怎樣求解二面角問題

吳文

二面角是高中立體幾何中的重要知識點(diǎn).二面角問題是各類試題中的常見考點(diǎn).常見的命題形式是：???? （1）求二面角的大小或余弦值；（2）證明二面角為直二面角；（3）求二面角的取值范圍.解答此類問題主要有兩種方法：定義法和向量法.

一、定義法

二面角的大小通常由其平面角的大小決定，因此求二面角的大小，往往要求得其平面角的大小.這就需根據(jù)二面角的平面角的定義，在二面角的棱上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)在兩個半平面中分別作垂直于棱的直線，根據(jù)勾股定理或正余弦定理求得這兩條垂線之間的夾角，即二面角的平面角的大小，就能知曉二面角的大小.在運(yùn)用定義法求二面角時，要重點(diǎn)尋找題目中的垂直關(guān)系，以便快速求作二面角的平面角.

例1.如圖1所示，在三棱錐 S -ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ABC =90°，SA =AB ，SB =BC .

（1）證明：平面 SBC ⊥平面 SAB；

（2）求二面角 A -SC -B 所對應(yīng)的平面角的正弦值.

本題中的垂直關(guān)系較多，于是從其垂直關(guān)系入手，通過作垂線 AE ⊥ SC ，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理，證明 AD⊥ SC ，便可根據(jù)二面角的平面角的定義，確定二面角A-SC-B 的平面角，再利用等腰三角形的性質(zhì)和公定理求得二面角的平面角的正弦值.

二、向量法

例2.在四棱錐 S -ABCD 中，SA⊥平面ABCD，底面 ABCD 為直角梯形，∠ABC =90°，AD =，SA =AB =BC =1，求平面 SCD與平面 SAB所成角的大小.

首先根據(jù) SA ⊥平面 ABCD 以及∠ABC =90°建立空間直角坐標(biāo)系，再設(shè)出或求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面 SCD與平面 SAB 的法向量，計算出其夾角，便可順利求得平面 SCD與平面 SAB所成角的大小.向量法通常適用于求解方便建立空間直角坐標(biāo)系的問題.

相比較而言，定義法比較常用，且適用范圍較廣.向量法的適用范圍較窄，運(yùn)用該方法解題，應(yīng)轉(zhuǎn)換解題的思路，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算問題.

（作者單位：江西省撫州市金溪縣第一中學(xué)）