時(shí)標(biāo)上帶有反饋控制的兩種群競爭系統(tǒng)的概周期解

魯紅英

(東北財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與人工智能學(xué)院,遼寧大連 116025)

§1 引言

競爭系統(tǒng)在種群生態(tài)學(xué)中起著十分重要的作用,它描述了自然界中生物種群的內(nèi)部聯(lián)系,歷來受到學(xué)術(shù)界的關(guān)注(如文[1-5]及其參考文獻(xiàn)).因此,許多學(xué)者對自治或非自治競爭系統(tǒng)的動力學(xué)行為進(jìn)行了深入的研究(如文[6-10]及其參考文獻(xiàn)).1992年,Gopalsamy提出了自治兩種群競爭系統(tǒng)[11]

其中xi(i=1,2)是競爭種群Xi的種群密度.ri(i=1,2) 是種群Xi的內(nèi)秉增長率,ai,ci(i=1,2)分別是種群Xi內(nèi)部競爭和種群Xi間競爭的強(qiáng)度.覃文杰,劉志軍等[12]提出了系統(tǒng)(1)的離散模型,得到了存在唯一全局漸近穩(wěn)定正周期解的條件.在種群動力學(xué)中,控制變量已被廣泛應(yīng)用于描述影響生物種群的生存率,死亡率等特征的干擾因素,故種群生態(tài)系統(tǒng)中引入反饋控制變量是有非常深刻的實(shí)際意義的.因此,近些年許多學(xué)者分別對具有反饋控制的連續(xù)競爭系統(tǒng)和離散競爭系統(tǒng)的漸近行為進(jìn)行了深入廣泛的研究(如文[13-16]及其參考文獻(xiàn)).于剛等[17]在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上，提出了具有反饋控制的非自治離散兩種群競爭模型,研究了該系統(tǒng)概周期解的存在性和穩(wěn)定性問題,得到存在唯一的一致漸近穩(wěn)定正概周期解的充分條件.

在1988年,德國數(shù)學(xué)家Stefan Hilger建立了時(shí)標(biāo)理論,該理論在連續(xù)分析和離散分析之間架起了橋梁.此外,如果不能單一用差分方程和微分方程準(zhǔn)確描述一些受到環(huán)境影響的生物種群時(shí),那么在時(shí)標(biāo)上描述該生物種群生長規(guī)律,即通過選取合適的時(shí)標(biāo),就可以建立更加有效的種群動力學(xué)系統(tǒng).如:昆蟲繁殖,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),熱傳導(dǎo)和傳染病等模型.因此,時(shí)標(biāo)理論不僅整合和統(tǒng)一了差分方程和微分方程理論,而且還拓展了種群動力學(xué)的研究范疇.時(shí)標(biāo)上的種群動力系統(tǒng)研究已成為一個新熱點(diǎn),相繼有許多學(xué)者對時(shí)標(biāo)動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,振動性,周期性和邊值問題等漸近行為進(jìn)行了研究,得到了很好的研究成果(如[18-28]).目前,關(guān)于具有反饋控制兩種群競爭系統(tǒng)的概周期解研究大多集中于連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)概周期解的存在性問題.對于在時(shí)標(biāo)上討論兩種群競爭系統(tǒng)概周期解結(jié)論還很少.基于以上考慮,本文將研究時(shí)標(biāo)T上帶有反饋控制的兩種群競爭系統(tǒng)

其中t ∈T,T為概周期時(shí)標(biāo),ui(t)是關(guān)于種群Xi的控制變量,ri(t),ai(t),bi(t),ci(t),αi(t),βi(t) 都是時(shí)標(biāo)T上的非負(fù)有界概周期函數(shù).

對定義在T上的任意非負(fù)有界概周期函數(shù){f(t)}引進(jìn)記號

系統(tǒng)(2)滿足如下基本假設(shè).

(H1)ri(t),ai(t),bi(t),ci(t),αi(t),βi(t)(i=1,2)都是時(shí)標(biāo)T上的非負(fù)有界概周期函數(shù),即對任意i=1,2有

其中R+是T到R的正回歸函數(shù)集合.

考慮從生物學(xué)意義出發(fā),本文主要討論系統(tǒng)(2)的正解,因此假設(shè)系統(tǒng)(2)的初始條件為

本文主要目的是研究系統(tǒng)(2)的概周期解,運(yùn)用文獻(xiàn)[18-20]的分析技術(shù)和基于系統(tǒng)(1)持久性結(jié)果,運(yùn)用概周期函數(shù)性質(zhì)和構(gòu)建合適的lyapunov函數(shù),得到存在唯一一致漸近穩(wěn)定正概周期解的一組充分條件,并且可以將所得到的結(jié)論應(yīng)用到相應(yīng)的連續(xù)與離散競爭系統(tǒng)中,這樣就把連續(xù)與離散分析整合與統(tǒng)一了起來.

§2 預(yù)備知識

文中的一些基本概念和引理引自文獻(xiàn)[18-21].

定義2.1若時(shí)標(biāo)T滿足

稱T為概周期時(shí)標(biāo).

定義2.2T是概周期時(shí)標(biāo),函數(shù)f:T→Rn稱為概周期函數(shù),如果ε>0,集合

關(guān)于T對ε >0是相對稠密集,即對任意ε >0存在一個整數(shù)l(ε)>0使得每個長為l(ε)的區(qū)間總包含一個τ=τ(ε)∈E(ε,f),使得|f(t+τ)?f(t)| <ε,?t ∈T.則集合E(ε,f)稱為f(t)的ε?不變集,稱l(ε)為f(t)的ε?不變數(shù).

定義2.3若對于系統(tǒng)(2)的每一個解(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))T,存在正常數(shù)使得

成立,則稱系統(tǒng)(2)是持久的.

引理2.1若p,q:T→R是兩個回歸函數(shù),則

引理2.2若f,g:T→R在t ∈Tk處△可導(dǎo),則

(1) 對任意常數(shù)a,b有,(af+bg)△=af△+bg△;

(2) (fg)△(t)=f△(t)g(t)+f(σ(t))g△(t)=f(t)g△(t)+f△(t)g(σ(t));

(3) 若f△≥0,則f是增函數(shù).

引理2.3若f,g ∈C(T,R)的概周期函數(shù),則

(1)f+g,fg也是概周期函數(shù);

(2)f,g在T上是有界的.

引理2.4函數(shù)f(t)是概周期函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對任意序列存在子列{hn}?使得函數(shù)f(t+hn)關(guān)于t ∈T一致收斂,n →∞.

引理2.5令?a ∈R+.

(1)如果x△(t)≤b ?ax(t),那么

(2)如果x△(t)≥b ?ax(t),那么

§3 持久性

下面將給出系統(tǒng)(2)持久性的一組條件.

引理3.1假設(shè)(H1)成立,則系統(tǒng)(2)的解(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))T滿足

證若(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))T為系統(tǒng)(2)的任一個解.對?x ∈ R,應(yīng)用Bernoulli不等式ex ≥1+x及系統(tǒng)(2)的第一個方程和第二個方程得

由引理2.5易知

由(4)式,對于?ε>0,存在T1∈T,當(dāng)t ≥T1,有

類似地,討論系統(tǒng)(2)的第三個方程和第四個方程有

故由引理2.5得

令上式中ε →0可得

引理3.2假設(shè)(H1)和(H2)成立,則系統(tǒng)(2)的解(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))T滿足

證若(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))T為系統(tǒng)(2)的任一個解.由引理3.1知,存在一個T2∈T,當(dāng)t ≥T2>T1,有

基于系統(tǒng)(2)的第一個方程和第二個方程

斷定對t ≥T2,i,j=1,2,i/=j,有

因此

令(9)中ε →0,則

由(10)式,對于?ε>0,存在T3∈T,當(dāng)t ≥T3,有

由系統(tǒng)(2)的第三個方程和第四個方程有

于是由引理2.5得

令ε →0,由(11)可得

證畢.

由引理3.1和引理3.2,得到系統(tǒng)(2)持久性結(jié)果.

定理3.1假設(shè)(H1)和(H2)成立,則系統(tǒng)(2)是持久的.

§4 正概周期解存在唯一性

考慮時(shí)標(biāo)上非線性概周期系統(tǒng)

這里f:T×SB →R,SB={x ∈R:‖ x ‖0

引理4.1[17]函數(shù)V(t,x,y)定義在T+×SB ×SB上,滿足如下條件(i)-(iii).

(i)a(||x ?y||0)≤V(t,x,y)≤b(||x ?y||0),其中a,b ∈?={a ∈C(R+,R+):a(0)=0,a是遞增函數(shù)};

(ii)||V(t,x1,y1)?V(t,x2,y2)||≤K{||x1?x2||+||y1?y2||},K >0是一個常數(shù);

(iii)△V(13)(t,x,y)≤?cV(t,x,y),這里c>0,?c ∈R+.

此外,當(dāng)t ∈T+時(shí),若系統(tǒng)(13)有一個解x(t)∈S,其中S ?SB是一個緊集,則系統(tǒng)(13)存在唯一的一致漸近穩(wěn)定概周期解p(t),且p(t)∈S.而且若f(t,x)是ω周期的,則系統(tǒng)(13)有唯一的一致漸近穩(wěn)定的ω周期解.

設(shè)集合?為系統(tǒng)(2)的所有解(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))T構(gòu)成的集合,對于t ∈T滿足xi?≤xi(t)≤,ui?≤ui(t)≤由定理3.1易知集合?為系統(tǒng)(2)的不變集.

引理4.2若系統(tǒng)(2)滿足條件(H1)和(H2),則?/=?,即系統(tǒng)(2)至少有一個有界的概周期解.

證由條件(H1)可知ri(t),ai(t),bi(t),ci(t),αi(t),βi(t)(i=1,2),都是時(shí)標(biāo)T上的概周期函數(shù),則存在一個序列τn ?T當(dāng)n →+∞,τn →+∞有

由定理3.1可知,存在一個t1∈T使得當(dāng)t ≥t1時(shí)有

當(dāng)t ≥t1?τn,n=1,2,···,i=1,2,記xin(t)=xi(t+τn)和uin(t)=ui(t+τn).對任意的正整數(shù)m,取{xin(t) :n ≥m}和{uin(k) :n ≥m}的子列,使得它們在時(shí)標(biāo)T上的任意有限區(qū)間上分別收斂.不失一般性,仍記其收斂子列為{xin(t)}和{uin(t)}.因此,存在序列{yi(t)}和{vi(t)},i=1,2,當(dāng)n →+∞,t ∈T時(shí),xin(t)→yi(t),uin(t)→vi(t).顯然Y(t)=(y1(t),y2(t),v1(t),v2(t))T是系統(tǒng)(2)的一個解,且滿足

因?yàn)棣攀侨我庑〉恼龜?shù),令ε →0,有

即Y(t)∈?.

定理4.1若概周期系統(tǒng)(2)滿足(H1),(H2)和(H3) 0<λ=min{Pij,Qij}<1,i,j=1,2,i/=j,其中

則系統(tǒng)(2)存在唯一的正概周期解,且是一致漸近穩(wěn)定的.

證由引理4.1可知,系統(tǒng)(2)存在有界解X(t)=(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))T且滿足

假設(shè)X(t)=(x1(t),x2(t),u1(t),u2(t))T,Y(t)=(y1(t),y2(t),v1(t),v2(t))T是系統(tǒng)(2)定義在T+×? ×?上的任意兩個解,則‖X ‖≤L,‖Y ‖≤L,其中L=

考慮系統(tǒng)(2)的乘積系統(tǒng)

定義Lyapunov函數(shù)

則V(t)滿足引理4.1的條件(i).由Lyapunov函數(shù)定義得

其中K=4 max{Mi,Ni},i=1,2.因此,V(t)滿足引理4.1的條件(ii).

下面計(jì)算V(t)關(guān)于系統(tǒng)(16)的右上導(dǎo)數(shù)D+V △

由系統(tǒng)(16)得

由微分中值定理可得

故

類似地可以得到

因此由(18),(22)和(23)得

可知V(t)滿足引理4.1條件(iii),從而系統(tǒng)(2)在?中有唯一的一致漸近穩(wěn)定的正概周期解.

注4.1令yi(t)=exp{xi(t)},i=1,2,當(dāng)T=R時(shí),系統(tǒng)(2)即為連續(xù)的帶有反饋控制的兩種群競爭系統(tǒng)

當(dāng)T=Z(整數(shù)集)時(shí),系統(tǒng)(2)即為離散的帶有反饋控制的兩種群競爭系統(tǒng)

其中△vi(n)=vi(n+1)?vi(n),i=1,2,是一階前差微分算子.顯然,系統(tǒng)(25)和系統(tǒng)(26)是系統(tǒng)(2)的特例.當(dāng)系統(tǒng)(26) 中的αi(k)=βi(k)=0,i=1,2 時(shí),就是文獻(xiàn)[12,17]中所研究模型,所以本文研究得到了一些新結(jié)果,推廣和補(bǔ)充了已有的相關(guān)文獻(xiàn)研究結(jié)果.

由定理4.1可得下面的推論.

推論4.1若ri(t),ai(t),bi(t),ci(t),αi(t),βi(t)(i=1,2)是時(shí)標(biāo)T上有界非負(fù)的周期為ω的周期函數(shù),且滿足(H2)和(H3),則系統(tǒng)(2)存在唯一的周期為ω正周期解,且此周期解是一致漸近穩(wěn)定的.

推論4.2若(H1)-(H3)成立，則系統(tǒng)(25),(26)有唯一的正的概周期解,且此概周期解是一致漸近穩(wěn)定的.

推論4.3若ri(t),ai(t),bi(t),ci(t),αi(t),βi(t)(i=1,2)是時(shí)標(biāo)T上有界非負(fù)的周期為ω的周期函數(shù),且滿足(H2)和(H3),則系統(tǒng)(25),(26)存在唯一的周期為ω正周期解,且此周期解是一致漸近穩(wěn)定的.