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    運用磁懸浮小球改進PID 控制特性教學方法

    2022-03-18 02:01:54陳琳琳任元王麗芬劉政良
    高師理科學刊 2022年1期
    關(guān)鍵詞:磁懸浮微分小球

    陳琳琳,任元,王麗芬,劉政良

    (航天工程大學 宇航科學與技術(shù)系,北京 101416)

    PID 控制特性是學生學習自動控制原理課程必須掌握的一個基本控制規(guī)律,也是控制類專業(yè)學生必須掌握的知識.傳統(tǒng)PID 控制特性的教學方法通過概念講解加上理論推導為主[1-4],學生對PID 控制特性的理解較為膚淺,不能和實際工程應用結(jié)合起來,無法徹底掌握PID 控制特性在控制系統(tǒng)中的作用.

    在磁懸浮小球控制系統(tǒng)“穩(wěn)”“快”“準”控制的需求牽引下,本文首先建立磁懸浮小球的重力控制系統(tǒng)數(shù)學模型;然后,基于時域分析和頻域分析等手段,分析PID 控制器的參數(shù)變化對磁懸浮小球重力控制系統(tǒng)性能的影響,實現(xiàn)對磁懸浮小球的重力控制.該教學模式能夠引導學生以工程需求為牽引,引導學生伴問題而思考,化抽象為具體,調(diào)動學生對學習理論知識的興趣,提升學生從物理問題-數(shù)學問題-科學問題-工程實踐的分析問題和解決問題的能力.

    1 磁懸浮小球控制原理

    磁懸浮小球處于線圈繞組產(chǎn)生的磁場中,磁懸浮小球控制系統(tǒng)主要由鐵芯、線圈、位置傳感器、放大器、數(shù)字控制器和控制對象小球組成[5].當電磁鐵上的線圈繞組通電時,小球靠近某個線圈時,會受到線圈產(chǎn)生磁力的吸引力;同時磁懸浮小球也會受到重力的影響,通過設計PID 控制器,將磁懸浮小球穩(wěn)定在中心位置,且不出現(xiàn)振蕩.

    在磁懸浮小球系統(tǒng)中,調(diào)節(jié)電流,使小球的位置z始終保持在平衡位置.忽略小球受到的其它干擾力,小球在系統(tǒng)中只受電磁吸力和自身重力.小球在豎直方向的動力學方程描述為

    式中:m為磁懸浮小球的質(zhì)量,單位:kg;g為重力加速度,單位:m/s2;z為磁極到小球的氣隙,單位:m;i為電磁鐵繞組中的瞬時電流,單位:A;F(i,z)為電磁吸力,單位:N.經(jīng)過拉普拉斯變換,根據(jù)式(1)推導出電磁鐵線圈的傳遞函數(shù)G0(s)為

    如果式(2)中的ki=1,m=1,kh=0.02,則電磁鐵線圈的數(shù)學模型簡化為

    式中:Ks為氣隙與電壓的關(guān)系系數(shù),單位:V/mm;Ka為功率放大器的增益.

    2 P 控制

    比例控制器的傳遞函數(shù)為[8-9]

    式中:KP為比例系數(shù);e(t)為誤差信號(輸入信號);uP(t)為輸出信號.根據(jù)式(1)~(4),推導出磁懸浮小球重力方向控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)為

    根據(jù)式(6),從磁懸浮小球重力方向控制系統(tǒng)閉環(huán)特征根得出結(jié)論:當KP>0.02時磁懸浮小球處于臨界穩(wěn)定狀態(tài);KP<0.02時磁懸浮小球位置是發(fā)散的,即磁懸浮小球處于不穩(wěn)定狀態(tài).式(6)可以進一步化簡為

    式中:ωn為振蕩頻率.根據(jù)式(7),當系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)時,二階系統(tǒng)的單位階躍響應(c t) 為

    當式(8)中KP分別取50 和0.1 時,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(c t)分別為

    根據(jù)式(9)~(10),系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應的Matlab[10]仿真曲線見圖1,當KP=0.1時,磁懸浮小球位置處于穩(wěn)定狀態(tài),隨著KP增大,磁懸浮小球振蕩頻率增大,但其振蕩幅值減??;當KP=50時,磁懸浮小球處于振蕩狀態(tài),同時系統(tǒng)超調(diào)也增加.

    圖1 KP 分別取50 和0.1 時系統(tǒng)單位階躍響應曲線

    3 PD 控制

    為了解決P 控制下的磁懸浮小球系統(tǒng)的超調(diào)和振蕩,需要加入微分控制.PD 控制的微分方程為[8-9]

    式中:KD為微分系數(shù);uPD(t)為輸出信號.在磁懸浮小球控制系統(tǒng)的比例控制基礎上增加微分控制,保持比例系數(shù)KP=0.3不變的情況,微分系數(shù)分別取KD=8,KD=50,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應的仿真曲線見圖2.

    圖2 KD 參數(shù)不同時系統(tǒng)單位階躍響應曲線

    從圖2 中可以看出,微分參數(shù)增大,微分作用越強,輸出響應的超調(diào)減小,調(diào)節(jié)時間縮短,但是上升時間和峰值時間增加,即系統(tǒng)的動態(tài)響應速度變慢.如果從頻域方面分析,系統(tǒng)的截止頻率增加和穩(wěn)態(tài)裕度均增加,而穩(wěn)定裕度增加,超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間減小,與時域分析結(jié)果一致.

    磁懸浮小球的位置穩(wěn)態(tài)誤差為

    在PD 控制下,系統(tǒng)誤差與比例控制器的系數(shù)有關(guān),且系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差無法消除.

    4 PID 控制

    為了解決PD 控制下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差無法消除的問題,需要引入積分控制.PID 控制的微分函數(shù)為[8-9]

    式中:KI為積分系數(shù);uPID(t)為輸出信號.磁懸浮小球控制系統(tǒng)在PD 控制基礎上引入積分控制后,小球位置的穩(wěn)態(tài)誤差為

    引入積分環(huán)節(jié)后,可以完全消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差,使小球穩(wěn)定在平衡位置.在比例系數(shù)KP和微分系數(shù)KD不變的情況下,積分系數(shù)分別取KI=0.01,KI=2時,仿真曲線見圖3.當KI太小時,穩(wěn)態(tài)誤差消除比較慢,隨著KI增大,積分作用加強,穩(wěn)態(tài)誤差消除加快;但當KI太大時,系統(tǒng)的超調(diào)量增大,振蕩加劇,穩(wěn)定性下降.

    圖3 KI 參數(shù)不同時系統(tǒng)單位階躍響應曲線

    5 結(jié)語

    本文基于磁懸浮小球控制系統(tǒng)“穩(wěn)”“快”“準”控制的需求,首次將磁懸浮小球重力控制問題貫穿于PID 控制特性的課堂教學中,將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,分析PID 控制器的參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響,實現(xiàn)對磁懸浮小球的重力控制.該教學模式能夠引導學生以工程需求為牽引,化抽象為具體,調(diào)動學生學習積極性,開拓學生的創(chuàng)新性思維,提升學生利用PID 特性分析用于工程實踐解決具體問題的能力.

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