關于Duhamel 積分的進一步討論1)

王懷磊

(南京航空航天大學振動工程研究所，南京 210016)

(南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

現(xiàn)有國內外振動力學教程在介紹求解線性系統(tǒng)任意激勵響應的Duhamel 積分時，大都是基于物理概念的分析，先求解單位脈沖響應函數(shù)，然后將任意激勵分解和理解成無窮多個微沖量(脈沖) 作用，再對求得的各脈沖響應進行積分求和[1-9]。具體說來，考慮如下單自由度受迫振動系統(tǒng)

則每一τ ∈[0, t] 時刻脈沖f(τ)dτ所激發(fā)的系統(tǒng)在t時刻的響應為

其中h(t-τ) 為系統(tǒng)的單位脈沖響應函數(shù)。根據(jù)線性疊加原理，系統(tǒng)在t時刻的響應x(t) 應為所有τ ∈[0, t] 時刻的脈沖響應之和，即

一般振動力學教程中對Duhamel 積分的介紹到此就結束了。然而，筆者在教學實踐過程中發(fā)現(xiàn)，此處尚有兩個較為深入的問題需要討論。

第一個問題：應如何理解脈沖激勵的作用過程？具體說來，是應按照串行累計方式還是按照并行疊加方式理解？所謂串行累計是指，將[0, t] 內的連續(xù)激勵分解為一系列沿時間線首尾相接的脈沖激勵的連續(xù)作用，則系統(tǒng)的響應應為各脈沖激勵持續(xù)作用、串行累計的結果，即后一個脈沖f(τ+Δτ)dτ在前一個脈沖f(τ)dτ產生的響應基礎之上繼續(xù)作用產生下一個響應，然后不斷累計直至得出t時刻的響應。所謂并行疊加，正如Duhamel 積分的導出過程所見，是指將所有脈沖激勵都獨立看待，它們分別作用在零初值系統(tǒng)上，然后將各自響應進行疊加而得到系統(tǒng)的整體響應。這兩種對脈沖激勵作用過程的理解和處理方式結果是否一致，其各自的理論依據(jù)是什么，現(xiàn)有振動力學教程沒有給出明確的說明。

第二個問題：Duhamel 積分是根據(jù)力學系統(tǒng)的物理意義構造出來的，但一般說由物理分析所得到的數(shù)學公式最初只能認為是一種猜想，必須要經過嚴格的數(shù)學驗證才能予以確認，尤其是這種將外激勵分解為無窮多個脈沖激勵的無窮分割問題，對其直接使用初等有限相加思想所得出的結論并不一定正確。如何進一步嚴格證明Duhamel 積分的確就是系統(tǒng)方程的解，現(xiàn)有振動力學教程一般也不做這方面的論證。

針對上述兩個問題，本文對Duhamel 積分作更為深入的分析和討論。

1 脈沖激勵作用的兩種理解方式

若以串行累計方式理解脈沖激勵的作用，則在此過程中，除了在計算第一個脈沖響應時系統(tǒng)具有零初值外，后續(xù)各個脈沖都是在前一脈沖激發(fā)的非零狀態(tài)之上發(fā)生作用，因此后續(xù)響應的計算必須將非零初值的影響納入進來。可以想象，這種累計計算過程應該相當復雜，但幸運的是，線性系統(tǒng)具有一個非常好的性質，即：線性系統(tǒng)脈沖激勵的非零初值響應為自由系統(tǒng)非零初值響應與脈沖激勵的零初值響應之和[10]。這就可以使得整個響應計算過程得到大大簡化。為此，以三個等間隔脈沖激勵為例進行討論，如圖1 所示。

圖1 脈沖響應串行累計示意圖

第一脈沖f(τ1)Δτ在t=τ1= 0 時激發(fā)出一個非零初值的自由振動x(t)=Δx1(t), t>τ1。該自由振動延續(xù)至t=τ2時，系統(tǒng)響應為x(t) = Δx1(τ2)，以此為初始狀態(tài)作用第二脈沖f(τ2)Δτ，所產生的響應可分為兩部分：一部分是初值為Δx1(τ2)的系統(tǒng)自由振動，實際上也就是第一脈沖在t=τ1=0 時刻激發(fā)的自由振動響應的延續(xù)，即Δx1(t)；另一部分則是由第二脈沖單獨產生的零初值響應增量Δx2(t)。因此，根據(jù)線性系統(tǒng)性質，作用第二脈沖后系統(tǒng)的響應為x(t) = Δx1(t) + Δx2(t), t>τ2。該自由振動延續(xù)至t=τ3時刻時系統(tǒng)的響應為x(τ3) =Δx1(τ3) + Δx2(τ3)，以此為初始狀態(tài)作用第三脈沖f(τ3)Δτ時，系統(tǒng)的后續(xù)響應類似地也為兩部分之和：一部分是初值為Δx1(τ3)+Δx2(τ3)的自由振動，實際上也就是前面兩次單獨的零初值脈沖響應之和的延續(xù)，即Δx1(t)+Δx2(t)；另一部分則是第三脈沖單獨產生的零初值響應增量Δx3(t)。因此，作用第三脈沖后系統(tǒng)的響應為

令Δτ →0，并記為dτ，則式(5) 的極限形式即為Duhamel 積分。由以上分析可以看出，雖然在物理上各脈沖作用有先后順序，但對于線性系統(tǒng)來說，其各自產生的響應增量實際上已經解耦，互不干擾，從而脈沖激勵串行作用的物理過程最終轉化成了各自響應增量的并行疊加計算過程。因此，以串行累計方式理解脈沖激勵的作用過程與Duhamel 積分所表示的并行疊加計算過程是一致的，或者說，Duhamel 積分的確正確反映了τ ∈[0, t] 內各脈沖激勵持續(xù)作用、串行累計的物理過程。

綜上所述，無論以串行累計方式還是并行疊加的方式來理解脈沖激勵作用過程，其最終計算結果都歸結為各脈沖零初值響應增量的并行疊加?；诖?，Duhamel 積分的計算過程可用一虛擬實驗描述為：將外激勵在 [0, t] 內分解成n個脈沖激勵f(τi)dτ，同時做出n個相同的零初值系統(tǒng)，建立統(tǒng)一的時間坐標系，將脈沖f(τi)dτ在τi時刻(τi的時間屬性目前僅體現(xiàn)于此) 分別作用于各自系統(tǒng)上，記錄下各系統(tǒng)在t時刻的響應，最后對各響應值進行代數(shù)疊加即可得到原系統(tǒng)在t時刻的響應。由此過程也可看出，Duhamel 積分表達的是各τ時刻的脈沖激勵在t時刻產生的響應的疊加，此時τ的時間先后屬性已經非常淡化，因此更宜將其理解為區(qū)間[0, t] 內的一個分布變量。

2 Duhamel 積分的數(shù)學驗證

僅從求解數(shù)學方程的角度來看，獲得線性振動系統(tǒng)任意激勵響應的Duhamel 積分公式并非難事，比如用拉普拉斯變換及其反變換即可得到該公式。20世紀90 年代國內一些學者也曾注意到此問題，并嘗試采用各種嚴格的數(shù)學方法，如復數(shù)變換降階法[11]，常數(shù)變易法[12]，積分因子降階法[13]等導出了Duhamel 積分。從這個意義上說，Duhamel 積分的理論體系是完備的。但筆者在振動理論的教學實踐中感覺到，上述諸方法在論證的直觀性方面尚有不足，因此本文用最基本的微積分運算給出一個直接的驗證，以加深對Duhamel 積分的理論認知。

3 結論

論文對Duhamel 積分所涉及的脈沖激勵作用過程進行了深入的分析，論證了無論以串行累計方式還是并行疊加方式來理解脈沖激勵，其計算結果都歸結為Duhamel 積分，揭示出Duhamel 積分的計算本質是脈沖響應的并行疊加。另外，論文用最簡單直接的微積分運算對Duhamel 積分進行了數(shù)學驗證，嚴格證明了Duhamel 積分的確是系統(tǒng)的零初值響應。本文結論應能對全面深刻理解Duhamel 積分的物理意義及其理論基礎起到積極的作用。