復(fù)數(shù)情境設(shè)置,數(shù)學(xué)問(wèn)題創(chuàng)新

陳 峰

(福建省福安市第六中學(xué))

復(fù)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn),高考對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解與掌握層面上的要求偏低一些,一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度中等偏下.復(fù)數(shù)知識(shí)自身的諸多特點(diǎn)與文化背景使之一直備受命題者青睞,創(chuàng)設(shè)合理情境,巧妙創(chuàng)新應(yīng)用.

1 復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)的幾何意義合理構(gòu)建起了點(diǎn)Z(a,b)、向量＝(a,b)與復(fù)數(shù)的代數(shù)式z＝a＋bi(a,b∈R)三者之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,為解決相關(guān)問(wèn)題提供更便捷的方法.

例118世紀(jì)末,挪威測(cè)量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù),使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義,例如|z|＝|OZ|,也即復(fù)數(shù)z的模的幾何意義為z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|＝1,i為虛數(shù)單位,則|z－3－4i|的最小值為_(kāi)____.

設(shè)z＝x＋yi(x,y∈R),由題意|z|＝1,可知x2＋y2＝1,即為圓心為O(0,0),半徑為r＝1的圓,由于|z－3－4i|的幾何意義是圓O上的點(diǎn)到定點(diǎn)P(3,4)的距離,而|OP|＝＝5,故|z－3－4i|的最小值為|OP|－r＝5－1＝4.

具體的復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的運(yùn)算等都具有各自對(duì)應(yīng)的幾何意義,充分挖掘這些相關(guān)要素的幾何意義,可以將相應(yīng)的問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化,從不同的思維視角、不同的知識(shí)層面來(lái)分析、處理與解決問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破.

2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算應(yīng)用

復(fù)數(shù)的運(yùn)算往往包括復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的指數(shù)形式運(yùn)算(后兩者作為選學(xué)與提升內(nèi)容,往往以創(chuàng)新定義的形式出現(xiàn))等,通過(guò)數(shù)學(xué)文化情境的創(chuàng)設(shè)以及創(chuàng)新定義等形式來(lái)命題.

例2歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式,有拓?fù)鋵W(xué)中的歐拉多面體公式、初等數(shù)論中的歐拉數(shù)論公式等,其中最著名的是復(fù)變函數(shù)中的歐拉幅角公式——把復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)(eiθ＝cosθ＋isinθ,自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e≈2.71828,虛數(shù)單位為i).若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z＝,則的虛部為( ).

由eiθ＝cosθ＋isinθ,則有

又i2021＝i4×505＋1＝i,則有

復(fù)數(shù)的運(yùn)算應(yīng)用問(wèn)題中通?？疾閺?fù)數(shù)的四則運(yùn)算,有時(shí)也考查復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算或指數(shù)形式運(yùn)算.

3 復(fù)數(shù)的方程應(yīng)用

復(fù)數(shù)的方程應(yīng)用經(jīng)常以高次(三次及以上)方程為問(wèn)題背景,通過(guò)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算以及相關(guān)條件來(lái)創(chuàng)新設(shè)置,實(shí)現(xiàn)情境創(chuàng)設(shè)與創(chuàng)新應(yīng)用.

例3在代數(shù)史上,代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一,它說(shuō)的是任何一元n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)在復(fù)數(shù)域中有n個(gè)復(fù)數(shù)根(重根按重?cái)?shù)計(jì)).那么f(x)＝x3－1 在復(fù)平面內(nèi)使f(x)＝0 除了1 和這兩個(gè)根外,還有一個(gè)復(fù)數(shù)根為( ).

本題以代數(shù)基本定理的數(shù)學(xué)文化為情境,以復(fù)數(shù)的方程為背景,巧妙融入復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算、方程的根等相關(guān)知識(shí).

4 復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用

復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用是創(chuàng)新與綜合的一個(gè)主要場(chǎng)所,可以將復(fù)數(shù)的基本概念、基本運(yùn)算、幾何意義等知識(shí)加以綜合,巧妙考查相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法等.

例4(多選題)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉是史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一,他發(fā)現(xiàn)了被人們稱(chēng)為“世界上最完美的公式”——?dú)W拉公式:eiθ＝cosθ＋isinθ(其中i是虛數(shù)單位,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),它也滿(mǎn)足實(shí)數(shù)范圍內(nèi)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),下列結(jié)論正確的是( ).

對(duì)選項(xiàng)A,|4e5i|＝|4(cos5＋isin5)|＝＝4,故A 正確.

對(duì)選項(xiàng)B,i2020＋2021i＝i2020·i2021i＝ii＝,故B正確.

綜上,選A,B.

本題以復(fù)數(shù)為主干知識(shí),將復(fù)數(shù)、函數(shù)與方程、平面幾何、解析幾何、三角函數(shù)等眾多的知識(shí)加以合理“串聯(lián)”與構(gòu)建,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的多重組合與融會(huì)貫通.

借助復(fù)數(shù)知識(shí)的巧妙入題,創(chuàng)設(shè)創(chuàng)新情境與文化氛圍,結(jié)合復(fù)數(shù)的定義、幾何意義、運(yùn)算、方程等,合理融入其他相關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力等,綜合考查復(fù)數(shù)及其綜合應(yīng)用.

(完)