú)限高所需要做的功幾乎相等（見(jiàn)圖2）.

推倒一面質(zhì)量良好的豎墻，對(duì)于4 m 以下的墻而言，由于墻根拉伸應(yīng)力的抵抗作用，所需推力會(huì)有所增加，但是所需做的功則幾乎沒(méi)有變化（除非墻太矮）；而對(duì)于4 m 以上的高墻而言，由于墻根在外力矩與重力矩尚未達(dá)到平衡時(shí)就已經(jīng)斷裂，因此墻根處的應(yīng)力對(duì)于推倒高墻不構(gòu)成任何影響，無(wú)論所需外力還是功.

本文作為模型計(jì)算，目的并不在于具體的數(shù)值，而是在于揭示總體的規(guī)律性，為人們的日常生活及教學(xué)提供一些參考.從較深入的研究結(jié)果看，除了對(duì)于4 m 以下質(zhì)量良好的墻體外，本文開(kāi)始時(shí)“豎墻與地面之間的附著力不構(gòu)成抵抗因素，可以忽略”的假設(shè)基本是合理的.