一類彈性梁的能量衰減估計

章春國,徐 苗

(杭州電子科技大學 數(shù)學系,浙江杭州 310018)

§1 引言

隨著空間科學及機器人學的日益發(fā)展,彈性梁等系統(tǒng)得到了廣泛應用.本文旨在研究具有非線性阻尼的彈性梁振動過程中的能量變化規(guī)律,更確切地,研究非線性系統(tǒng)初邊值問題

的能量衰減估計,這里長度為l的彈性梁在w ?x平面上運動,w(x,t)表示離開平衡位置的位移,ρ,S,K是嚴格正的物理常數(shù).有關該問題的技術細節(jié)請參閱文獻[1-5].

假定b(x)∈C1[0,l],b(x)≥0,和

其中α(0<α

本文的研究動機源于文獻Martinez[6]和Aassila[7]的工作,本文的主要工作是在反饋函數(shù)g的合理假設下,建立系統(tǒng)(1)的能量衰減估計.主要方法是基于非線性算子半群理論,能量攝動理論和乘子技巧(參閱文獻[8-11])獲得系統(tǒng)(1)的能量衰減估計.

以下§2陳述本文的主要結果;§3證明系統(tǒng)(1)的適定性;§4給出主要結果的證明.

§2 預備知識與主要結果

本節(jié)首先介紹一些記號與假設,然后陳述本文的主要結果.

由于物理常數(shù)ρ,S,K是嚴格正的,為了方便起見,在本文中,假定ρ=S=K=1.

定義系統(tǒng)(1)的能量為

通過分部積分,經(jīng)計算得

和

由(4)和(5)得

對?x ∈R有xg(x)≥0,那么能量函數(shù)E(t)是單調不增,局部絕對連續(xù)的,且

并設V={u ∈H3(0,l)|u(0)=u(l)=0}具有范數(shù)

和內積

其中Hk(0,l)是k階Sobolev空間(參見[12]).

定義H=V ×W具有范數(shù)

和內積

那么H是Hilbert空間.

為了將系統(tǒng)(1)納入H上非線性發(fā)展方程的框架,定義非線性算子A

和

那么系統(tǒng)(1)可以改寫為H上的非線性發(fā)展方程

其中Y=(w,z),Y0=(w0,z0).

為了得到系統(tǒng)(1)適定性和能量衰減估計,進一步假設:存在常數(shù)p ≥1以及四個正常數(shù)ci,i=1,2,3,4,使得當|x|≤1時,

當|x|>1時,

這樣的g(x)是存在的,比如,g(x)=x|x|p?1.

接下來,敘述本文的主要結果.

定理2.1(適定性)如果假設(2)和(9)-(10)成立,那么算子A生成H上強連續(xù)非線性壓縮半群T(t).進一步,對?Y0∈D(A),系統(tǒng)(1)存在唯一的強解Y(t)=T(t)Y0.

定理2.2如果假設(2)和(9)-(10)成立,那么系統(tǒng)(1)的能量具有如下衰減估計.

當p=1時,

當p>1時,

其中ω,C是兩個正常數(shù).

§3 適定性

本節(jié)證明A生成H上的非線性壓縮C0?半群T(t),進而得到系統(tǒng)(1)的適定性.

定理2.1的證明由于g是單調不減的C1類函數(shù),且g(0)=0.那么A是H上稠定算子.進一步,對于?(w,z)∈D(A),經(jīng)分部積分得

這就意味著A在H中是耗散的.容易驗證KerA={0}.對?(f1,f2)∈H,解方程

從而

用w乘(13)的第二式,并在0到l積分,由分部積分及邊界條件得

應用Cauchy不等式,上式結合(2)和(9)-(10)得到

這里c是某個正常數(shù).

進而由嵌入關系H3[0,l][0,l]與Poincare不等式,有

由(13)和(16)知,存在正常數(shù)M使得

上式意味著λ=0∈ρ(A)(A的預解集),A?1是有界算子,于是A是閉的.因此得到:對于足夠小的λ>0有R(λ ?A)=H.所以算子A是H上的極大耗散算子.

根據(jù)非線性算子半群理論[13]的第四章定理1.4,得到A生成H上的非線性壓縮C0?半群T(t).進一步,由[13]可知,對于?Y0∈D(A),系統(tǒng)(1)存在唯一的解Y(t)=T(t)Y0.

§4 定理2.2的證明

本節(jié)研究系統(tǒng)(1)的能量衰減估計.

為了證明定理2.2,需要下面的引理.

引理4.1(見[8,定理9.1]) 設E:R+?→R+是一單調不增函數(shù),且存在兩個正常數(shù)p ≥1和A>0使得

那么,當p=1時,

當p>1時,

定理2.2的證明對(w,wt)∈D(A),用xwtEμ(t)乘以(1)的第一式并在(0,l)×(S,T)上積分(這里μ是一個正實數(shù)),于是

(18)意味著

注意到(w,wt)∈D(A),由積分中值定理,能量函數(shù)E(t)的定義和(7)得

接下來,用ηwEμ(t)乘以(1)的第一式并在(0,l)×(S,T)積分,其中η是[0,l)上單調不減函數(shù),η ∈C3[0,l],0≤η ≤1,且

正常數(shù)ε>0充分小.從而

又注意到(w,wt)∈D(A),η ∈C3[0,l],以及η在[0,l)上單調不減,應用積分中值定理得

由E(t)的單調性,Sobolev嵌入H6(0,l)2(0,l),E(t)的定義,以及Cauchy-Schwarz不等式和Poincare不等式,有(這里及后面C在不同地方表示不同的正常數(shù))

上式結合(20)得到

應用這些估計從(22),(23)和(24)得到

其中常數(shù)C1>0.

注意到(6)和(9),得到如下的不等式.

將上式代入(25)得

另一方面,由(6)和(10)得

因此得到

由(26)-(27)得

令T →+∞取極限得

由引理4.1知,定理2.2成立.