打造“探究和分享”數(shù)學(xué)課堂
——以“與二次函數(shù)模型有關(guān)的最值問題”教學(xué)為例

江蘇蘇州市平江中學(xué)校（215000） 范月娥

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，促進學(xué)生形成主動探究知識的能力，是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的重要任務(wù)。為此，教師要積極創(chuàng)造寬松的教學(xué)環(huán)境，以數(shù)學(xué)問題為載體，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、主動探究與交流分享，努力把數(shù)學(xué)課堂打造成“探究和分享”空間。

本文通過“與二次函數(shù)模型有關(guān)的最值問題”這一課例，闡明培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，需要教師精心選擇教學(xué)素材，給學(xué)生設(shè)置諸如“開放型問題”“變式題”等富有挑戰(zhàn)性和探究價值的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生從多個角度探究和解決問題，深刻認識數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，掌握數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展發(fā)散性思維。

一、基本情況

“與二次函數(shù)模型有關(guān)的最值問題”一課安排在初三下學(xué)期第一輪總復(fù)習(xí)，是二次函數(shù)復(fù)習(xí)課的第四課時。

授課班級學(xué)生數(shù)學(xué)功底較為扎實，學(xué)習(xí)主動性強，樂于研究數(shù)學(xué)問題，樂于分享自己的研究成果。在解決問題時，學(xué)生喜歡從不同的角度進行思考，經(jīng)常會有多種不同的解法產(chǎn)生，學(xué)生的發(fā)散性思維能力和創(chuàng)新意識較強。

二、教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)一：題目引入

1.用一根長度為20 m 的繩子圍成一個矩形，則這個矩形面積的最大值為________。

【變式】若矩形一邊靠墻，墻長8 m，則長度為20 m的繩子可以圍成的矩形的面積最大值是多少？

2.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A從點M(0,5)出發(fā)向原點O勻速運動，與此同時，點B從點N(3,0)出發(fā)，在x軸正半軸上以相同的速度向右運動，當(dāng)點A到達原點O時，兩點同時停止運動。連接AB，以線段AB為一邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，則正方形ABCD面積的最小值為_________。

圖1

3.如圖2，已知半徑為2 的⊙O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x(2 ＜x＜4)。當(dāng)x為______時，PD·CD的值最大？

圖2

4.如圖3，直線l與半徑為4 的⊙O相切于點A，P是⊙O上的一個動點（不與點A重合），過點P作PB⊥l，垂足為B，連接PA。設(shè)PA=x，PB=y，則(x-y)的最大值是 。

圖3

設(shè)計意圖：通過上述4 道題目，分別引出解決與二次函數(shù)模型有關(guān)的最值問題的幾種常用方法，即公式（面積）、勾股定理、直接表示（構(gòu)造矩形、全等、坐標(biāo)等）以及相似三角形（三角函數(shù)）。其中第1 題承上啟下，回顧了之前復(fù)習(xí)的二次函數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)的最值問題，引出了本節(jié)課的內(nèi)容；第2、第3、第4 題分別從需要引入變量、有一個變量和有兩個變量這三個角度出發(fā)引出本節(jié)課的內(nèi)容。借助這4 道題目，學(xué)生可以回憶常用方法，為后續(xù)例題的研究奠定良好的基礎(chǔ)。

課堂概況：學(xué)生對區(qū)間范圍內(nèi)的二次函數(shù)最值問題非常熟悉，解決起來駕輕就熟，同時對需要引入變量及通過尋找兩個變量之間的關(guān)系進行消元的思想方法也掌握較好。特別是第3 題引起了學(xué)生極大的興趣，他們分別從以下幾個角度展開思考。①看到要表示弦PD，想到添加弦心距，利用垂徑定理；②看到兩個垂直，想到構(gòu)造矩形，不僅可以過O作垂線，還可以過P作垂線；③看到PC和AB平行，想到圓中自帶等腰，會有角平分線，于是連接PO并延長交圓于一點，構(gòu)造三角形全等；④通過兩對三角形分別相似尋找線段之間的關(guān)系，因為是相似直角三角形，所以也可以用三角函數(shù)來解答此題。

課后思考：這個環(huán)節(jié)用時過長，需要進一步精選題目，為后面的教學(xué)環(huán)節(jié)留足時間。學(xué)生已經(jīng)完全掌握且可以輕松解決的第1 題是不是可以省略不講？題目中沒有變量的時候，需要“無中生有”引入變量的思想和題目中有多個變量需要消元減少變量的思想是否一定要在這個環(huán)節(jié)中復(fù)習(xí)到位？還是可以通過一道題目引入變式，不僅滲透這兩個思想，而且從多個角度引出與二次函數(shù)模型有關(guān)的最值問題的幾種常用方法？

教學(xué)環(huán)節(jié)二：精講精練

［例1］如圖4，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上的一點，OA=8 cm。動點P從點A出發(fā)，以1 cm/s 的速度沿AO水平向左做勻速運動，與此同時，動點Q從點O出發(fā)，也以1 cm/s的速度沿ON豎直向上做勻速運動。連接PQ，交OT于點B。經(jīng)過O、P、Q三點作圓，交OT于點C，連接PC、QC。設(shè)運動時間為t(s)，其中0 ＜t＜8。

圖4

（1）求OP+OQ的值；

（2）是否存在實數(shù)t，使得線段OB的長度最大？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

設(shè)計意圖：本題是2020 年蘇州市中考題的節(jié)選，刪去了和本節(jié)課主題關(guān)系不密切的第（3）小題。本題是一道幾何動態(tài)型試題，P和Q兩點的運動帶來了以線段PQ為直徑的圓的變化。變化的過程中蘊含著一些不變的量，學(xué)生可以從多個角度研究、解決問題。

課堂概況：教師引導(dǎo)學(xué)生梳理題目中的條件，形成相關(guān)的知識鏈接，分析后得出解決問題的策略，最終寫出解答過程。學(xué)生思維活躍，積極探究，先后得出了以下幾種解決方案。①看到角平分線的條件，想到角平分線的性質(zhì)，再過點B分別作OM、ON兩邊的垂線段，進一步由垂線段想到面積，最后用等積法建立函數(shù)關(guān)系；②看到45°角想到等腰直角三角形，于是過點B作OM的垂線段，構(gòu)造一對“A”字相似來建立函數(shù)關(guān)系；③看到點B是射線OT和線段PQ的交點，且射線OT是直角MON的平分線，想到以O(shè)為原點，分別以射線OM和ON所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，用求OT和PQ所在直線的交點來解決問題；④把OB放在△OBP中，可以證明△OBP∽△OQC，同時由OQ=TA想到連接CA得△OQC≌△APC，從而通過相似來建立函數(shù)關(guān)系。

課后思考：整個過程學(xué)生思維活躍，參與度很高，能夠從多個角度來解決問題，說明以下幾個方面都做得不錯。①前面的知識內(nèi)容積累得很充分；②例題選擇很恰當(dāng)；③課堂引導(dǎo)很順利。不足之處：對于多種不同的解法，教師沒有引導(dǎo)學(xué)生分析對比，沒有嘗試思考哪種或者哪幾種方法對學(xué)生而言比較容易想到。對大部分學(xué)生而言，最容易想到的方法往往就是最好的方法。

教學(xué)環(huán)節(jié)三：學(xué)情評價

［檢測題］已知矩形ABCD中，AB=5 cm，點P為對角線AC上的一點，且AP=cm。如圖5，動點M從點A出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C的方向勻速運動（不包含點C）。設(shè)動點M的運動時間為t(s)，△APM的面積為S（cm2），S與t的函數(shù)關(guān)系如圖6所示。

圖5

圖6

（1）直接寫出動點M的運動速度為______cm/s，BC的長度為______cm；

（2）如圖7，動點M重新從點A出發(fā)，在矩形邊上按原來的速度和方向勻速運動，另一個動點N從點D出發(fā)，在矩形邊上沿著D→C→B的方向勻速運動。設(shè)動點N的運動速度為v（cm/s）。已知兩動點M，N經(jīng)過時間x（s）在線段BC上相遇（不包含點C），動點M，N相遇后立即同時停止運動，記此時△APM與△DPN的面積分別為S1（cm2），S2（cm2），①求動點N運動速度v（cm/s）的取值范圍；②試探究S1+S2是否存在最大值，若存在，求出S1+S2的最大值并確定運動時間x的值；若不存在，請說明理由。

圖7

設(shè)計意圖：本題是2019 年蘇州市中考題。這是一道結(jié)合函數(shù)圖像的幾何動態(tài)型題目，這一類題目學(xué)生往往不是特別擅長。和例1 相比較，這道題在以下兩個方面對學(xué)生的能力要求更高。①如果沒有仔細讀題，對“已知兩動點M，N經(jīng)過時間x（s）在線段BC上相遇（不包含點C），動點M，N相遇后立即同時停止運動，記此時△APM與△DPN的面積分別為S1（cm2），S2（cm2）”這段話理解不透，就不會弄清是要研究在兩動點M和N相遇后的兩個三角形的面積問題，那么問題就很難解決；②如果不能發(fā)現(xiàn)S1+S2為定值，而分別去求S1、S2的面積，解答此題會相對麻煩。把這樣一道富有挑戰(zhàn)性的題目作為檢測題，既可以鞏固這節(jié)課的研究成果，又可以讓學(xué)生體會到一題多解（求解S1的過程既可以用幾何圖形的方法，又可以用函數(shù)解析式的方法）帶來的快樂。

課堂概況：只有5 分鐘的練習(xí)時間，有些學(xué)生一開始就遇到問題，覺得很復(fù)雜，原因是他們沒有認清兩個三角形的面積；有的學(xué)生一開始就分別求兩個三角形的面積，計算很復(fù)雜；也有少數(shù)學(xué)生想到了比較好的解決方法，但來不及仔細計算。

課后思考：教師除了要給學(xué)生留足練習(xí)時間，對這一類結(jié)合函數(shù)圖像的幾何動態(tài)型問題，還要和學(xué)生進行深入研究，把這一類問題的共性研究透。另外，教師要進一步培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，進而使學(xué)生能夠更準(zhǔn)確、完整地梳理題目中的條件。

三、總結(jié)與改進

（一）精心選擇例題和練習(xí)題

從本質(zhì)上講，數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。而數(shù)學(xué)活動又是學(xué)生自主建構(gòu)知識、積累活動經(jīng)驗和發(fā)展思維能力的過程。因而，教師必須精心選擇教學(xué)素材，精心設(shè)計教學(xué)活動。唯有這樣，學(xué)生才能更加充分地利用課堂時間探究和分享有價值的數(shù)學(xué)問題，學(xué)會多角度思考問題和解決問題，并在此過程中體會“什么樣的方法才是最好的方法”，積累一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

（二）強化課堂的開放性

教師要創(chuàng)造更加寬松的學(xué)習(xí)環(huán)境。如果學(xué)生的點滴進步被肯定，每一次的思維靈動被贊賞，那么就有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，由此形成一個良性循環(huán)。這對學(xué)生形成良好的意志品質(zhì)、思維品質(zhì)以及激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新靈感也十分有利。

當(dāng)學(xué)生探究問題的熱情被點燃后，教師要順勢引導(dǎo)他們從不同的角度思考問題，從不同的角度探索解決問題的途徑和方法。同時，教師要積極鼓勵學(xué)生在課堂上分享自己的想法。無論思路和方法如何，教師都應(yīng)予以肯定，并在此基礎(chǔ)上通過師生活動、生生互動，探索出最佳的解題方法。

教師要依據(jù)學(xué)情適度增設(shè)一些開放性問題和變式題讓學(xué)生探究。學(xué)生在探究這類問題的過程中往往會感覺自己是一名探索者，會產(chǎn)生“登高望遠”之樂趣，激起進一步學(xué)習(xí)的興趣。當(dāng)然，在探究問題的過程中，教師需要適當(dāng)引導(dǎo)，鼓勵學(xué)生大膽猜測、勇于質(zhì)疑。在解決問題的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生多角度、全方位地思考問題，激活學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新思維。

為了更好地打造“探究和分享”數(shù)學(xué)課堂，教師不僅要積極轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，不斷地學(xué)習(xí)和研究，還要掌握學(xué)科知識體系，把握學(xué)生的能力發(fā)展目標(biāo)和認知規(guī)律。同時，對于每一項要求學(xué)生探究的內(nèi)容，教師必須先探究，這更有利于教師參與學(xué)生的探究活動并給予必要的指導(dǎo)。