構造函數,合理轉化

朱 輝

(甘肅省平涼市第三中學)

抽象函數是近年來高考的熱點,問題通常給出函數f(x)與f′(x)之間的關系,要求參數的范圍或解不等式.這類問題條件迥異,處理方法靈活,是學習的難點,構造函數,應用函數的單調性,是解決問題的常用方法.本文介紹幾種構造函數的方法,供大家參考.

1 根據導數的運算法則構造函數

如果題目中包含f′(x)±g′(x)＞0(或＜0),f′(x)g(x)±f(x)g′(x)＞0(或＜0)的條件,可以根據導函數的和、差、積、商構造函數.

例1設f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數,f(－1)＝0,當x＞0時,xf′(x)－f(x)＜0,求使得f(x)＞0成立的x的取值范圍.

設g(x)＝,則g′(x)＝當x＞0時,g′(x)＜0,g(x)在(0,＋∞)上單調遞減,又因為f(x)是奇函數,所以f(x)在(－∞,0)上單調遞減.因為f(－1)＝0,所以f(1)＝－f(－1)＝0,g(1)＝0.故當x∈(0,1)時,g(x)＞0,f(x)＞0.當x∈(－∞,－1)時,f(x)＞0.

綜上,x的取值范圍是(－∞,－1)∪(0,1).

例2定義在R 上的函數f(x)滿足f′(x)＞f(x)恒成立,若x1＜x2,則ex1f(x2)與ex2f(x1)的大小關系為( ).

A.ex1f(x2)＞ex2f(x1)

B.ex1f(x2)＜ex2f(x1)

C.ex1f(x2)＝ex2f(x1)

D.ex1f(x2)與ex2f(x1)的大小關系不確定

一般地:

1)若f′(x)±g′(x)＞0(或＜0),可構造函數F(x)＝f(x)±g(x).

2)若f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0(或＜0),可構造函數F(x)＝f(x)g(x).

3)若f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0(或＜0),可構造函數F(x)＝

2 根據研究對象的結構特征構造函數

根據所給條件的結構特征,對條件進行認真分析,找出關系式中的隱含關系,進而構造函數,通過研究所構造函數的單調性,使問題得以解決.

例3設函數f(x)在R 上的導函數為f′(x),且2f(x)＋xf′(x)＞x2,下列不等式在R 上恒成立的是( ).

A.f(x)＞0 B.f(x)＜0

C.f(x)＞xD.f(x)＜x

構造函數F(x)＝x2f(x),則

當x＝0時,由2f(x)＋xf′(x)＞x2,可得f(x)＞0.當x＞0時,F′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]＞0,所以F(x)在(0,＋∞)上單調遞增,所以F(x)＞F(0)＝0,即x2f(x)＞0,故f(x)＞0.當x＜0 時,F′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]＜0,所以F(x)在(－∞,0)上單調遞減,F(x)＞F(0)＝0,即x2f(x)＞0,故f(x)＞0.

綜上,當x∈R時,f(x)＞0恒成立,故選A.

例5已知f(x)是定義在(－∞,0)∪(0,＋∞)上的奇函數,f′(x)是f(x)的導函數,f(1)≠0,且滿足f′(x)lnx＋＜0,則不等式(x－1)f(x)＜0的解集為( ).

A.(1,＋∞) B.(0,1)

C.(－∞,1) D.(－∞,0)∪(1,＋∞)

由于f′(x)lnx＋＜0,所以設g(x)＝f(x)lnx,g′(x)＝f′(x)lnx＋＜0,而g(1)＝0,所以在(0,1)上,lnx＜0,g(x)＞0,所以f(x)＜0;在(1,＋∞)上,lnx＞0,g(x)＜0,所以f(x)＜0.故在(0,＋∞)上,f(x)＜0.又f(x)是奇函數,所以在(－∞,0)上,f(x)＞0,所以不等式(x－1)f(x)＜0可轉化為解得x＞1 或x＜0,即不等式的解集是{x|x＜0或x＞1}.故選D.

根據題目結構特征構造函數,一般有以下幾類:

1)若xf′(x)＋nf(x)＞0(或＜0),則構造函數F(x)＝xnf(x).

2)若f(x)＋f′(x)＞0(或＜0),則構造函數F(x)＝exf(x).

3)若f′(x)－f(x)＞0(或＜0),則構造函數F(x)＝

4)若f′(x)＋kf(x)＞0(或＜0),則構造函數F(x)＝ekxf(x).

5)若f′(x)－kf(x)＞0(或＜0),則構造函數F(x)＝

3 根據所給條件的導數關系,構造函數

根據所給條件,適當變形,構造函數.

例6函數f(x)的定義域為R,f(－1)＝2,對任意x∈R,都有f′(x)＞2,則f(x)＞2x＋4的解集為( ).

A.(－1,1) B.(－1,＋∞)

C.(－∞,－1) D.(－∞,＋∞)

構造F(x)＝f(x)－2x－4,則F′(x)＝f′(x)－2＞0,所以F(x)是R 上的增函數.又因為F′(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0,f(x)＞2x＋4,即F(x)＞0＝F(－1),所以x＞－1,故選B.

例7設f(x)為R 上的可導函數,對任意實數x有f(x)＝2022x2－f(－x)且x∈(0,＋∞)時,f′(x)－2 022x＞0.求關于實數m的不等式f(m＋1)－f(－m)≥2022m＋1011的解集.

由f(x)＝2022x2－f(－x)可變形為

f(x)－1011x2＋f(－x)－1011(－x)2＝0,

所以可構造函數g(x)＝f(x)－1011x2,則g′(x)＝f′(x)－2022x.由g(x)＋g(－x)＝0,得g(x)是奇函數.

因為x∈(0,＋∞)時,f′(x)－2022x＞0,所以g(x)在(0,＋∞)上單調遞增,又因為g(x)是奇函數,所以g(x)在R上單調遞增.

因為f(m＋1)－f(－m)≥2022m＋1011,f(x)＝g(x)＋1011x2,所以g(m＋1)＋1011(m＋1)2－[g(－m)＋1011m2]≥2022m＋1011,化簡得g(m＋1)≥g(－m),所以m＋1≥－m,即m≥－

例8定義在(0,＋∞)上的函數f(x)滿足f(x)＋xf′(x)＝f(1)＝1,求f(x)的零點.

總之,構造函數的關鍵是緊扣條件,結合函數的結構特征,創(chuàng)設條件,準確構造函數,并判斷函數的單調性.所以構造函數時,需要用心觀察,認真分析,必要時要進行一定的變形轉化,把隱含的關系顯現(xiàn)出來,然后利用導數解決函數問題.

(完)