說“故事” 找關(guān)系 建模型

崔競

方程與不等式是初中階段兩個重要的數(shù)學(xué)模型，“審、找、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”這七步是利用方程解決實(shí)際問題的基本步驟。其中，最關(guān)鍵的是找等量關(guān)系。我們只有找到等量關(guān)系，才可列出方程。

一、尋找“故事”的主角

例1 某超市有線上和線下兩種銷售方式。與2019年4月份相比，該超市2020年4月份銷售總額增長10%，其中線上銷售額增長43%，線下銷售額增長4%。求2020年4月份線上銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值。

【分析】本題敘述的主要“故事”是兩年銷售額的增長問題?！肮适隆钡闹鹘鞘牵轰N售額，線下、線上兩種銷售額的增長率。它們之間的關(guān)系如下：

2020年銷售總額=2019年銷售總額×（1+增長率）;

銷售總額=線上銷售額+線下銷售額。

設(shè)2019年4月份的銷售總額為a元，線上銷售額為x元，則“故事”的主角可以如下表示：

[時間 2019年4月份 2020年4月份 銷售

總額（元） a 1.1a 線上

銷售額（元） x 1.43x 線下

銷售額（元） a-x 1.04（a-x） ]

解：根據(jù)題意，得1.1a=1.43x+1.04·（a-x），

解得x=[213]a，

所以[1.43x1.1a]=[0.22a1.1a]=0.2。

答：2020年4月份線上銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值為0.2。

【小貼士】“故事”中涉及的主角較多時，我們可以利用表格幫助整理數(shù)量之間的關(guān)系。

二、說“故事”

例2 某學(xué)校為改善辦學(xué)條件，計(jì)劃采購A、B兩種型號的空調(diào)。已知采購3臺A型空調(diào)和2臺B型空調(diào)，需要費(fèi)用39000元;4臺A型空調(diào)比5臺B型空調(diào)的費(fèi)用多6000元。

（1）求A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺各需多少元;

（2）若學(xué)校計(jì)劃采購A、B兩種型號空調(diào)共30臺，且A型空調(diào)的臺數(shù)不少于B型空調(diào)的一半，兩種型號空調(diào)的采購總費(fèi)用不超過217000元，該校共有哪幾種采購方案？

【分析】本題敘說的主要“故事”是兩種型號空調(diào)的購買問題?！肮适隆钡闹鹘鞘牵篈、B型空調(diào)。在問題（1）中發(fā)生的“故事”有兩個：兩種不同購買方案。第一種方案，3臺A型空調(diào)和2臺B型空調(diào)，需費(fèi)用39000元;第二種方案，4臺A型空調(diào)比5臺B型空調(diào)的費(fèi)用多6000元。它們存在的基本關(guān)系：單價×數(shù)量=總價。問題（2）講述的是采購“故事”，涉及三個條件：A、B兩種型號空調(diào)共30臺，A型空調(diào)的臺數(shù)不少于B型空調(diào)的一半，采購總費(fèi)用不超過217000元。其中用“不少于”“不超過”體現(xiàn)數(shù)量之間的不等關(guān)系。

解：（1）設(shè)A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺各需x元、y元。

根據(jù)題意，得[3x+2y=39000，4x-5y=6000，]

解得[x=9000，y=6000。]

答：A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺各需9000元、6000元。

（2）設(shè)購買A型空調(diào)a臺，則購買B型空調(diào)（30-a）臺。

根據(jù)題意，得

[a≥12（30-a），9000a+6000（30-a）≤217000，]

解得10≤a≤[373]。

所以a=10、11、12，則共有三種采購方案。

方案一：采購A型空調(diào)10臺，B型空調(diào)20臺;

方案二：采購A型空調(diào)11臺，B型空調(diào)19臺;

方案三：采購A型空調(diào)12臺，B型空調(diào)18臺。

【小貼士】列不等式解決問題時，我們一般先借助等量關(guān)系表示相關(guān)量，再列出不等式找出解決方法，不建議聯(lián)立方程和不等式。

三、找關(guān)系建模型

例3 某商店在2016年至2018年期間銷售一種禮盒。2016年，該商店用3500元購進(jìn)了這種禮盒并且全部售完;2018年，這種禮盒的進(jìn)價比2016年下降了11元/盒，該商店用2400元購進(jìn)了與2016年相同數(shù)量的禮盒也全部售完，禮盒的售價均為60元/盒。

（1）2016年這種禮盒的進(jìn)價是多少元/盒？

（2）若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率相同，問年增長率是多少？

【分析】本題敘說的主要“故事”是禮盒的銷售問題?！肮适隆钡闹鹘鞘牵憾Y盒。在問題（1）中發(fā)生的“故事”有兩個：禮盒進(jìn)價兩年相差11元，兩年分別花費(fèi)不同價格購買數(shù)量相同的禮盒。它們存在的基本關(guān)系：進(jìn)價×數(shù)量=總價。兩個“故事”體現(xiàn)的關(guān)系分別是：2016年進(jìn)價-2018年進(jìn)價=11元;2016年3500元購買數(shù)量=2018年2400元購買數(shù)量。問題（2）講述的是銷售利潤增長的“故事”，描述的關(guān)系是：2016年到2017年的增長率=2017年到2018年的增長率。存在的基本關(guān)系是：原銷售利潤×（1+增長率）=現(xiàn)銷售利潤。

解：（1）設(shè)2016年這種禮盒的進(jìn)價為x元/盒，則2018年這種禮盒的進(jìn)價為（x-11）元/盒。

根據(jù)題意，得[3500x][=2400x-11]，

解得x=35。

經(jīng)檢驗(yàn)，x=35是原方程的解。

答：2016年這種禮盒的進(jìn)價是35元/盒。

（2）設(shè)年增長率為a。

根據(jù)題意，得

（60-35）（1+a）2=60-35+11。

解得a=0.2=20%或a=-2.2（不合題意，舍去）。

答：年增長率為20%。

【小貼士】在求解方程的過程中，我們應(yīng)注意對方程解的檢驗(yàn)：（1）符合方程解的意義;（2）符合實(shí)際。

在運(yùn)用方程（不等式）解決實(shí)際問題的過程中，我們一般先通過粗略讀題了解實(shí)際問題的背景，找出“故事”的主角，也就是問題涉及的基本量。再次閱讀題目，我們需要找出同種基本量的關(guān)系，或者兩個基本量之間的關(guān)系，也就是這里所說的“故事本身”。一般我們會利用其中一個“故事”中基本量之間的關(guān)系，把涉及的基本量都用未知數(shù)表示出來，再用另外一個“故事”中存在的關(guān)系列方程（不等式），從而建立模型解決問題。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)新城初級中學(xué)）

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