數(shù)學(xué)教學(xué)如何“立德樹人”

石志群

(江蘇省泰州市教研室 225300)

教育部于2014年發(fā)布了《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見 》，提出“立德樹人”是教育的“根本任務(wù)”.學(xué)科教學(xué)是實現(xiàn)立德樹人的主陣地，那么，數(shù)學(xué)學(xué)科如何“立德樹人”呢？

1 數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性特征：“講理”的德行，“守規(guī)”的習(xí)慣

俄國數(shù)學(xué)家A.D.亞歷山大洛夫在《數(shù)學(xué)，它的內(nèi)容、方法和意義》一書中這樣表述數(shù)學(xué)學(xué)科的特征：“對數(shù)學(xué)只有膚淺的知識就能容易察覺到數(shù)學(xué)的這些特征：第一是它的抽象性，第二是精確性，或者更好地說是邏輯的嚴(yán)格性以及它的結(jié)論的確定性，最后是它的應(yīng)用極端廣泛.”，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性表現(xiàn)在它的“講理”，即作出任何結(jié)論都必須有理有據(jù)，這不僅對培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密的邏輯思維習(xí)慣非常有益，更能夠使學(xué)生成為一個“講理”的人；數(shù)學(xué)的公理化思想方法，以及基于公理化思想和邏輯推理的規(guī)范又能夠讓學(xué)生形成守公德、講規(guī)范的行為習(xí)性.

當(dāng)然，要實現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的上述價值，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中就必須突出數(shù)學(xué)的“嚴(yán)謹(jǐn)”性特征，明確嚴(yán)格的邏輯要求.即使暫時還不宜進(jìn)行嚴(yán)格證明的內(nèi)容，也要讓學(xué)生知曉，在數(shù)學(xué)中這些結(jié)論是一定要進(jìn)行嚴(yán)格證明的，絕對不能以直覺代替邏輯、以特例代替一般.

一是要在教學(xué)中盡可能地嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密，即使暫時還不能或不便進(jìn)行邏輯證明的內(nèi)容，最好也要向?qū)W生說明這個過程是不嚴(yán)密的，這種推理是合情推理，其結(jié)論的正確性并不能保證，因此，需要證明，當(dāng)學(xué)習(xí)了相關(guān)知識后我們將可以進(jìn)行嚴(yán)格的證明.比如，初中是用描點(diǎn)法研究一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的，所有教材都由特殊的一次函數(shù)，用描點(diǎn)法畫出圖象，并直接下結(jié)論：一次函數(shù)的圖象是直線；有些教材上在用描點(diǎn)法畫出特殊的二次函數(shù)的圖象后，直接指出：二次函數(shù)的圖象是拋物線；甚至有些教材出現(xiàn)了反比例函數(shù)圖象是雙曲線的說法.其實，這個時候，學(xué)生對直線、拋物線及雙曲線的定義都不了解(直線的概念是描述性的，本身就是元概念)，所以，教學(xué)過程中應(yīng)該向?qū)W生說明：這些結(jié)論將能夠在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中給出證明.到了高中學(xué)習(xí)了解析幾何相應(yīng)內(nèi)容后，最好能夠?qū)⒅本€、圓錐曲線與一次函數(shù)、二次函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行體系建構(gòu)，說明：根據(jù)確定直線的條件(直線上的一個點(diǎn)和直線的方向)求得直線方程的過程，其實就是證明了初中所學(xué)習(xí)的內(nèi)容：一次函數(shù)的圖象是直線；學(xué)習(xí)了拋物線方程后，既可以用拋物線的定義證明二次函數(shù)的圖象是拋物線，也可以通過標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的拋物線的“變換”證明二次函數(shù)的圖象是拋物線；同樣地，也可以用定義證明反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.

二是要在教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識體系.比如，平面幾何、立體幾何的邏輯結(jié)構(gòu)、三角恒等變換、基本不等式中的等式、不等式的邏輯關(guān)系，由此初步滲透公理化的思想方法.

三是做題時要按數(shù)學(xué)的書寫規(guī)范嚴(yán)格要求，確保每一步過程都要符合邏輯規(guī)范.比如，復(fù)數(shù)除法運(yùn)算部分的例題解答中運(yùn)用“分母實數(shù)化”的方法時，要說明其理論依據(jù)是分?jǐn)?shù)的性質(zhì)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，以此保證運(yùn)算過程的嚴(yán)謹(jǐn)性.教學(xué)中要讓學(xué)生感受到建立理論依據(jù)的必要性和重要性.

當(dāng)然，教數(shù)學(xué)的推理與邏輯要揭示“數(shù)學(xué)是生活常識的精微化”的特點(diǎn)，從數(shù)學(xué)到生活，引導(dǎo)學(xué)生做到：思考問題、發(fā)表觀點(diǎn)要有理有據(jù)，符合邏輯；語言、行為要符合社會公德和法律法規(guī)，做一個講道理、明事理、守規(guī)則的人.這正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)健全人格之功能所在.

2 數(shù)學(xué)的理性精神：求真、求善、求美

真、善、美是德行的核心，也是“審美情懷”的內(nèi)涵.恰好，數(shù)學(xué)的理性精神之根本就是求真、求善、求美.英國數(shù)學(xué)大師羅素認(rèn)為“數(shù)學(xué)，如果正確地看待它，則有……至高無上的美——正像雕刻的美，那是一種冷峻的美.它沒有繪畫或音樂的華麗裝飾，卻純凈而崇高，可以達(dá)到偉大藝術(shù)的完美境界.”“一種真實的喜悅，一種精神的亢奮，一種超越人的意識——這些至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能在詩歌里得到，也能在數(shù)學(xué)中得到”.……

在數(shù)學(xué)中獲得真、善、美的美好感受，這幾乎是所有數(shù)學(xué)家的共同體驗.那么，數(shù)學(xué)家們的這種感受也可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中獲得嗎？如果大量刷人為編制的那些中考、高考題，估計是無法獲得的.如果我們在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中讓學(xué)生真實地面對數(shù)學(xué)家們當(dāng)初面對的情境，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的全過程，如果在教學(xué)過程中讓學(xué)生多做些經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，或者即使無法完全理解，也可以讓學(xué)生欣賞一些與學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的經(jīng)典數(shù)學(xué)問題，就可以讓學(xué)生較為充分地感受到數(shù)學(xué)的真善美.

即使是數(shù)學(xué)的符號，也都蘊(yùn)含著豐富的真、善、美的價值追求.比如，表示相等關(guān)系的“=”，用上下一樣長的兩條水平線來表示“數(shù)量一樣”，既簡潔又美觀，意義也很直觀，將數(shù)學(xué)的符號美表現(xiàn)得淋漓盡致.再比如，表示不等關(guān)系的“<”、“>”，其從近乎文字的符號形式發(fā)展到得到大家共同認(rèn)可的現(xiàn)在的形式，經(jīng)歷了數(shù)百年的時間，即使現(xiàn)在的符號，從出現(xiàn)到普遍使用，也過了100多年.由哈里奧特創(chuàng)立的這種簡潔優(yōu)美的不等號，不管后人怎樣去重新創(chuàng)造，都無法被取代.教學(xué)過程中遇到需要使用符號簡化表示形式的時候，最好能夠研究一下“用怎樣的符號來表示呢？”并讓學(xué)生從簡潔、優(yōu)美、形象的角度去構(gòu)造，最后再簡要地介紹一下數(shù)學(xué)中約定的符號的發(fā)展史，欣賞符號的美及蘊(yùn)含其中的精神內(nèi)蘊(yùn).

3 數(shù)學(xué)的觀念、思想、方法：創(chuàng)新與創(chuàng)造(發(fā)現(xiàn))

數(shù)學(xué)學(xué)科立德樹人的價值還深刻體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的觀念、思想和方法中，甚至是由此獲得的結(jié)論的奇異、美妙之中，體現(xiàn)在其巨大的創(chuàng)新、創(chuàng)造(發(fā)現(xiàn))的功能上，而數(shù)學(xué)家們在觀念、思想和方法的創(chuàng)新、創(chuàng)造的過程中表現(xiàn)出的科學(xué)精神，即理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究的精神與品質(zhì)也正是“立德樹人”根本任務(wù)的重要內(nèi)容.

上述過程，既表現(xiàn)出了數(shù)學(xué)家們的“精神”：總是喜歡將特殊向一般“推廣”，以創(chuàng)造出更一般的“數(shù)學(xué)”，從而擴(kuò)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，也在更廣泛的層次上運(yùn)用數(shù)學(xué)刻畫自然，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價值觀、審美觀，即求統(tǒng)一、求簡單、求和諧的價值追求與審美追求.這無疑會對學(xué)生的審美能力的提高、審美情趣的形成及由此生成的數(shù)學(xué)創(chuàng)新、創(chuàng)造力產(chǎn)生積極的作用.

二是通過向?qū)W生“打開一扇窗”，使感興趣、有能力的學(xué)生能夠欣賞到一流數(shù)學(xué)家們的數(shù)學(xué)觀念、思想、方法.比如，可以介紹偉大數(shù)學(xué)家歐拉求

的完整過程，特別是在“問題解決”的過程中使

1=(1-a)+(a-a2)+(a2-a3)+(a3-a4)+ …，

并得到

等重要的變形轉(zhuǎn)化過程中所體現(xiàn)的偉大的數(shù)學(xué)思想加以揭示，可以使學(xué)生感受一流數(shù)學(xué)家們的巨大創(chuàng)新能力的同時，體會到平時做數(shù)學(xué)題的那些所謂技巧應(yīng)該融于問題解決過程的思維分析之中而產(chǎn)生，切不可只是一種套路.如果從立德樹人的個性化特點(diǎn)看，要培養(yǎng)一流的數(shù)學(xué)家，必須向大師學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)他們在數(shù)學(xué)觀念、思想和方法上的偉大創(chuàng)新、創(chuàng)造的精神.正如著名數(shù)學(xué)家貝爾特拉米所說：“學(xué)生應(yīng)該及早地像數(shù)學(xué)大師那樣去追求和進(jìn)行大量的創(chuàng)造性思考活動，而不要讓學(xué)校里那種無休止的練習(xí)把自己的頭腦弄得僵化和貧乏.實際上，沉溺在許多無益的練習(xí)之中，正好是一種無意義勞動掩蓋之下的懶惰，這樣做除了使人消磨意志之外別無其他作用.在偉大的前輩面前去努力創(chuàng)造會使人堅強(qiáng).”

4 數(shù)學(xué)的文化價值：人文底蘊(yùn)與人文精神

愛因斯坦曾說：“一種沒有相當(dāng)發(fā)達(dá)的數(shù)學(xué)的文化是注定要衰落的，一個不掌握數(shù)學(xué)作為一種文化的民族也是注定要衰落的.”我國著名數(shù)學(xué)家齊民友先生在其著作《數(shù)學(xué)與文化》一書中也說道：“因為數(shù)學(xué)在人類理性思維活動中有一些特點(diǎn)，這些特點(diǎn)的形成離不開各個時代的總的文化背景，同時又是數(shù)學(xué)影響人類文化最突出之點(diǎn).” “數(shù)學(xué)深刻地影響著人類的精神生活，可以概括為一句話，就是它大大地促進(jìn)了人的思想解放，提高與豐富了人類的整個精神水平.從這個意義上講，數(shù)學(xué)使人成為更完全、更豐富、更有力量的人.”

就本質(zhì)而言，數(shù)學(xué)的文化價值主要體現(xiàn)為理性探索精神.從可能始于應(yīng)用性需求的勾股定理優(yōu)美的公式形式，到它的優(yōu)美的證明方法(達(dá)數(shù)百種之多)，再到無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，甚至到費(fèi)馬大定理，無數(shù)中外數(shù)學(xué)家在這條道路上進(jìn)行著艱辛的探索，獲得了豐碩的成果，并成為人類精神文化的重要組成部分.這種素材正是應(yīng)該為數(shù)學(xué)教學(xué)所重視的.

從數(shù)學(xué)家們的文化習(xí)慣的角度設(shè)計問題鏈?zhǔn)沁M(jìn)行數(shù)學(xué)文化教育的有效途徑.比如，數(shù)學(xué)家們?yōu)槭裁磿氲角?/p>

這個問題的？這就如指數(shù)概念推廣的過程一樣，這與數(shù)學(xué)家們的探索精神密切相關(guān)：古希臘時代及中國古代就有求數(shù)列和的需求和傳統(tǒng)，比如，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的三角形數(shù)、四邊形數(shù)、……，由賈憲三角所形成的若干數(shù)列和，中國古代的“堆垛術(shù)”解決高階等差數(shù)列和、……都說明這個問題.

教學(xué)中我們可以這樣進(jìn)行滲透：研究了

1+2+3+4+…+n

之后提出問題：解決了這個問題后，你覺得還應(yīng)該解決怎樣的問題？如果學(xué)生能夠提出與之相關(guān)的拓展性問題，就對其進(jìn)行系統(tǒng)化整理；如果學(xué)生提不出問題，就用“欣賞”的方式“告訴”學(xué)生：當(dāng)初，數(shù)學(xué)家們由此想到了下面的這些和式能否求出來呢？

12+22+33+42+…+n2；

13+23+33+43+…+n3；

……

……

這些都是有限項之和，你覺得數(shù)學(xué)家們還會提出哪些具有“無窮多個項”的式子的和呢？

……

經(jīng)常地讓學(xué)生真實地欣賞、感受數(shù)學(xué)家們的思維方式，了解數(shù)學(xué)家們在提出問題、解決問題過程中的真實思維過程，以及其包含的數(shù)學(xué)思想方法，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、感悟數(shù)學(xué)家們創(chuàng)新思維中的文化基因，從而提升核心素養(yǎng)是大有裨益的.

當(dāng)然，數(shù)學(xué)文化的精神體現(xiàn)更應(yīng)該在正常內(nèi)容的教學(xué)過程之中，因此，我們的課堂上從提出問題開始，就要遵循數(shù)學(xué)理性探索精神的原則.通過現(xiàn)實的、科學(xué)的或數(shù)學(xué)的大背景，運(yùn)用數(shù)學(xué)的大觀念提出本章研究的大問題，再通過解決問題的邏輯思維過程，以數(shù)學(xué)家研究問題的基本規(guī)范展開教學(xué)內(nèi)容.對于每節(jié)的內(nèi)容，也是遵循上述原則，通過提出問題鏈的形式分析問題和解決問題.

數(shù)學(xué)真理的相對性對學(xué)生發(fā)展辯證思維與形成辯證觀念也是非常有益的，這又是數(shù)學(xué)文化系統(tǒng)中一道獨(dú)特的風(fēng)景，比如，歐氏幾何與非歐幾何都是數(shù)學(xué)的重要公理系統(tǒng)和理論體系，在各自的系統(tǒng)中它們是自洽的、正確的，這種幾乎難以想象的現(xiàn)象，其教育意義也是巨大的.盡管教材正文中沒有這部分內(nèi)容，但在蘇教版高中數(shù)學(xué)教材閱讀材料“幾何學(xué)的發(fā)展”中系統(tǒng)簡介了幾何學(xué)的歷史過程，這樣的設(shè)計就是基于將數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容和形式，有機(jī)地融合、整合進(jìn)教材，以實現(xiàn)立德樹人的根本目標(biāo).

以上討論了如何在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中實現(xiàn)立德樹人根本任務(wù)的一些思考，還很不全面，比如，數(shù)學(xué)具有應(yīng)用的廣泛性的基本特征，這種特征對于立德樹人同樣具有非常重要的作用，在教材中大量案例都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的這一特征：既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)可以源自現(xiàn)實世界，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型在解決自然世界、社會生活中各種問題的重要作用，還便于使用具有德育意義的現(xiàn)實素材；數(shù)學(xué)家們的愛國敬業(yè)、獻(xiàn)身科學(xué)、誨人不倦的事跡也是進(jìn)行品德教育的好素材；……限于篇幅，就不贅述了.