基于ICA和Box-Cox變換的鋰離子電池SOH估計(jì)方法

張吉昂，王 萍，程 澤

（天津大學(xué)電氣自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，天津 300072）

鋰離子電池以其輸出電壓高、循環(huán)壽命長(zhǎng)和能量密度高等優(yōu)點(diǎn)，正逐漸成為電動(dòng)汽車、變電站和光伏電網(wǎng)的重要儲(chǔ)能裝置[1]。電池管理系統(tǒng)BMS（battery management system）可以對(duì)電池進(jìn)行狀態(tài)評(píng)估、風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警、定期維護(hù)和更換，以保證電池的長(zhǎng)期穩(wěn)定運(yùn)行。其中，準(zhǔn)確的電池健康狀態(tài)SOH（state of health）[2]估計(jì)是BMS的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。SOH是表征電池老化程度的重要指標(biāo)，一般表示為電池當(dāng)前可用容量與初始容量的比值，一般認(rèn)為該值下降到70%～80%時(shí)，電池壽命終止EOL（end of life）[3]。

不同于電壓電流等可測(cè)量，SOH無法用傳感器測(cè)量，只能通過對(duì)電池特征參數(shù)的觀測(cè)與辨識(shí)，并結(jié)合數(shù)學(xué)算法進(jìn)行定量估計(jì)。電池的SOH估計(jì)方法大致可以分為基于模型的方法[4]和基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法[5]，前者需要建立電池模型，計(jì)算較復(fù)雜，不適合BMS的在線應(yīng)用；后者無需建立電池的物理模型，直接從電池的測(cè)量數(shù)據(jù)（如電壓、電流、溫度、阻抗等）中提取能夠指示電池健康狀態(tài)的健康特征HF（health factor），并采用一定的學(xué)習(xí)方法來構(gòu)造電池的HF與SOH的映射關(guān)系，建立老化模型。然后在線獲取當(dāng)前循環(huán)次數(shù)下的HF測(cè)量值，輸入到訓(xùn)練好的老化模型中，即可獲取當(dāng)前SOH的估計(jì)值。這類方法的實(shí)用性較強(qiáng)，適合SOH的在線估計(jì)。

容量增量分析ICA（incremental capacity analy-sis）是研究鋰離子電池容量衰退的常用方法，該方法通過繪制容量增量曲線，將緩慢變化的充電電壓平臺(tái)轉(zhuǎn)化為IC曲線峰值高度，電池處于不同的老化狀態(tài)下的IC曲線會(huì)有明顯不同，可以揭示更多反映電池老化的信息，且容易在線應(yīng)用。IC曲線的相關(guān)特征，如IC峰的數(shù)值和位置[6]，也常被用來作為健康特征HF（health factor）來估算電池的當(dāng)前實(shí)際可用容量。ICA存在的問題主要是IC曲線的提取涉及電壓和容量的差分，這容易受到噪聲的干擾[7]，限制了其應(yīng)用。

現(xiàn)有研究常采用機(jī)器學(xué)習(xí)方法來建立HF和SOH之間的映射關(guān)系，這往往需要繁瑣的超參數(shù)優(yōu)化[8]，計(jì)算量較大，影響了在線應(yīng)用。許多健康特征往往和循環(huán)容量呈現(xiàn)近似線性的關(guān)系[9]，從這個(gè)角度上說，相比于機(jī)器學(xué)習(xí)算法，建立線性模型能夠避免繁瑣的超參數(shù)優(yōu)化，提升計(jì)算效率。但有些HF存在與SOH的線性相關(guān)性不夠強(qiáng)的問題，影響了估計(jì)效果。文獻(xiàn)[10]采用Box-Cox變換增強(qiáng)特征與容量退化的相關(guān)性，提升了估計(jì)精度。

基于上述分析，本文提出了基于ICA和Box-Cox變換的鋰離子電池SOH估計(jì)方法。首先通過建立電池一階等效電路模型，論證ICP與健康狀態(tài)的強(qiáng)相關(guān)性。用卡爾曼濾波算法對(duì)IC曲線進(jìn)行平滑處理，采用Box-Cox變換將訓(xùn)練周期的ICP和SOH序列轉(zhuǎn)化為近似線性關(guān)系，然后通過線性擬合來實(shí)現(xiàn)剩余周期的SOH估計(jì)。在Oxford數(shù)據(jù)集和NASA數(shù)據(jù)集上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并將本方法與常用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明本方法克服了傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)算法依賴較多訓(xùn)練集和繁瑣超參數(shù)優(yōu)化的缺點(diǎn)，具有較高的估計(jì)精度和計(jì)算效率，同時(shí)算法的魯棒性較強(qiáng)，在不同訓(xùn)練周期下都能穩(wěn)定收斂。

1 相關(guān)性證明

通過理論分析來論證電池恒流充電的IC曲線峰值高度與健康狀態(tài)之間的強(qiáng)相關(guān)性。電池常用的模型主要是一階等效電路模型[8]，結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 一階等效電路模型Fig.1 First-order equivalent circuit model

其模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：U為端電壓；I為輸入電流，恒壓充電電流一般選取1C～2C；Up為極化電壓；R0為歐姆內(nèi)阻；Rp和Cp分別為極化電阻和極化電容，在恒流充電階段為定值，僅隨循環(huán)次數(shù)而改變；Uocv為荷電狀態(tài)SOC（state of charge）的函數(shù)，Uocv=f（SOC）。恒流充電下SOC的表達(dá)式為

式中，Q(n)為第n次充放電循環(huán)下的可用容量。此時(shí)的健康狀態(tài)計(jì)算公式為

式中，QN為電池的出廠容量。

觀察式（6），對(duì)于不同類型的鋰離子電池，Cp的辨識(shí)值一般為數(shù)千量級(jí)，時(shí)間常數(shù)τ=RpCp為幾十秒[11]，且隨著電池老化逐漸增大。而在1C電流下，充電時(shí)間為1 h，指數(shù)項(xiàng)在充電時(shí)間內(nèi)很快衰減，故式（6）等號(hào)右邊指數(shù)項(xiàng)可以忽略。在單次循環(huán)下，I Q(n)為常數(shù)。當(dāng)達(dá)到最小值點(diǎn)，即曲線的拐點(diǎn)，此時(shí)式（6）有最小值。OCV-SOC曲線受健康狀態(tài)的影響較小[12]，故的最小值與循環(huán)次數(shù)n無關(guān)，在電池全周期設(shè)為常數(shù)k，則有

式中，ICP(n)為第n次循環(huán)下的IC曲線峰值高度。式（7）表明，ICP和健康狀態(tài)序列是完全線性關(guān)系，但是由于做了數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化，忽略了極化電流指數(shù)衰減項(xiàng)和OCV-SOC曲線隨老化程度的變化，此外存在隨機(jī)噪聲對(duì)電壓測(cè)量的影響，實(shí)際情況下不會(huì)呈現(xiàn)線性關(guān)系，但可以認(rèn)為兩者具有較強(qiáng)相關(guān)性。

2 健康特征提取

本文選取牛津大學(xué)電池老化數(shù)據(jù)集的Cell1～Cell8電池和NASA數(shù)據(jù)集的B0005和B0007電池進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。數(shù)據(jù)集介紹和電池類型參見文獻(xiàn)[7]。

電池的放電工況是不可預(yù)測(cè)的，而充電工況一般采取恒流-恒壓CC-CV（constant current constant voltage）模式，對(duì)CC階段的電壓變化曲線進(jìn)行數(shù)值差分來獲取dQ/dU，即

式中：L為差分步長(zhǎng)；k為采樣點(diǎn)數(shù)；Ts為采樣時(shí)間；Q（k）和U（k）分別為第k個(gè)采樣點(diǎn)的充電容量和電壓值。將dQ/dU記作DQV。由于電壓和電流傳感器的測(cè)量精度有限，計(jì)算電流（容量）和電壓的差分會(huì)帶來大量噪聲，影響IC曲線的形態(tài)和健康特征的提取，本文采用卡爾曼濾波KF（Kalman filter）算法進(jìn)行平滑處理[7]，優(yōu)勢(shì)在于可以根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)濾波，適合BMS的在線應(yīng)用。狀態(tài)方程和觀測(cè)方程為

式中：DQV（k）為平滑后第k個(gè)時(shí)刻的輸出值；DQVm(k)為第k個(gè)時(shí)刻的觀測(cè)值；w（k）和v（k）分別為第k個(gè)時(shí)刻的過程噪聲和觀測(cè)噪聲協(xié)方差。

KF算法在線濾波的流程如圖2所示。

圖2中，A=1，H=1，y（k）和x（k）分別為第k個(gè)時(shí)刻濾波前后的IC曲線輸出值，P(k)為第k個(gè)時(shí)刻的方差陣，x-(k)和P-(k)分別為k時(shí)刻狀態(tài)變量和方差矩陣的先驗(yàn)估計(jì)，K（k）為k時(shí)刻系統(tǒng)的卡爾曼增益，Qf和Rf分別為過程噪聲ω和觀測(cè)噪聲ν的協(xié)方差，ω和ν共同作用在DQV上，使其受到噪聲污染。本文根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)置L=20 s，Qf=0.000 1，Rf=1，方差迭代初值P0=0.1，狀態(tài)量初值x0=[0 0]T。濾波前后的IC曲線如圖3所示。

圖2 KF算法流程Fig.2 Flow chart of KF algorithm

圖3 濾波前的IC曲線Fig.3 IC curve before filtering

由圖3和圖4可知，引入KF算法，IC曲線明顯光滑，峰值高度ICP清晰可見，隨著電池老化程度的加深，ICP不斷降低，與容量的衰退呈現(xiàn)較好的關(guān)聯(lián)性，印證了第1節(jié)的討論。

圖4 濾波后的IC曲線Fig.4 IC curve after filtering

為了進(jìn)一步量化這種相關(guān)性，本文采用Pearson相關(guān)系數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度GRC（grey relation coefficient）來對(duì)ICP與SOH相關(guān)程度進(jìn)行衡量。計(jì)算公式分別為

式中：ICPi為第i次循環(huán)的ICP值；SOHi為第i次循環(huán)的健康狀態(tài)值；n為總的循環(huán)次數(shù)；ρ為分辨系數(shù)，一般取0.5。Pearson系數(shù)從線性相關(guān)性的角度衡量?jī)蓚€(gè)變量序列之間的關(guān)聯(lián)程度，其值位于[-1，1]之間，絕對(duì)值越大，相關(guān)性越高。GRC從兩個(gè)變量序列的幾何曲線相似程度的角度來衡量其相關(guān)程度，其值位于[0，1]之間，越接近1，相關(guān)性越高，分別計(jì)算各電池的ICP與SOH之間的Pearson系數(shù)和GRC，如表1所示。

表1 各電池SOH與ICP的相關(guān)度Tab.1 Relevance between SOH and ICP of each battery

由表1可知，各電池的Pearson系數(shù)的計(jì)算結(jié)果都在0.97以上，GRC基本在0.8以上，呈現(xiàn)出較高的相關(guān)性，這與前面的論證結(jié)果相符。

3 Box-Cox變換與線性模型建立

3.1 Box-Cox變換

理想情況下，ICP與SOH退化序列呈現(xiàn)完全線性的關(guān)系，如式（7）所示，然而由于電池容量退化過程的復(fù)雜性，其相關(guān)程度不能完全令人滿意，為了糾正這種線性偏差，本文采用Box-Cox變換[10]進(jìn)一步增強(qiáng)ICP與SOH衰退序列的線性相關(guān)性。

設(shè)因變量y=(y1,y2,…,yn)T，多元自變量x=(xi1,xi2,…,xiq)T，考慮線性回歸模型為

式中：β為回歸系數(shù)，β=[β0β1β2…βq]T；εi為不可測(cè)誤差，εi～N(0,δ2)；i=1，2，…，n，n為樣本容量。

Box-Cox變換可以表示為

式中，xt和分別為變換前、后的變量。相應(yīng)的Box-Cox反變換為

式中：c為保證x+c為正數(shù)的常數(shù)；λ為待辨識(shí)參數(shù)。此時(shí)的回歸模型變?yōu)?/p>

此時(shí)x(λ)與y的相關(guān)性得到了增強(qiáng)。λ的確定方法主要有極大似然估計(jì)法和貝葉斯方法，本文采用極大似然估計(jì)法來辨識(shí)λ。即通過遍歷搜索λ，使得數(shù)據(jù)聯(lián)合分布似然函數(shù)有最大值。具體數(shù)學(xué)推導(dǎo)參見文獻(xiàn)[10]。

3.2 電池老化線性模型建立

由式（7）可知，在數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化下，ICP和SOH為完全線性關(guān)系，然而，考慮到電池參數(shù)老化和極化效應(yīng)等影響，ICP與SOH呈現(xiàn)一定的彎曲度，如圖5的方形和三角形散點(diǎn)所示。實(shí)際應(yīng)用中不可能知道電池的全周期容量數(shù)據(jù)，但前N個(gè)循環(huán)周期的容量數(shù)據(jù)和特征數(shù)據(jù)可以通過核容法標(biāo)定，N為建模預(yù)測(cè)起點(diǎn)SP（starting point）。由圖4可知，電池的全周期容量退化與IC峰值衰減具有較好的一致性，可以認(rèn)為ICP和SOH的非線性對(duì)應(yīng)關(guān)系在電池全周期衰退中保持一致。所以通過前N個(gè)循環(huán)的數(shù)據(jù)進(jìn)行Box-Cox變換來辨識(shí)λ，能夠獲知全周期ICP-SOH曲線的彎曲度信息和非線性程度，進(jìn)而將ICP-SOH曲線變換為近似一條直線，并采用最小二乘法辨識(shí)線性模型的斜率k和截距b；在線應(yīng)用時(shí)實(shí)時(shí)采集SP之后周期的電壓電流數(shù)據(jù)并提取ICP，計(jì)算ICPλ并代入到建立好的線性模型中即可估計(jì)當(dāng)前循環(huán)次數(shù)下的SOH。圖5展示了N=20時(shí)的建模過程，圓形和菱形的點(diǎn)分別為SP前后的ICP與SOH序列?；贗CA-BoxCox變換的鋰離子電池SOH估計(jì)方法的流程見圖7。

圖5 Cell1的ICP和SOH的對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.5 Relationship between ICP and SOH of Cell1

圖6 參數(shù)λ尋優(yōu)過程Fig.6 Optimization of parameter λ

圖7 ICA-BoxCox變換SOH估計(jì)流程Fig.7 Flow chart of SOH estimation using ICA-BoxCox transform

4 結(jié)果與分析

4.1 小樣本訓(xùn)練集下的估計(jì)效果

建立SOH估計(jì)模型時(shí)，通常希望訓(xùn)練樣本數(shù)N較小，因?yàn)橛?xùn)練周期的容量需要安時(shí)積分法核容獲得，比較費(fèi)時(shí)費(fèi)力。Oxford電池用前20%的容量衰退數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)后80%，NASA電池用前30%來預(yù)測(cè)后70%。并與常用的機(jī)器學(xué)習(xí)方法最小二乘支持向 量 機(jī) LSSVM[8]（least squares support vector machine）和高斯過程回歸GPR（Gaussian process regression）進(jìn)行對(duì)比。其中LSSVM的超參數(shù)采用粒子群算法優(yōu)化[8]，GPR的超參數(shù)采用共軛梯度法優(yōu)化。用訓(xùn)練集的原始ICP和SOH序列建立機(jī)器學(xué)習(xí)回歸模型，在線應(yīng)用時(shí)采集新循環(huán)周期下的健康特征數(shù)據(jù)，代入訓(xùn)練好的回歸模型中，輸出當(dāng)前SOH的估計(jì)值。LSSVM方法的正則化因子γ和核函數(shù)超參數(shù)δ2的搜索范圍為[10，1 000]，粒子規(guī)模為30，迭代次數(shù)設(shè)為10次。GPR方法采用有理協(xié)方差核函數(shù)，均值函數(shù)初值設(shè)為3，方差函數(shù)初值設(shè)為[0 0 0]，似然函數(shù)初值設(shè)為-1。3種方法的估計(jì)結(jié)果和誤差百分比如圖8所示。MAE和RMSE的計(jì)算結(jié)果如表2所示，同時(shí)列出了3種方法的計(jì)算時(shí)間。

圖8 各電池的SOH估計(jì)結(jié)果Fig.8 SOH estimation results of each battery

圖8（a）、（d）顯示了對(duì)SP之前的ICP和SOH序列進(jìn)行Box-Cox變換前后Cell1和B0005電池全周期的ICP和SOH的分布散點(diǎn)圖。Box-Cox變換后的點(diǎn)中，圓點(diǎn)表示訓(xùn)練樣本，用以建立線性模型（直線），方塊表示測(cè)試樣本，可知方塊集中在線性模型附近，擬合效果較好。變換前后ICP和SOH的線性相關(guān)性明顯增強(qiáng)，接近于一條直線，對(duì)比表1和表2可知，Pearson系數(shù)和GRC都較變換前有了很大的提高。估計(jì)結(jié)果和相對(duì)誤差百分比見圖8（b）（c）（e）（f）。更多電池結(jié)果見表2。Oxford電池的MAE和RMSE的計(jì)算結(jié)果均小于1%；NASA電池的MAE和RMSE的計(jì)算結(jié)果均小于2%。反映了本文所提方法具有較高的估計(jì)精度，并且只需要較少的訓(xùn)練周期樣本數(shù)，同時(shí)該方法能夠適應(yīng)電池不一致性造成的多種容量衰退情形以及容量的局部再生現(xiàn)象。

表2 SOH估計(jì)結(jié)果Tab.2 Estimation results of SOH

LSSVM和GPR的估計(jì)結(jié)果和誤差在圖8中分別用點(diǎn)劃線和點(diǎn)線標(biāo)出。作為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)類方法，兩者需要較多的訓(xùn)練樣本數(shù)，進(jìn)而能夠充分學(xué)習(xí)和映射容量衰退的特征細(xì)節(jié)，從而建立回歸預(yù)測(cè)模型。當(dāng)可供學(xué)習(xí)的樣本較少時(shí)，會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)效果不佳，甚至發(fā)散。本方法的計(jì)算效率較高，原因是Box-Cox變換和基于最小二乘法的線性擬合所需的計(jì)算量很小，所以不會(huì)占有硬件系統(tǒng)的太多計(jì)算資源，適合用于SOH的在線估計(jì)；而機(jī)器學(xué)習(xí)算法的超參數(shù)對(duì)于其性能具有顯著的影響，LSSVM方法的損失函數(shù)不可導(dǎo)，往往采用群算法進(jìn)行超參數(shù)優(yōu)化，這往往需要耗費(fèi)大量時(shí)間，同時(shí)算法容易陷入局部最優(yōu)解，而延長(zhǎng)群算法的規(guī)模和迭代方式有助于找到更優(yōu)解，但會(huì)耗費(fèi)更長(zhǎng)時(shí)間。相比之下，GPR的損失函數(shù)可導(dǎo)，可以采用共軛梯度法或類似的牛頓法進(jìn)行點(diǎn)優(yōu)化，計(jì)算效率有所改善。

4.2 不同訓(xùn)練集長(zhǎng)度的估計(jì)效果

考察不同的訓(xùn)練集規(guī)模即N值對(duì)估計(jì)誤差的影響，以檢驗(yàn)算法的魯棒性。Oxford電池的訓(xùn)練集比例從總循環(huán)次數(shù)的20%～80%以5%逐漸增加；NASA電池的訓(xùn)練集比例以步長(zhǎng)7.5%從30%～75%逐漸增加。各電池不同SOH衰退階段的SOH估計(jì)誤差如圖9所示。圖中以訓(xùn)練集占比為橫坐標(biāo)，誤差計(jì)算值為縱坐標(biāo)，展示了Cell1和B0005的估計(jì)誤差隨訓(xùn)練集規(guī)模的變化曲線。

圖9 各電池不同SOH衰退階段的SOH估計(jì)誤差Fig.9 SOH estimation errors of each battery at different SOH degradation stages

由圖9可知，ICA-BoxCox方法的估計(jì)誤差較穩(wěn)定，不同訓(xùn)練周期數(shù)下，Oxford電池大部分點(diǎn)的MAE、RMSE和平均RPE都在1%以內(nèi)；NASA電池的MAE和RMSE也在2.5%以內(nèi)，沒有出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，反映了較好的魯棒性。隨著訓(xùn)練周期數(shù)增多，GPR方法和LSSVM方法能夠?qū)W習(xí)到容量衰退的特征細(xì)節(jié)，估計(jì)效果總體變好。整體來看，LSSVM的估計(jì)方法較差，原因是在較短時(shí)間內(nèi)，粒子群算法難以搜索到較好的超參數(shù)解。3種算法的比較分析如表3所示。

表3 各算法比較Tab.3 Comparison among different algorithms

5 結(jié)語

本文結(jié)合容量增量分析和Box-Cox變換，提出了一種高效的鋰離子電池SOH估計(jì)方法。本方法分為建模和應(yīng)用兩個(gè)階段。在建模階段，首先提取電池恒流充電過程的容量增量曲線，通過卡爾曼濾波算法進(jìn)行在線平滑處理，提取峰值作為健康特征。接著對(duì)預(yù)測(cè)起點(diǎn)以前的健康特征和容量數(shù)據(jù)進(jìn)行Box-Cox變換，用變換后的序列建立線性模型。應(yīng)用階段提取新的循環(huán)周期下的健康特征并計(jì)算特征的變換值，將其輸入線性模型中預(yù)測(cè)當(dāng)前SOH。Oxford和NASA數(shù)據(jù)集的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法同LSSVM和GPR相比，估計(jì)精度較高，計(jì)算速度較快，魯棒性較好。本文從增強(qiáng)特征與容量線性相關(guān)性的角度為鋰離子電池的健康狀態(tài)估計(jì)提供了一種新思路。未來可以將該方法推廣到電池組的狀態(tài)估計(jì)中，同時(shí)該方法在復(fù)雜工況下的適用性有待于進(jìn)一步驗(yàn)證。