近40年高考全國卷中周期性問題的梳理及啟示

王克亮

(江蘇省射陽中學(xué) 224300)

為研究高考全國卷中的周期性問題，筆者人工檢索了1981～2020年由教育部考試中心命制的高考數(shù)學(xué)試卷203份，加上近期2021年高考的6份全國卷，共摘錄了與周期性有關(guān)的試題47道，將它們按“年份、題號、題型、難度、考查函數(shù)、設(shè)問角度”這幾個(gè)欄目制作成表格(受篇幅限制，此略)，然后對此作了統(tǒng)計(jì)與分析，從中獲得了一些啟示.

1 考情分析

表1 考查年份統(tǒng)計(jì)表

由表1可知，自1985年首次考查周期性問題以來，只有90年、02年、07年這3年沒有出現(xiàn)與周期性直接相關(guān)的試題，其余年份均有涉及，年份的考查率達(dá)91.89%(不含81年～84年). 其中，2008年至今，該知識點(diǎn)的考查一直沒有間斷過.

表2 考查題型統(tǒng)計(jì)表

由表2可知，周期性問題的考查題型包括選擇題、填空題和解答題，其中選擇題(含多選題)36道，占比76.59%；填空題6道，占比12.77%；解答題5道，占比10.64%. 2020年首次出現(xiàn)多選題，1998年曾以填空題形式出現(xiàn)過多選題. 另外，近十多年來沒有在解答題中考查過該問題.

表3 試題難度統(tǒng)計(jì)表

由表3可知，周期性試題以容易題和較易題為主，共26道，占比55.32%；中檔題17道，占比36.17%；較難題4道，占比8.51%. 值得注意的是，2011年之后的19道試題中，屬中檔題與較難題的有15道，占比為78.95%，可見對周期性問題考查的要求在明顯提升.

表4 考查的函數(shù)類型統(tǒng)計(jì)表

由表4可知，考查的函數(shù)類型以三角函數(shù)為主體，共37道，占比78.72%；一般函數(shù)4道，占比8.51%；抽象函數(shù)6道，占比12.77%. 值得注意的是，對三角函數(shù)周期性的考查，從最初的直接代公式求解，到后來的先進(jìn)行三角變換再代公式求解，再到目前的通常將周期性與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值、對稱性等性質(zhì)融合在一起進(jìn)行考查. 另外，2011年之后的19道試題中，以一般函數(shù)或抽象函數(shù)為載體的有6道，占比31.58%，該比例在明顯提升.

表5 設(shè)問角度統(tǒng)計(jì)表

由表5可知，周期性問題的設(shè)問角度，求最小正周期或由最小正周期反求ω的，有20道，占比42.55%；結(jié)合最值、奇偶性、單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)考查的12道，占比25.53%；結(jié)合圖象考查的7道，占比14.89%；與函數(shù)值、方程的根、不等式的解相結(jié)合的7道，占比14.89%；證明周期函數(shù)的1道，占比2.13%. 值得注意的是，2011年之后的19道試題中，單純求三角函數(shù)最小正周期的只有3道，試題的綜合性明顯加強(qiáng).

綜上所述，近40年高考全國卷中周期性問題的考情如下：

(1)考查周期性問題的年份率達(dá)90%以上，且2008年至今沒有間斷過；

(2)涉及周期性問題的題型比較多樣，選擇、填空、解答都有可能，2020年又出現(xiàn)了多選題；

(3)試題的難度在加大，近年來以中檔題與較難題身份出現(xiàn)的比率近80%；

(4)以三角函數(shù)為考查主體，近年來以一般函數(shù)或抽象函數(shù)為載體的試題的比率在提高，接近三分之一；

(5)試題由以前比較單一的求三角函數(shù)的最小正周期問題，逐步趨向與函數(shù)圖象和其它性質(zhì)進(jìn)行融合，試題的綜合性在加強(qiáng)，對考生能力的要求進(jìn)一步提升.

2 解決策略

解析了上述高考試題，得到周期性問題的常用解決策略有如下幾種.

2.1 化歸基本模型

與三角函數(shù)有關(guān)的周期性問題，通?？苫瘹w為基本的三角函數(shù)模型，再代入周期公式來解決問題，轉(zhuǎn)化的手段是三角變換.

評注將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本的三角函數(shù)模型(如y=Asin(ωx+φ)+k，y=Acos(ωx+φ)+k，y=Atan(ωx+φ)+k，等)是常用的處理手法，以便于代入周期公式來解決問題.

A．f(x)=|cos 2x| B．f(x)=|sin 2x|

C．f(x)=cos|x| D．f(x)= sin|x|

評注幾種加絕對值的三角函數(shù)也屬于基本的模型，如y=|Asin(ωx+φ)|(周期變?yōu)樵瓉淼囊话?，y=sin|x|(非周期函數(shù))，y=cos|x|(周期不變)，等.在上述梳理出的高考試題中，有5道涉及到加絕對值的三角函數(shù).

2.2 把握性質(zhì)關(guān)系

解決三角函數(shù)的周期性問題時(shí)，要把握三角函數(shù)的性質(zhì)與性質(zhì)之間的關(guān)系，以及圖象與性質(zhì)之間的關(guān)系，善于從題中所給的函數(shù)圖象或性質(zhì)中轉(zhuǎn)化得到周期的信息.

圖1

評注本方法是將所給函數(shù)圖象的特征轉(zhuǎn)化為相位的大小來解決問題的.

A.11B.9 C.7 D.5

評注本方法是運(yùn)用了函數(shù)的零點(diǎn)與對稱軸之間的距離與周期之間的關(guān)系，以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間的長度與周期之間的關(guān)系來解決問題的.

結(jié)論一般地，函數(shù)y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)性質(zhì)之間具有如下關(guān)系：

(1)對稱軸必定經(jīng)過它們的極值點(diǎn)；

(2)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的中點(diǎn)必為極值點(diǎn)，相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)必為零點(diǎn)；

(3)相鄰的零點(diǎn)、相鄰的對稱軸間的距離均為半個(gè)周期；

(4)相鄰的零點(diǎn)與極值點(diǎn)間的距離為四分之一個(gè)周期；

(5)極值點(diǎn)間、零點(diǎn)間的距離均為半個(gè)周期的正整數(shù)倍；

(6)零點(diǎn)與對稱軸間的距離為半個(gè)周期的正整數(shù)倍與四分之一個(gè)周期的和；

(7)一個(gè)單調(diào)增區(qū)間(或減區(qū)間)的長度不超過半個(gè)周期；

(8)零點(diǎn)(或極值點(diǎn))在一個(gè)周期中的位置與相應(yīng)的相位對應(yīng)；等等.

2.3 熟悉定義拓展

我們知道，周期函數(shù)f(x)定義的核心是滿足恒等式f(x+T)=f(x),x∈A，其中T為非零常數(shù)，A為函數(shù)f(x)的定義域.該恒等式合理延伸后，可得到一些拓展結(jié)論.理解這些拓展結(jié)論的內(nèi)涵，將有助于我們解決周期性問題.

(2)證明f(x) 是周期函數(shù)(此處略去(1)和(3))．

解析因?yàn)閥=f(x)關(guān)于直線x= 1對稱，所以f(x) =f(2-x)，x∈R．

又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x) =f(-x) ，x∈R，所以,f(-x) =f(2-x) ，x∈R.

將上式中“-x”用“x”來代換，得f(x) =f(x+2)，x∈R．這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期．

案例6(2018年普通高等學(xué)校招生全國考試?yán)砜凭?第11題)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A．-50 B．0 C．2 D．50

解析因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)=-f(-x).又因?yàn)閒(1-x)=f(1+x)，即f(x)=f(2-x)，所以-f(-x)=f(2-x) ，即f(2+x)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).

根據(jù)周期性，以及f(0)=0,f(1)=2，可得f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=2.故選C．

評注這兩題都是運(yùn)用了周期函數(shù)的定義及其拓展結(jié)論來解決問題的.

結(jié)論(1)一般地，在下列條件下，可得到對應(yīng)函數(shù)為周期函數(shù)：

(I)知一個(gè)恒等式的(其中a≠0,k≠0)

比如，f(x+a)=f(x)(T=a)；f(x+a)=-f(x)(T=2a)；f(x+a)=f(x-a)(T=2a)；

f(x+a)=-f(x)+k(T=2a)；fn(x+a)+fn(x)=k(f(x)>0)(T=2a)；

(II)知兩個(gè)對稱性的

比如，①若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a與x=b(b>a)對稱，則f(x)是以2(b-a)為周期的周期函數(shù)；

②若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)與點(diǎn)(b,0)(b>a)對稱，則f(x)是以2(b-a)為周期的周期函數(shù)；

③若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a與點(diǎn)(b,0)(b>a)對稱，則f(x)是以4(b-a)為周期的周期函數(shù)；等等.

(2)反之，由周期性和一個(gè)對稱性可得到其它的對稱性.

2.4 借鑒周期思想

有些函數(shù)雖不是周期函數(shù)，但其性質(zhì)類似于周期函數(shù)，這時(shí)我們可借鑒周期思想來解決問題.

圖2

評注當(dāng)函數(shù)滿足f(x+T)=Af(x)(T,A≠0)、f(kx)=Af(x)(k,A≠0)等恒等式時(shí)，該函數(shù)將呈現(xiàn)類周期性.

3 命題警示

因?yàn)楹瘮?shù)的周期性與其對稱性等性質(zhì)既相互關(guān)聯(lián)，又相互制約，所以命題時(shí)一不小心就會(huì)出現(xiàn)多余的或自相矛盾的條件，從而犯科學(xué)性錯(cuò)誤.

案例8(2005年某省高考試題)已知f(x)是R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)=0，則方程f(x)=0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是( ).

A.2 B. 3

C. 4 D. 5

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)=________.