不等式中的“變”與“不變”

陳緩

方程和不等式是刻畫數(shù)量關(guān)系的重要模型，包含方程與方程組、不等式與不等式組兩個方面，也是中考的必考知識?？傮w而言，主要有三種考查方式：一是概念，二是解法，三是應(yīng)用。下面我們以不等式為例，從教材例題出發(fā)，結(jié)合中考題，對解題方法與技巧進(jìn)行剖析，以不變應(yīng)萬變，在不等式的世界中乘風(fēng)破浪。

例 （蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級下冊第136頁）解不等式組[3x-1≥x+1，①x+4<4x-2。②]

【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法，由①，得x≥1，由②，得x>2。再利用數(shù)軸的數(shù)形結(jié)合或口訣“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小是無解”來確定不等式組的解集。

解：解不等式①，得x≥1。

解不等式②，得x>2。

所以，不等式組的解集是x>2。

【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式組的解法，先求出每一個不等式的解集，然后根據(jù)不等式解集的確定方法，確定兩個不等式解集的公共部分。

變式1 （2021·江蘇南通）若關(guān)于x的不等式組[2x+3>12，x-a≤0]恰有3個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）。

A.7

C.7≤a<8 D.7≤a≤8

【分析】首先確定一元一次不等式組的解集為4.5

解：解不等式2x+3>12，得x>4.5，解不等式x-a≤0，得x≤a。由于原不等式組恰有3個整數(shù)解，所以，不等式組的解集是4.5

【點(diǎn)評】本題重在考查不等式組的解法，同學(xué)們要準(zhǔn)確地得到不等式組的整數(shù)解和a的取值范圍，一定要仔細(xì)判斷是否取端點(diǎn)值。悄悄告訴你，將端點(diǎn)值代入檢驗(yàn)是避免錯誤的好方法！

變式2 （2020·山東濱州）若關(guān)于x的不等式組[12x-a>0，4-2x≥0]無解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。

【分析】首先求出每個不等式的解集，x>2a和x≤2，利用數(shù)軸或口訣“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小是無解”得到a≥1。

解：解不等式[12]x-a>0，得x>2a;解不等式4-2x≥0，得x≤2。因?yàn)椴坏仁浇M無解，所以2a≥2，即a≥1。

【點(diǎn)評】此題是探究一元一次不等式組無解的問題。正確求出每個不等式的解集是基礎(chǔ)。結(jié)合數(shù)軸利用數(shù)形結(jié)合思想或口訣解答此題是關(guān)鍵，也是同學(xué)們在解一元一次不等式組時應(yīng)具備的基本技能，大家要牢牢掌握。

變式3 （2021·江蘇無錫）為了提高廣大職工對消防知識的學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)職工的消防意識，某單位工會決定組織消防知識競賽活動，本次活動擬設(shè)一、二等獎若干名，并購買相應(yīng)獎品?，F(xiàn)有經(jīng)費(fèi)1275元用于購買獎品，且經(jīng)費(fèi)全部用完，已知一等獎獎品單價(jià)與二等獎獎品單價(jià)之比為4：3。當(dāng)用600元購買一等獎獎品時，共可購買一、二等獎獎品25件。

（1）求一、二等獎獎品的單價(jià);

（2）若購買一等獎獎品的數(shù)量不少于4件且不超過10件，則共有哪幾種購買方式？

【分析】（1）設(shè)一等獎獎品單價(jià)為4x元，則二等獎獎品單價(jià)為3x元，根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，可得到關(guān)于x的分式方程，解方程并檢驗(yàn)后即可得出x的值，再將其代入4x、3x中便可求出單價(jià);（2）設(shè)購買一等獎獎品m件，二等獎獎品n件，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，可列出關(guān)于m、n的二元一次方程，結(jié)合m、n均為正整數(shù)且4≤m≤10，即可得出購買方案。

解：（1）設(shè)一等獎獎品單價(jià)為4x元，則二等獎獎品單價(jià)為3x元。

根據(jù)題意，得[6004x][+1275-6003x]=25，

解這個方程，得x=15，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原方程的解，且符合題意，

∴4x=60，3x=45。

答：一等獎獎品單價(jià)為60元，二等獎獎品單價(jià)為45元。

（2）設(shè)購買一等獎獎品m件，二等獎獎品n件。

根據(jù)題意，得60m+45n=1275，

∴n=[85-4m3]。

∵m、n均為正整數(shù)，且4≤m≤10，

∴[m=4，n=23，]或[m=7，n=19，]或[m=10，n=15。]

∴共有3種購買方案。

答：共有3種購買方案。方案一：購買4件一等獎獎品，23件二等獎獎品;方案二：購買7件一等獎獎品，19件二等獎獎品;方案三：購買10件一等獎獎品，15件二等獎獎品。

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程、二元一次方程、一元一次不等式的綜合應(yīng)用。解題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)問題中的等量關(guān)系，正確列出分式方程和二元一次方程，找出符合條件的整數(shù)解。此外，同學(xué)們要注意把握細(xì)節(jié)，對于分式方程的解，要記得檢驗(yàn)。

（作者單位：江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級中學(xué)）

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