“數(shù)學(xué)三個(gè)世界”視域下的橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

徐 方

一、問(wèn)題提出

英國(guó)數(shù)學(xué)家戴維·韜爾將數(shù)學(xué)分為三個(gè)發(fā)展階段：實(shí)用數(shù)學(xué)階段、理論數(shù)學(xué)階段、形式數(shù)學(xué)階段。把人的認(rèn)知看成一個(gè)積累過(guò)程，從具體到一般的逐步抽象，隨著抽象程度的加深，逐漸地由語(yǔ)言抽象出符號(hào)，通過(guò)運(yùn)用符號(hào)實(shí)現(xiàn)從操縱數(shù)學(xué)過(guò)程到數(shù)學(xué)思考的有效轉(zhuǎn)換，建立了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中三個(gè)層次的認(rèn)知方式理論：感知與操作的具體化世界；符號(hào)的過(guò)程概念化世界；公理和證明形式化世界。

感知與操作是低階思維活動(dòng)，具體表現(xiàn)為簡(jiǎn)單的接受與模仿，符號(hào)的過(guò)程概念化、公理和證明形式化則是發(fā)生在較高認(rèn)知層次上的心智活動(dòng)。如何在課堂教學(xué)活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知能力，首先要根據(jù)三個(gè)層次認(rèn)知方式特征對(duì)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行分類設(shè)計(jì)，其次要把信息技術(shù)作為認(rèn)知工具去創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生去感知并操作確認(rèn)，最后再通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)行自主探究、反思交流，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行高層次的認(rèn)知活動(dòng)，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的高價(jià)思維能力。下面以蘇教版選擇性必修（一）“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”（第一課時(shí)）為例，基于“數(shù)學(xué)三個(gè)世界”理論進(jìn)行概念課教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐與思考。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教材分析

學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，能夠根據(jù)方程清晰熟練地描述直線與圓的幾何特征，經(jīng)歷了用代數(shù)方法建立直線和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程，初步掌握推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟，已經(jīng)了解平面解析幾何主要研究?jī)蓚€(gè)問(wèn)題：一是根據(jù)已知條件求曲線的方程；二是根據(jù)曲線方程研究曲線的性質(zhì)。

與直線、圓一樣，本節(jié)課仍然按照“建系—設(shè)點(diǎn)—列等式—代坐標(biāo)—化簡(jiǎn)方程”的步驟推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，為了便于研究橢圓的幾何性質(zhì)，同樣需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來(lái)使方程的形式更簡(jiǎn)單。方程形式能否簡(jiǎn)單要有一定的預(yù)判能力，充分利用好曲線的對(duì)稱性，盡可能讓曲線的中心、頂點(diǎn)的坐標(biāo)簡(jiǎn)單；化簡(jiǎn)含有兩個(gè)根式的橢圓方程時(shí)，因?yàn)閷W(xué)生以前沒(méi)有遇到過(guò)類似問(wèn)題，缺乏對(duì)復(fù)雜根式的化簡(jiǎn)經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)時(shí)應(yīng)詳細(xì)給出化簡(jiǎn)過(guò)程，并從數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美、和諧美的角度對(duì)每一步的變形給予合理的解釋，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生反思，自主探究出橢圓其它兩種形式的定義，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成自覺(jué)根據(jù)曲線方程研究曲線性質(zhì)的習(xí)慣，也為后面學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課有承前啟后的作用。

（二）教學(xué)目標(biāo)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)于平面解析幾何的教學(xué)要求及本節(jié)課的目標(biāo)闡述：在平面解析幾何的教學(xué)中，首先，通過(guò)實(shí)例了解幾何圖形的背景；其次，結(jié)合情境清晰地描述圖形的幾何特征與問(wèn)題；再次結(jié)合具體問(wèn)題合理地建立坐標(biāo)系，用代數(shù)語(yǔ)言描述這些特征與問(wèn)題；最后，借助幾何圖形的特點(diǎn)，形成解決問(wèn)題的思路，通過(guò)直觀想象和代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，并給出幾何解釋，解決問(wèn)題。了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；通過(guò)圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想[1]。

通過(guò)認(rèn)真研讀教材領(lǐng)會(huì)編寫(xiě)者的意圖，準(zhǔn)確把握教材的整體性，弄清楚這一課時(shí)在本單元的地位和作用，依據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)三個(gè)層次認(rèn)知方式的特點(diǎn)，合理地對(duì)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行分類設(shè)計(jì)，制訂本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：

①觀察3D動(dòng)畫(huà)演示，思考截面曲線上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，能在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行推理，感知截面曲線的幾何特征（直觀感知、符號(hào)過(guò)程概念化）；

②動(dòng)手畫(huà)出橢圓，認(rèn)同橢圓的幾何特征，體驗(yàn)橢圓的幾何性質(zhì)（操作具體化）；

③自主化簡(jiǎn)方程，體會(huì)含有兩個(gè)根式的方程的化簡(jiǎn)思路（證明形式化）；

④設(shè)置課后反思，讓學(xué)生能夠通過(guò)合作探究得出橢圓的其它形式定義（符號(hào)過(guò)程概念化）。

（三）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

“數(shù)學(xué)三個(gè)世界”是按照學(xué)生認(rèn)知能力由低階到高階的發(fā)展順序建立起來(lái)的理論，教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)既要關(guān)注學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，順利實(shí)現(xiàn)三個(gè)認(rèn)知過(guò)程間的自然過(guò)渡。

感知與操作的具體化教學(xué)設(shè)計(jì)要先借助信息技術(shù)演示創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)具體模型的直觀感知與操作確認(rèn)，親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過(guò)程，建立對(duì)概念或公式的最初印象；其次要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從直觀到抽象、具體到一般的順序安排教學(xué)內(nèi)容，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，讓學(xué)生在問(wèn)題解決中逐步提升認(rèn)知能力，感知引入符號(hào)或方程的必要性。

符號(hào)的過(guò)程概念化教學(xué)設(shè)計(jì)要注重引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)符號(hào)操作進(jìn)行自主探究，能夠通過(guò)對(duì)抽象的符號(hào)過(guò)程進(jìn)行直觀表達(dá)，完成由過(guò)程到過(guò)程性概念的轉(zhuǎn)換。如何使學(xué)生熟練掌握過(guò)程性概念中的過(guò)程和概念，并能靈活地運(yùn)用是這一階段教學(xué)的關(guān)鍵。

公理和證明形式化的教學(xué)設(shè)計(jì)要重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生的高階思維能力，即發(fā)生在較高認(rèn)知層次上的心智活動(dòng)，落實(shí)教學(xué)目標(biāo)分類中培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造能力。設(shè)計(jì)問(wèn)題要有深度，讓學(xué)生“跳起來(lái)”“夠得著”；設(shè)計(jì)問(wèn)題要有關(guān)聯(lián)，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)。教學(xué)中要處理好預(yù)設(shè)與生成之間的矛盾。

本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程是以橢圓定義的構(gòu)建和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)為核心，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知能力發(fā)展規(guī)律，從創(chuàng)設(shè)情境、自主探究、方程推導(dǎo)、引導(dǎo)反思、知識(shí)運(yùn)用等五個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)問(wèn)題，在問(wèn)題解決的過(guò)程中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境——感知操作具體化世界

課堂教學(xué)中教師要在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，善于創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)、生動(dòng)的問(wèn)題情境讓學(xué)生去體驗(yàn)并理解數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和問(wèn)題解決的途徑，讓他們經(jīng)歷概念的發(fā)生、發(fā)展和形成的過(guò)程，弄清楚知識(shí)的來(lái)龍去脈。

問(wèn)題1：如圖1所示，把直立的圓柱形玻璃水杯傾斜，讓學(xué)生觀察水面的邊界的變化。

問(wèn)題2：如圖2所示，3D動(dòng)畫(huà)演示，用一個(gè)平面截一個(gè)圓錐面， 讓學(xué)生觀察截得的圖形是什么曲線？

圖1

圖2

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)實(shí)物觀察，觀看3D動(dòng)畫(huà)演示，會(huì)對(duì)曲線的外形輪廓建立直觀感知，根據(jù)已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生自然會(huì)發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題：外形輪廓曲線具有怎樣的幾何特征?能否通過(guò)操作3D動(dòng)畫(huà)發(fā)現(xiàn)它的幾何特征？激起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望，期待著教師的點(diǎn)撥。

環(huán)節(jié)二：自主探究——符號(hào)過(guò)程概念化世界

接著用3D畫(huà)圖，在截面的兩側(cè)分別放置兩個(gè)球（Dandelin雙球），使它們都與截面相切（切點(diǎn)分別為F1、F2），且與圓錐面相切，兩球與圓錐面的公共點(diǎn)分別構(gòu)成圓O1和圓O2，設(shè)點(diǎn)M是平面與圓錐面的截線上任意一點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)M任作圓錐面的一條母線分別交圓O1和圓O2于P，Q兩點(diǎn)，則MQ和MF2、MP和MF1分別是上下兩球的切線[2]。

問(wèn)題3：圖中線段MP和MF1、MQ和MF2分別具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？MF1+MF2是定值嗎？讓學(xué)生直接抽象出橢圓的定義。

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生的期待中，教師通過(guò)3D動(dòng)態(tài)展現(xiàn)雙球，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提供豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，為數(shù)學(xué)基本思想的感悟和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累創(chuàng)造條件[3]，幫助學(xué)生利用幾何直觀進(jìn)行思維，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、探究過(guò)程后，發(fā)現(xiàn)“截線上任意一點(diǎn)M到兩切點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值”這一幾何特征。

問(wèn)題4：選一根長(zhǎng)度大于F1F2的細(xì)繩，將其兩端分別固定在F1和F2點(diǎn)，用鉛筆尖把細(xì)繩勾緊，使筆尖在紙板上慢慢移動(dòng)，觀察筆尖運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么，學(xué)生拿出提前準(zhǔn)備好的工具，同桌相互合作在白紙上畫(huà)。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)自己動(dòng)手畫(huà)橢圓，親身經(jīng)歷了動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，積累感性經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生獲得了感知、認(rèn)同；通過(guò)動(dòng)手操作，讓學(xué)生感受到橢圓的對(duì)稱性、曲線的封閉性等性質(zhì)，為建系、方程推導(dǎo)做認(rèn)知上的準(zhǔn)備。

圖3

環(huán)節(jié)三：方程推導(dǎo)——概念定義形式化世界

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程遠(yuǎn)比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)要復(fù)雜得多，需要較高認(rèn)知層次上的心智活動(dòng)才能完成。通過(guò)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，恰當(dāng)?shù)匾敕?hào)變量或方程，引領(lǐng)學(xué)生合理地向概念符號(hào)過(guò)程化過(guò)渡。

問(wèn)題5：讓學(xué)生回顧前面操作畫(huà)圖的過(guò)程和回憶圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，并作出大膽猜想：橢圓具有對(duì)稱性嗎?對(duì)稱軸在哪?對(duì)稱中心在哪?要使推導(dǎo)出來(lái)的橢圓方程形式比較簡(jiǎn)單，應(yīng)如何建系?（以直線F1F2為x軸，以線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系）。

圖4

設(shè)焦距為2c（c>0），則F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），M（x，y）為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)F1、F2的距離之和為2a（2a>|F1F2|）。

將上式兩邊平方整理同方法一。

【設(shè)計(jì)意圖】課堂上學(xué)生會(huì)提出多種推導(dǎo)方法，恰當(dāng)?shù)靥幚砗妙A(yù)設(shè)與生成的關(guān)系，要預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生完整表達(dá)自己的想法，充分展示學(xué)生的思維過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)比選擇最佳方法，發(fā)展學(xué)生的系統(tǒng)思維能力。

圖5

請(qǐng)學(xué)生思考2：（1）你能在圖中找出表示的對(duì)應(yīng)線段嗎？

（2）如果焦點(diǎn)在y軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么形式？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生弄清楚方程中字母的幾何意義，加深對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程的理解；運(yùn)用類比的方法，根據(jù)形狀相同，位置不同，通過(guò)化歸直接得出焦點(diǎn)在y軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，避免再重復(fù)運(yùn)算。

環(huán)節(jié)四：引導(dǎo)反思——符號(hào)過(guò)程概念化世界

反思一：方法一和方法二經(jīng)歷了兩次平方，方法三經(jīng)歷了一次平方，能否保證平方前后方程的等價(jià)性？

【設(shè)計(jì)意圖】反思是提升學(xué)生認(rèn)知層次的一個(gè)重要手段，方程推導(dǎo)后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，促使學(xué)生深入分析方程不同結(jié)構(gòu)形式背后的幾何解釋，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。這樣還可以誘發(fā)學(xué)生新的思考，展開(kāi)新的探究，讓學(xué)生的思維得到拓展、延伸，從而發(fā)展學(xué)生的高階思維能力。

環(huán)節(jié)五：知識(shí)運(yùn)用——概念定義形式化世界

例題：（1）求到點(diǎn)F（1-2，0）、F（22，0）的距離之和為6的點(diǎn)M的軌跡方程。

（2）求到點(diǎn)F（10，-2）、F（20，2）的距離之和為6的點(diǎn)M的軌跡方程。

（3）求兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F（1-2，0）、F（22，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，讓學(xué)生熟悉求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟和方法。

三、實(shí)踐反思

數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)要將教學(xué)內(nèi)容與具體情境結(jié)合起來(lái)，借助精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，注重學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的動(dòng)機(jī)生成、情感激發(fā)、問(wèn)題解決、知識(shí)建構(gòu)、方法遷移和思維提升[3]。本節(jié)課從問(wèn)題模型水杯傾斜中水面的變化開(kāi)始，借助動(dòng)畫(huà)演示，讓學(xué)生實(shí)踐操作畫(huà)出橢圓，最后引入方程的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)及方程的應(yīng)用，符合學(xué)生三個(gè)層次認(rèn)知能力的發(fā)展順序。

概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，概念的產(chǎn)生往往包含了數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，而在理解和應(yīng)用概念的過(guò)程中又必然用到邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算。因此，在概念課教學(xué)中教師應(yīng)重視過(guò)程、背景與聯(lián)系[5]，以情境引入、感知操作、自主探究、反思交流的方式讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念的生成過(guò)程，學(xué)生在每個(gè)認(rèn)知階段的認(rèn)知方式都不同，因此每個(gè)階段的教學(xué)設(shè)計(jì)還應(yīng)基于學(xué)生已有的認(rèn)知與學(xué)情。