基于俞正強老師對分數(shù)思考的再思考

周揚輝

（浙江省杭州市余杭區(qū)杭州二中樹蘭實驗學(xué)校,浙江 杭州 311100）

俞正強老師在《“分數(shù)的認識”怎么教》這篇文章中認為分數(shù)的認識應(yīng)該由量到率，再對比二者關(guān)系。這番思考引發(fā)筆者對這節(jié)課進行了深思，個人覺得前后兩節(jié)課之間沒有必然聯(lián)系，第二節(jié)課相當于另起爐灶，全新闡述分數(shù)的概念，走的是兩條平行線，兩種概念并未相交。筆者認為分數(shù)概念的產(chǎn)生一定是基于整體與部分的關(guān)系，量與率的概念都應(yīng)從分物的情境中產(chǎn)出，所以認為本節(jié)課應(yīng)該量率結(jié)合同時進行。

一、現(xiàn)狀分析，問題緣起

在小學(xué)畢業(yè)考試中分數(shù)是必考內(nèi)容，出錯率卻居高不下。在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)一線教師對此塊內(nèi)容相當重視，在教學(xué)中研發(fā)各種變式題，歸納解題技巧，可是依然沒有明顯的效果。原因是什么呢？不妨先看他們的問題所在，集中體現(xiàn)為如下兩種題型：①比4 分米多是（）分米。②比4 分米多分米是（）分米。這組題目有很多人出錯，而且呈現(xiàn)出年級越高出錯率越高的趨勢。在本校五六兩個年級中進行抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)，五年級的錯誤率在34%左右，六年級的出錯率在45%左右，個別班級數(shù)值更高。這就反映出學(xué)生對分數(shù)表示量與關(guān)系的含義混淆，尤其是涉及單位“1”是一些物體時，這種混淆情況更嚴重。

關(guān)于上述出現(xiàn)的問題筆者存在兩個困惑，困惑一：學(xué)生為什么會出現(xiàn)量率不分的問題？困惑二：為什么問題是暴露在五年級？分數(shù)概念的學(xué)習是在三年級上冊所處的學(xué)齡段進行的，那么兩個學(xué)齡段之間有著怎樣的聯(lián)系，造成這個問題的根源是什么？

二、追本溯源之教材解讀

原因之一：時間跨度大

人教版把分數(shù)知識編排在三個階段：三年級上冊第八單元《分數(shù)的初步認識》，五年級下冊第四單元《分數(shù)的意義和性質(zhì)》以及第六單元《分數(shù)的加法和減法》，六年級上冊第一單元《分數(shù)乘法》以及第三單元《分數(shù)的除法》。從縱向的編排來看分數(shù)知識的編排時間跨度大，經(jīng)過兩年的時間學(xué)生對分數(shù)的知識還保留多少？這對概念體系的形成是很不利的，筆者認為這是問題暴露在五年級的因素之一。

原因之二：知識間呈現(xiàn)斷層

從教材呈現(xiàn)的內(nèi)容來看，三年級關(guān)于分數(shù)部分的編寫通過創(chuàng)設(shè)分物的情境圖引起學(xué)生“分”的實踐活動。通過對單位“1”的平均分，認識并理解這樣的幾分之一的分數(shù)。并以此為基礎(chǔ)再進一步認識分數(shù)。筆者認為分數(shù)由分物產(chǎn)生，但呈現(xiàn)在學(xué)生面前的不是分到物品的具體量而是分到的部分和整體之間的關(guān)系。接著幾分之一的比較大小也通過圖的比較，其實質(zhì)也是量的大小的比較。分率和量就這樣混搭著呈現(xiàn)給學(xué)生，而且量還是隱晦地呈現(xiàn)。三年級的學(xué)生能辨別到這兩種含義嗎？答案是否定的，筆者進行了一次嘗試教學(xué)證明了此觀點。

按照教材的編排第一課時直接認識分數(shù)關(guān)系的含義。后對41 名學(xué)生調(diào)查，全班無一人知道可以表示個，一致認為分數(shù)后面不可以加單位。這就說明量率不分問題的根源，關(guān)于分數(shù)量的含義未曾構(gòu)建，學(xué)生在三年級形成的分數(shù)的概念是片面的。

五年級的《分數(shù)的意義》這部分內(nèi)容由“分數(shù)的產(chǎn)生”和“分數(shù)的意義”兩部分構(gòu)成。關(guān)于“分數(shù)的產(chǎn)生”教材呈現(xiàn)兩幅圖，這兩幅圖揭示了分數(shù)產(chǎn)生的需要，這和三年級教材的呈現(xiàn)思路是一樣的，但第二幅圖是人教版教材第一次出現(xiàn)關(guān)于分數(shù)量的含義：每人分到（）塊月餅、（）包餅干。按照教材的編排，在此之前學(xué)生是沒有建構(gòu)關(guān)于量的含義的分數(shù)概念，學(xué)生不可能靠著這一個情境就建立起分數(shù)的完整概念，并且緊接著教材編排的是“分數(shù)的意義”，重點在于單位1 的概念的形成，并沒有編排量率區(qū)分這塊內(nèi)容。所以兩個學(xué)段之間知識的斷層會導(dǎo)致量率不分的問題在五年級暴露出來。

分數(shù)概念建構(gòu)的不完整才是學(xué)生在量率不分的真正原因。所以教學(xué)中必須妥善處理好量與率的呈現(xiàn)方式，根據(jù)現(xiàn)有教材找到合適的教學(xué)策略。

三、分數(shù)的教學(xué)思考——形成概念體系

經(jīng)過對三年級和五年級的教材梳理，筆者認為要避免知識間的斷層就必須在三年級的《分數(shù)的初步認識》這個單元中構(gòu)建完整的分數(shù)概念，分數(shù)量和率的含義必須都要建構(gòu)。問題是怎樣處理二者的關(guān)系呢？俞正強老師認為：關(guān)于量與率的混淆，在于對分數(shù)完全陌生時的同時呈現(xiàn)。解決之道是讓學(xué)生先深刻經(jīng)歷關(guān)于量的分數(shù)認識，諗熟之后再經(jīng)歷關(guān)于分率的認識，在此基礎(chǔ)上比較兩個認識的差別，以解決量與分率的混淆問題。筆者認為俞老師的見解一針見血，再一次進行教學(xué)實踐。

具體實施過程如下：

第一節(jié)課通過三個環(huán)節(jié)認識作為量的分數(shù)。環(huán)節(jié)一：分一分嘗試用數(shù)字表示分的結(jié)果，體會分數(shù)產(chǎn)生的必要性。環(huán)節(jié)二：梳理分的過程，用分數(shù)表示分的結(jié)果。環(huán)節(jié)三：討論用分數(shù)表示餅的大小的規(guī)律。本節(jié)課中分數(shù)一直作為量的表示而存在，目的是讓學(xué)生對分數(shù)的量的表示印象深刻而充分。本節(jié)課之后學(xué)生對分數(shù)量的概念有了清楚的認識，對用個表示半個，個表示小半個非常認同。

第二節(jié)課以“倍”作為認識基礎(chǔ)分數(shù)關(guān)系的含義。環(huán)節(jié)一：認識表示兩個量之間關(guān)系的分數(shù)。環(huán)節(jié)二：認識表示部分與總體之間關(guān)系的分數(shù)。環(huán)節(jié)三：練習。本節(jié)課結(jié)束之后進行了課后測試，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對兩個物體之間存在倍數(shù)關(guān)系情況用分數(shù)表征的題正確率較高，但對用分數(shù)表示整體與部分之間的關(guān)系的題錯誤率較高。例如一個圓平均分成8 份，涂出其中的1 份學(xué)生會錯誤地用來表示。

第三節(jié)課采用俞老師的兩大環(huán)節(jié)只對材料稍作調(diào)整，環(huán)節(jié)一：對的不同理解，明確分數(shù)既可以表示量也可以表示關(guān)系。環(huán)節(jié)二：區(qū)別分數(shù)表示量還是關(guān)系。

本節(jié)課后進行了課后測試，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對分數(shù)的量與率的區(qū)別有了較清楚的認知。但筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生的困惑是：半個是個，為什么2 倍的關(guān)系變成了一個是另一個的。經(jīng)過與專家討論，重新審視這三節(jié)課，筆者發(fā)現(xiàn)第一節(jié)課基于分物而產(chǎn)生的表示量的分數(shù)的思路是對的，問題出在第二節(jié)課，對于表示關(guān)系的分數(shù)是基于“倍”的關(guān)系而產(chǎn)生的。這和第一課時的思路不相統(tǒng)一，相當于另起爐灶，重新認識一個分數(shù)的含義，沒有了像分物時產(chǎn)生分數(shù)的必要性，缺乏了二者之間的貫通性。加之本節(jié)是以兩種物品之間的倍數(shù)關(guān)系引入，在無形中學(xué)生會先入為主地認為分數(shù)可以表征對這樣的兩物之間倍數(shù)關(guān)系，從而弱化整體與部分的思想，反而起到了負遷移的作用。

面對上述問題筆者思考：在構(gòu)建分數(shù)概念時就必須構(gòu)建完整的分數(shù)概念，量和率的含義必須都呈現(xiàn)。原因有三，其一，時間有限，不能夠像認識整數(shù)那樣先量后率。其二，學(xué)生的認識規(guī)律不同，認識整數(shù)時處在具體形象思維階段，而分數(shù)的認識這個階段的學(xué)生已經(jīng)有了抽象邏輯思維能力。最后，已有經(jīng)驗不同，三年級的學(xué)生已經(jīng)有了整數(shù)表征量與關(guān)系的知識儲備，并且生活中也積累了一些與分數(shù)有關(guān)的常識。綜合以上三個因素筆者認為分數(shù)的認識可以縮短周期，采取一種新的嘗試：

策略一：雙線并行，構(gòu)建完整概念

分數(shù)的概念形成應(yīng)該貫穿于《分數(shù)的初步認識》這個單元的始終，沒有哪一個數(shù)學(xué)概念是可以通過一節(jié)完成的，筆者認為整個單元都應(yīng)該量率并行構(gòu)建完整的概念體系。分數(shù)產(chǎn)生是用于記錄不完整實物的大小，那么分數(shù)的大小也應(yīng)該是由記錄實物的大小支撐。因此，需要對教材進行適當?shù)恼{(diào)整，需要把教材中分數(shù)的簡單應(yīng)用例題1 提前至緊隨幾分之一之后，目的是希望通過幾分之一的內(nèi)容幫助學(xué)生建立分數(shù)兩種含義的表象，再通過分數(shù)簡單應(yīng)用的例題1 實現(xiàn)單位1由1 個物品向多個物品轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)分數(shù)的兩種含義的對比，進而辨清量與率的區(qū)別?！斗謹?shù)初步認識》教學(xué)設(shè)計如下：

環(huán)節(jié)一：分數(shù)的產(chǎn)生

分一分

（1）4 塊月餅，分給兩位同學(xué)？每人分到多少？怎么分？如果是2 塊月餅?zāi)兀?/p>

（2）1 塊呢？預(yù)設(shè)：把一塊月餅平均分成2 半，每人分到半塊。

此環(huán)節(jié)通過學(xué)生熟悉的生活場景，讓學(xué)生體會分數(shù)產(chǎn)生的必要性。

環(huán)節(jié)二：探究分數(shù)的意義

任務(wù)一：理解分數(shù)表示量的意義

任務(wù)一是認識分數(shù)量的含義。設(shè)計是基于學(xué)生的思維方式進行，而學(xué)生通過操作活動可以更加直觀地認識分數(shù)。

任務(wù)二：理解分數(shù)表示關(guān)系的含義

小結(jié)：像這樣把一樣?xùn)|西平均分成兩份，取其中的一份，都可以用來表示，在數(shù)學(xué)中，“半塊”“0.5”“塊”“張”“個”都可以說是原來的。

任務(wù)二：幫助學(xué)生通過對比觀察概括引申出分數(shù)的另一種含義，對關(guān)系的表示，也就是人們常說的“率”。學(xué)生在分物的情境中進行直觀的抽象概括，學(xué)生對表示部分與總體之間關(guān)系的分數(shù)的認識就比較深刻，也顯得更加水到渠成，讓學(xué)生在接觸分數(shù)之時就明白分數(shù)有兩種不同的含義。

環(huán)節(jié)三：認識幾分之一、比較大小

創(chuàng)造四分之一，怎么得到的？為什么形狀不同都可以用四分之一表示？

創(chuàng)造幾分之一，這塊月餅還可以怎樣分？

比較大小。

幾分之一的大小比較可以借助實物和面積模型直觀進行比較，在這節(jié)課結(jié)束之后學(xué)生已經(jīng)對分數(shù)的兩種含義有了較全面的認識，沒有出現(xiàn)分數(shù)無單位問題，對整體與部分關(guān)系表述也很清晰。并設(shè)計如下練習題進行鞏固。

策略二：及時對比，辨清量與率

在分數(shù)的初步認識這節(jié)課之后學(xué)生對分數(shù)的兩種含義的概念有了初步的感知，這就需要及時深入理解分數(shù)。接下來是“分數(shù)的簡單應(yīng)用”的第一個例題的教學(xué)。但學(xué)生還沒學(xué)幾分之幾的內(nèi)容，所以教師需要對教材的內(nèi)容進行改編，改編后本節(jié)課例題用同一個情境分蘋果。改編一：把第一題改成1 個蘋果平均分成3 份，取一份。第一小題通過回顧再次明確塊蘋果是蘋果的。改編二：第2 題改成6 個蘋果平均分成2份、3 份，6 份取其中一份。在平均分的過程中知道1份蘋果是總數(shù)的，是3 個，1 份蘋果是總數(shù)的，是2 個……這樣設(shè)計是將兩個例題進行對比，突出量與率的區(qū)別，加深對分數(shù)兩種含義的理解，也順利實現(xiàn)了單位“1”由一個物體自然過渡到一些物體，并設(shè)計針對性習題：

策略三：日常滲透，延長認識周期

分數(shù)概念的建構(gòu)集中在三年級上冊完成，教材編排上有4 個學(xué)期的空白期，所以教師在教學(xué)實踐過程中必須進行日常的滲透，及時鞏固復(fù)習。首先，在三年級下冊到五年級上冊這四個學(xué)期中教師要有意識地為學(xué)生創(chuàng)造運用分數(shù)知識的機會，可以把日常的解決問題的數(shù)值改編成分數(shù)呈現(xiàn)的形式。其次，要思考五年級下冊“分數(shù)的意義”如何進行才可以和三年級知識巧妙銜接以形成完整的分數(shù)概念體系。在實際訪談中很多教師表示“分數(shù)的產(chǎn)生”三年級已經(jīng)學(xué)過，只是量的含義沒有接觸，所以多數(shù)教師采取自學(xué)和簡單講解結(jié)合的形式處理。這顯然不能有效地勾起學(xué)生關(guān)于分數(shù)的記憶，筆者認為這塊內(nèi)容需添加分數(shù)關(guān)系的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生回憶起原有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上再進行分數(shù)單位的教學(xué)。

四、結(jié)語

分數(shù)是一個重要的數(shù)學(xué)概念，分數(shù)的學(xué)習豐富了數(shù)的概念，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個難點。通過對教材的研究和多次的教學(xué)嘗試發(fā)現(xiàn)分數(shù)概念的認識應(yīng)該雙線并行貫穿始終構(gòu)建完整的概念體系，只有這樣才能解決學(xué)生概念混淆的問題。當然文中所述教法未必是最合適的，還需要教師們在教學(xué)實踐中不斷探究思考。