多思維切入　多方法破解

萬再興

[摘 要]雙變元或多變元函數(shù)代數(shù)式的最值問題是歷年高考數(shù)學(xué)的常見題型之一，在解決此類問題時應(yīng)合理變形，巧妙轉(zhuǎn)化，構(gòu)建題目已知關(guān)系式與所求代數(shù)式之間的聯(lián)系，找準思維視角切入，進而獲得相關(guān)解題思路與方法技巧，從而有效解決問題。

[關(guān)鍵詞]函數(shù);不等式;思維;方法

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）02-0023-03

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，雙變元或多變元函數(shù)代數(shù)式的最值問題是函數(shù)的一個重要題型，也是歷年高考數(shù)學(xué)的熱點問題，其變化多端，形式各樣，難度較大，備受關(guān)注。

一、試題呈現(xiàn)

【試題】（2021年4月浙江省高考科目考試紹興市適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷（二模）·8）已知[a>0]，[b>0]，[a2+b2-ab=3]，[a2-b2≤3]，則[a+b]的最小值是（ ）。

A. 2[2] B. 3 C. 2[3] D. 4

二、試題分析

這是一道限制條件下求解雙變元函數(shù)代數(shù)式的最值問題，這類問題在浙江省高考試卷以及全國各類數(shù)學(xué)競賽試卷中經(jīng)常出現(xiàn)。此題以兩正數(shù)所滿足的二次關(guān)系式、二次絕對值不等式為問題背景，進而確定一次雙變元函數(shù)代數(shù)式的最小值。

如何找到題目已知關(guān)系式與所求代數(shù)式之間的聯(lián)系，找準思維視角合理切入最為關(guān)鍵，其中合理的變形與轉(zhuǎn)化是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要一環(huán)。

三、破解方法

思維視角一：不等式角度

方法1：配方法一

解析：由[a2-b2≤3]，兩邊平方并配方整理可得[（a2+b2）2-4a2b2≤9]，

結(jié)合[a2+b2=ab+3]，可得[（ab+3）2-4a2b2≤9]，即[3a2b2-6ab≥0]，解得[ab≥2]，

又結(jié)合基本不等式有[ab+3=a2+b2≥2ab]，解得[ab≤3]，即[ab∈2， 3]，

所以[（a+b）2=a2+b2+2ab=ab+3+2ab=3ab+3∈9， 12]，即[a+b∈3， 23]，

則[a+b]的最小值為3，故答案選B。

方法2：配方法二

解析：由于[a>0]，[b>0]，[a2+b2-ab=3]，[a2-b2 ≤3]，

結(jié)合基本不等式有[3+ab=a2+b2≥2ab]，解得[ab≤3]，當且僅當[a=b]時等號成立，

則有[（a+b）2=3+3ab]，[（a-b）2=3-ab]，

由[a2-b2≤3]，可得[（a+b）（a-b）≤3]，即[（3+3ab）（3-ab）≤9]，解得[2≤ab≤3]，

所以[（a+b）2=a2+b2+2ab=ab+3+2ab=3ab+3∈9， 12]，即[a+b∈3， 23]，

則[a+b]的最小值為3，故答案選B。

點評：配方法處理，主要是根據(jù)題目中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，有效結(jié)合平方、等量變換、基本不等式等相關(guān)知識以實現(xiàn)巧妙配方。從不同視角來合理配方，借助條件關(guān)系式的變形代入，結(jié)合不等式的求解確定對應(yīng)的不等式，是解決問題的關(guān)鍵所在。

方法3：單變量換元法

解析：設(shè)[t=a+b >0]，

由[a2+b2-ab=3]，配方可得[（a+b）2-3ab=3]，即[ab=（a+b）2-33=t2-33]，

而[a2-b2=（a+b）a-b=t（a+b）2-4ab=tt2-4×t2-33=t4-13t2]，

則有[t>0，t2-33>0，t4-13t2≤3，]解得[t≥3]，則[a+b]的最小值為3，故答案選B。

點評：單變量換元法，往往是對所求的代數(shù)關(guān)系式或題目條件中的特殊代數(shù)關(guān)系式進行整體化換元處理，合理引入?yún)?shù)進行換元，進而將相關(guān)其他變量均轉(zhuǎn)化為同一參數(shù)，結(jié)合關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，再加以分析與處理。以上方法中，引入?yún)?shù)[t]來表示所求的代數(shù)式[a+b]，借助單變量換元，結(jié)合已知條件中的關(guān)系式，合理構(gòu)建[a2+b2]，[a+b]，[a-b]及[ab]之間的關(guān)系，并全部表示為關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，再進行分析與處理。

方法4：雙變量換元法

解析：設(shè)[x=a+b>0]，[y=a-b]，則有[2a=x+y>0]，[2b=x-y>0]，則有[-x<y<x]，即[y<x]，

由[a2+b2-ab=3]，可得[x2+3y2=12]，即[y2=4-13x2]，而[a2-b2=（a+b）a-b=xy≤3]，即[y≤3x]，

則有[x>0，4-13x2<x2，4-13x2≤9x2，]解得[x≥3]，則[a+b]的最小值為3，故答案選B。

點評：雙變量換元法是解決復(fù)雜代數(shù)式問題的一大方法技巧。關(guān)鍵是應(yīng)用整體思維，通過雙變量換元進行化歸與轉(zhuǎn)化，進而通過不等式組的求解來確定有關(guān)參數(shù)的最值。以上方法中，引入?yún)?shù)來表示所求的代數(shù)式，并借助雙變量換元，及結(jié)合已知條件中的關(guān)系式，合理構(gòu)建兩變量之間的關(guān)系，為進一步的分析與處理打下基礎(chǔ)。

思維視角二：函數(shù)角度

方法5：三角換元法

解析：因為[a2+b2-ab=a-b22+34b2=3]，令[a-b2=3cos θ]，[32b=3sin θ]，

解得[a=3cos θ+sin θ，b=2sin θ，] [θ∈0， 2π]，

因為[a>0]，[b>0]，所以[3cos θ+sin θ=2sinθ+π3>0]，[2sin θ>0]，

所以[sinθ+π3>0，sinθ>0，]即[0<θ+π3<π，0<θ<π，]解得[0<θ<2π3]，

因為[a2-b2≤3]，所以[a2-b2=3cos θ+sin θ2-] [4sin2θ=3cos2θ-sin2θ+23sin θ cos θ=3cos2θ+][3sin 2θ=23sin2θ+π3]，

因為[0<θ<2π3]，所以[π3<2θ+π3<5π3]，

結(jié)合[a2-b2≤3]，可得[-3≤23sin2θ+π3≤3]，所以[-32≤sin2θ+π3≤32]，[2π3≤2θ+π3≤4π3]，[π6≤θ≤π3]， 故[a+b=3cos θ+3sin θ=23sinθ+π6∈3， 23]，

則[a+b]的最小值為3，故答案選B。

點評：三角換元法是處理一些代數(shù)關(guān)系式問題時比較常用的一種方法，也是從函數(shù)角度處理此類問題的最常用方法之一。三角換元法往往利用雙變元的平方和為1等結(jié)構(gòu)特征加以合理構(gòu)建，配方處理是解決問題的關(guān)鍵。三角換元后，合理的三角恒等變形以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用是關(guān)鍵。以上方法中，根據(jù)題目條件中的平方關(guān)系式合理配方，進行三角換元處理，為問題的進一步處理提供條件。

方法6：比值換元法

解析：不失一般性，不妨設(shè)[a≥b>0]，

根據(jù)已知條件可得[a2-b2≤3=a2+b2-ab]，解得[a≤2b]，即[0<b≤a≤2b]，

設(shè)[t=ab∈1， 2]，則有[（a+b）2=3（a+b）2a2+b2-ab=3（t+1）2t2+1-t=31+3tt2+1-t=31+3t+1t-1]，

因為雙勾函數(shù)[y=t+1t]在區(qū)間[1， 2]上單調(diào)遞增，

所以[（a+b）2=31+3t+1t-1∈9， 12]，即[a+b∈3， 23]，則[a+b]的最小值為3，故答案選B。

點評：比值換元法是處理一些雙變元代數(shù)式關(guān)系時經(jīng)常用到的一種方法，技巧性強，通過比值換元以及變量代換，結(jié)合齊次化處理以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，很好地融合了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識與能力。以上方法中，通過比值的設(shè)置，平方化處理所求的代數(shù)關(guān)系式，借助齊次化處理，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，進而巧妙利用相應(yīng)的函數(shù)來分析與處理。

思維視角三：幾何角度

方法7：構(gòu)造三角形法

解析：構(gòu)造[△ABC]，其中[c=3]，則有[a2+b2-ab=3=c2]，

結(jié)合余弦定理可知[cos C=12]，即[C=π3]，

又由[a2-b2≤3=c2]，可得[a2+c2≥b2，b2+c2≥a2，]結(jié)合余弦定理可得[cosB≥0，cosA≥0，]

則有[-cos A+π3≥0，cosA≥0，]即[cos A+π3≤0，cosA≥0，]解得[A∈π6，π2]，

根據(jù)正弦定理[asinA=bsinB=csinC=3sinπ3=2]，

[所以a+b=2（sin A+sin B）=2sin A+sinA+π3=23sinA+π6∈3， 23，]

則[a+b]的最小值為3，故答案選B。

點評：合理聯(lián)想，結(jié)合代數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，巧妙構(gòu)造相應(yīng)的平面幾何、平面向量、空間向量等相關(guān)模型，把代數(shù)問題幾何化。直觀分析，數(shù)形結(jié)合，是解決問題的常用方法。以上方法中，結(jié)合條件中的關(guān)系式聯(lián)想到三角形的余弦定理，構(gòu)造對應(yīng)的三角形，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來分析與處理，思維巧妙，視角特殊。

四、規(guī)律總結(jié)

破解雙變元或多變元函數(shù)代數(shù)式的最值問題時，應(yīng)利用題目已知關(guān)系式與所求代數(shù)式之間的聯(lián)系合理配湊與巧妙轉(zhuǎn)化出滿足條件的關(guān)系式，從而有效破解問題。其中，比較常用的解題通法以及思維角度主要有以下幾種：

（1）不等式角度：分析題目條件或結(jié)論中對應(yīng)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理配湊，利用不等式的基本性質(zhì)、基本不等式、求解不等式（組）、一些重要不等式（柯西不等式、權(quán)方和不等式等）等來分析與轉(zhuǎn)化，進而確定對應(yīng)函數(shù)的最值。

（2）函數(shù)角度：根據(jù)題目條件，通過巧妙轉(zhuǎn)化或合理換元處理等引入新參數(shù)，構(gòu)建關(guān)于某個變量的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)（如二次函數(shù)、三角函數(shù)等）的圖像與性質(zhì)等來分析與求解函數(shù)的最值。

（3）幾何角度：根據(jù)題目條件，結(jié)合代數(shù)式的幾何性質(zhì)或幾何意義，合理抽象，以“形”助“數(shù)”，通過數(shù)形結(jié)合，將抽象的數(shù)量關(guān)系直觀形象化，從而分析與求解函數(shù)的最值。

從代數(shù)角度（函數(shù)或不等式等）或幾何角度等進行分析與處理，是解決雙變元函數(shù)代數(shù)式的最值問題的常見技巧方法。具體解決問題時，要正確分析題目條件，從正確的思維視角切入，匹配與之對應(yīng)的特殊數(shù)學(xué)模型，從而形成技巧方法與解題策略，這才是解決問題的根本與目的所在，也是解題研究的最高境界。因而，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解題后學(xué)會舉一反三，靈活變通，真正達到融會貫通，從而有效提升學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（責任編輯 黃春香）

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