20世紀初美國代數(shù)教科書中的數(shù)學史

汪曉勤

(華東師范大學數(shù)學系 200241)

1 引 言

我們在19世紀以前的數(shù)學教科書中很少見到數(shù)學史的影子.事實上，以蒙蒂克拉(J. E. Montucla, 1725—1799)、康托(M. Cantor, 1829—1920)等為代表的早期數(shù)學史家，并非為了教育而去研究數(shù)學史，數(shù)學史的教育價值遠未受到人們的普遍關注，即使是在今天，數(shù)學史研究者大多也仍不關注自己所研究主題的教育價值.另一方面，絕大多數(shù)教科書編寫者對相關領域的歷史不甚了了，且數(shù)學教育領域與數(shù)學史領域的學者之間很少有思想交流，導致大多數(shù)數(shù)學教科書與數(shù)學史之間存在很深的鴻溝.

然而，在19世紀末，以史密斯(D. E. Smith, 1860—1944)和卡約黎(F. Cajori, 1859—1930)為代表的美國數(shù)學史家改變了數(shù)學史被教科書冷遇的現(xiàn)狀.史密斯和卡約黎既是數(shù)學史家，也是數(shù)學教育家，對于數(shù)學史的教育價值有著深刻的認識.史密斯是國際數(shù)學教育委員會的創(chuàng)始人，曾先后擔任該委員會的副主席(1908—1920)和主席(1928—1932)，卡約黎則先后擔任了全美教育協(xié)會“十人委員會”成員(1892)、美國幾何大綱“十五人委員會”成員(1910—1913).與前輩蒙蒂克拉和康托不同，他們撰寫數(shù)學史的主要目的是為數(shù)學教育服務.他們利用自己在數(shù)學史方面的學術優(yōu)勢，在各自參編的數(shù)學教科書中較多地運用了數(shù)學史素材.史密斯和卡約黎對同時代的其他教科書編者產(chǎn)生了較大的影響.

我們選擇20世紀前20年間在美國出版的11種代數(shù)教科書(Beman & Smith, 1900；Young & Jackson, 1908a； Young & Jackson, 1908b；Durell, 1912；Young & Jackson, 1913；Cajori & Odell, 1915；Slaught & Lennes, 1915；Cajori & Odell, 1916；Hallett & Anderson, 1917；Wentworth, Smith & Brown, 1917；Schultze, 1918)，對其中的數(shù)學史材料進行考察，試圖回答以下問題：11種代數(shù)教科書運用了哪些數(shù)學史料？有何特點？它們又是如何運用這些史料的？

2 教科書中的數(shù)學史材料

2.1 名人名言

Slaught & Lennes (1915)在扉頁中引用培根(R. Bacon, 1214—1294)的話來強調數(shù)學的價值.

· “一切科學最終都依賴于數(shù)學.”

· “數(shù)學應被看做一切哲學的基礎.”

· “只有神圣的數(shù)學，能夠凈化人的心智，使學生得以獲取一切知識.”

不過，在其他教科書中很少見到名人名言.

2.2 數(shù)學詞源

Beman & Smith (1900)在附錄中，給出了全書涉及的數(shù)學術語的詞源分析表，幫助學生更好地理解這些術語.表1給出了其中一些重要術語的詞源分析.

表1 Beman & Smith(1900)中的部分數(shù)學術語詞源

在數(shù)學教科書中補充數(shù)學名詞的詞源分析，這是編寫者貝曼(W. W. Beman, 1850—1922)和史密斯的一項創(chuàng)舉.

2.3 數(shù)學人物

Beman & Smith (1900)在附錄中扼要介紹代數(shù)學的歷史之后，收錄了書中出現(xiàn)的43位數(shù)學家的生卒年和簡介.Cajori & Odell (1915，1916)使用了韋達(F. Viète, 1540—1603)、笛卡兒(R. Descartes, 1596—1650)、沃利斯(J. Wallis, 1616—1703)、牛頓(I. Newton, 1643—1727)、歐拉(L. Euler, 1707—1776)和德摩根(A. De Morgan, 1806—1872)的畫像，畫像之下配有簡要的文字介紹(圖1).

Slaught & Lennes (1915)使用了魏德曼(J. Widmann, 1462—1498)、韋達、哈密爾頓(R. Hamilton, 1805—1865)、牛頓、畢達哥拉斯、沃利斯、笛卡兒、高斯(C. F. Gauss, 1777—1855)和帕斯卡(B. Pascal, 1623—1662)的畫像(圖2).畫像之下附有簡單的生平介紹.

Hallett & Anderson (1917)使用了畢達哥拉斯、歐幾里得、韋達、帕斯卡、笛卡兒、牛頓、高斯的畫像，畫像之下配有簡單的生平介紹.

圖1 Cajori & Odell (1915; 1916) 中的數(shù)學家畫像

圖2 Slaught & Lennes (1915)中的數(shù)學家畫像

2.4 圖片資料

圖片資料指的是歷史上數(shù)學書籍(包括手稿)的書影、歷史上天文學家和數(shù)學家所使用的測量工具圖片、反映數(shù)學主題的繪畫作品等.

Wentworth, Smith & Brown (1917)代數(shù)部分給出雷科德《礪智石》中出現(xiàn)“等號”的一頁書影(圖3)、魏德曼算術書中的加減號(圖4)、16世紀數(shù)學書中代數(shù)式的寫法(圖5)、花拉子米《代數(shù)學》拉丁文譯文的手抄本書影(圖6)等.

圖3 等號的創(chuàng)用(《礪智石》，1557) 圖4 加減號的創(chuàng)用(魏德曼算術，1489)

圖5 一次多項式的加法(格蘭邁特烏斯，1518) 圖6 花拉子米《代數(shù)學》抄本(1456)

在與史密斯合作之前，美國數(shù)學家溫特沃斯(G. A. Wentworth, 1835—1906)在其獨立編寫的各種數(shù)學教科書中，未曾使用過任何數(shù)學史料.而作為著名的數(shù)學史家，史密斯無論是在課堂教學中還是在編寫教科書時，都十分重視有關數(shù)學歷史文獻的圖片，由于他擁有豐富的藏書，因而可以自由地使用相關的圖片.

2.5 數(shù)學問題

數(shù)學的歷史為教科書提供了取之不盡、用之不竭的問題.Beman & Smith(1900)在“一元一次方程”一章，呈現(xiàn)了數(shù)學史上的10個問題，具體見表2.

表2 Beman & Smith(1900)中的歷史問題

Young & Jackson (1908a)采用了14世紀數(shù)學手稿以及17—18世紀法國數(shù)學家奧澤南(J. Ozanam, 1640—1718)、英國數(shù)學家桑德森(N. Sanderson, 1682—1739)、辛普森(T. Simpson, 1710—1761)和19世紀英國數(shù)學家布蘭德(M. Bland, 1786—1868)有關著作中的數(shù)學問題，如：

· 今有3個酒桶，總容積為79加侖.第二個酒桶比第一個酒桶的一半多了3加侖，第三個酒桶比第二個酒桶少7加侖.問：每個酒桶的容積各為多少加侖？(14世紀數(shù)學手稿)

· 甲對乙說：“若你給我3個硬幣，則我的硬幣和你一樣多.”乙回答說：“若你給我3個硬幣，則我的硬幣是你的兩倍.”求甲、乙各有硬幣數(shù).(奧澤南《代數(shù)基礎》，1702)

· 若干人在酒館付賬.他們發(fā)現(xiàn)，若增加3人，則每人各少付1先令；若減少兩人，則每人需多付1先令.求原來的人數(shù)和賬款.(桑德森《代數(shù)基礎》，1740)

· 7年前，某人的年齡是其兒子的4倍；7年過去了，他的年齡變成兒子年齡的2倍.求父子的年齡.(辛普森《代數(shù)專論》，1767)

Young & Jackson (1908b)采用了法國數(shù)學家奧澤南、克萊羅(A. Clairaut, 1713—1765)和英國數(shù)學家牛頓(I. Newton, 1643—1727)等的數(shù)學問題，如：

· 信使從巴黎出發(fā)去格勒諾布爾，兩地相距120里，共用了4天時間.從第二天開始，每一天比前一天少走2里.問：每天各走幾里？(奧澤南《代數(shù)基礎》，1702)

· 甲單獨完成a單位工作量，需b單位時間；乙單獨完成c單位工作量，需要d單位時間；丙單獨完成e單位工作量，需要f單位時間.問；三人一起完成g單位工作量，需要多長時間？ (克萊羅《代數(shù)》，1746)

· 甲、乙兩地相距59英里.A和B各從甲地和乙地出發(fā)，相向而行.B比A遲1小時出發(fā).A2小時走7英里，B3小時走8英里.問：A與B相遇時，A走了多遠？ (牛頓《廣義算術》，1707)

Young & Jackson (1913) 采用了18世紀英國數(shù)學家桑德森、瑞士數(shù)學家歐拉和法國數(shù)學家波素(C. Bossut, 1730—1814)的數(shù)學問題：

· 甲、乙、丙各欠某人若干鎊.已知甲、乙共欠60鎊，甲、丙共欠80鎊，乙、丙共欠92鎊.問：甲、乙、丙各欠多少鎊？(桑德森《代數(shù)基礎》，1740)

· 一座房子值錢100元.若A除了自己的錢外，還擁有B的錢的一半，B除了自己的錢外還擁有C的錢的三分之一，C除了自己的錢外還擁有A的錢的四分之一，他們各自就能買得起這座房子.問：A、B、C各有多少錢？(歐拉《代數(shù)基礎》，1770)

· 一個裝滿水的容器共有A、B、C三個排水孔.若三孔同開，則6小時排空；僅用B孔排空容器所需時間是僅用A孔所需時間的3/4倍；僅用C孔排空容器所需時間是僅用B孔所需時間的兩倍.問：各排水孔單獨排空容器，各需多長時間？(波素《代數(shù)基礎》，1773)

Schultze (1918) 在全書最后給出1012道復習題，其中有三題源于數(shù)學史：

· 完滿數(shù)指的是與所有真因數(shù)之和相等的數(shù).若數(shù)列20，21，22，…，2n的和為素數(shù)，則該數(shù)乘以數(shù)列的最后一項，結果為完滿數(shù).(歐幾里得)試求出4個完滿數(shù).

· 一則阿拉伯傳說指出，象棋是由一位名叫賽薩的人為娛樂印度國王希蘭而發(fā)明的.這位國王承諾獎賞發(fā)明者：在棋盤的第一格放1粒麥子，在第二格放2粒，在第三格放4粒等等，后一格的麥粒數(shù)是前一格的兩倍.試求賽薩將要獲得的麥粒數(shù).

2.6 專題歷史

數(shù)學專題的歷史通常以注解的形式出現(xiàn)，主要追溯某個主題(公式、定理)的起源、發(fā)現(xiàn)者或簡史.

Slaught & Lennes (1915)在全書的18個主題之后加了歷史注解：印度-阿拉伯數(shù)碼的起源、運算符號的起源、括號(包括大、中、小括號)的起源、乘除法分配律的起源、“代數(shù)”一詞的起源、用字母表示未知數(shù)、負數(shù)概念的發(fā)展、加法的結合律與交換律、乘法的結合律與交換律、指數(shù)、畢達哥拉斯定理、分數(shù)的書寫方法、比與比例、字母系數(shù)方程與求根公式、用圖形表示方程、根式、二次方程與虛根、二項式定理.

Young & Jackson (1913) 則在每一章的末尾給出歷史注解，見表3.

與其他教科書不同，Cajori & Odell (1915; 1916)將有關數(shù)學史內(nèi)容以整節(jié)的篇幅寫入正文之中(但用了小號字)，而非放在全書或某一章最后的附錄之中.如“代數(shù)學的肇始”、“一元二次方程的歷史”、“分數(shù)的歷史”、運算律的歷史、對數(shù)的發(fā)明等等.

關于代數(shù)學的早期歷史(圖7)，Cajori & Odell介紹了古埃及人表達方程的方法，丟番圖(Diophantus, 3世紀)、韋達、努內(nèi)茨(P. Nunes, 1502—1578)表達冪的方法，雷科德等號“=”的發(fā)明.

關于運算律，Cajori & Odell告訴讀者，盡管代數(shù)學的歷史可以上溯到公元前2000年，但在19世紀以前，人們只是默認交換律、結合律和分配律是正確的，無人給出證明，19世紀法國、德國、美國有關數(shù)學家的工作才使代數(shù)學臻于完善.法國數(shù)學家賽爾瓦(F. J. Servois, 1768—1847)最早給出“交換律”和“分配律”之名 ；英國數(shù)學家哈密爾頓最早給出“結合律”之名.

表3 Young & Jackson (1913)中的歷史注解

關于對數(shù)的歷史，Cajori & Odell介紹了蘇格蘭數(shù)學家納皮爾(J. Napier, 1550—1617)在發(fā)明對數(shù)之前的一段經(jīng)歷：納皮爾曾長期住在恩德里克河畔一座風景秀麗的城堡里.城堡對岸有一家棉絨廠，廠里發(fā)出的噪音常常打斷納皮爾的思路，納皮爾曾希望廠主關掉工廠.

2.7 數(shù)學概念

如果一個知識點發(fā)生發(fā)展的邏輯序和歷史序有差異，那么教科書在編排該知識點時就需要在參照學生心理序的基礎上，在兩者之間作出適當?shù)倪x擇.Beman & Smith(1900)借鑒歷史序來呈現(xiàn)數(shù)系擴充的過程，如圖8所示.編者將零的引入安排在負數(shù)之后，也符合歷史序.

2.8 思想方法

Slaught & Lennes (1915)在一元二次方程的解法中，除了通常的配方法，還采用了“印度配方法”：在方程ax2+bx+c=0兩邊乘以二次項系數(shù)4a，得

4a2x2+4abx=-4ac，

兩邊加上b2，得

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac，

即

2ax+b2=b2-4ac.

這種配方法最早由11世紀印度數(shù)學家斯律陀羅(Siridara)給出，其優(yōu)點是避開了分數(shù)的使用.

圖7 Cajori & Odell (1915, 1916)所介紹的代數(shù)學早期歷史

圖8 負數(shù)的引入

3 討論

3.1 數(shù)學史的運用方式

數(shù)學教科書運用數(shù)學史的方式可分為點綴式、附加式、復制式、順應式和重構式五種(汪曉勤，2012).

點綴式是以“裝飾”、“美化”、“人性化”為目的的運用方式.數(shù)學家的畫像、古代數(shù)學書籍、數(shù)學符號、測量或作圖工具的圖片、反映數(shù)學主題的藝術作品等都屬于點綴式素材.所考察的11種代數(shù)教科書中，出現(xiàn)最多的點綴式素材是數(shù)學家的畫像.但點綴式素材并非僅僅為點綴而點綴，而是以圖輔文、圖文相配.如，Cajori & Odell (1915，1916)在介紹代數(shù)學歷史時，介紹了韋達和笛卡兒表達方程的方式，故在不同章的末尾配上兩位數(shù)學家畫像，并在畫像的下方給出各自的方程表達方式.一般地說，教科書使用的都是對所涉及學科或主題作出重大貢獻的數(shù)學家的畫像.

附加式是以“追溯歷史起源、補充歷史知識、提供輔助材料”為目的的運用方式，附加式素材通常以附錄、注解的形式出現(xiàn)，可與正文內(nèi)容分離.11種代數(shù)教科書中，名人名言、詞源分析、數(shù)學家生平介紹、數(shù)學專題的歷史注解均屬于附加式素材.

復制式是指原原本本采用歷史上的數(shù)學問題、問題解法、定理證法等，或直接在正文中介紹有關主題的歷史.復制式數(shù)學史素材是教科書正文不可分割的一部分，其功能是提供數(shù)學問題、再現(xiàn)古人智慧、促進數(shù)學學習.在11種教科書中，采自數(shù)學史文獻的問題和方法都屬于復制式素材.

所謂順應式，是指根據(jù)歷史材料來編制問題，或將歷史上的數(shù)學問題進行改編，使之更適合于今日的教學，或將歷史上的思想方法進行改進、簡化使之順應時代.順應式數(shù)學史素材也是教科書不可分割的一部分，其功能是提供數(shù)學問題、增加探究機會、展示數(shù)學思想、激發(fā)學習興趣.盡管11種教科書采用了較多的數(shù)學史問題，但只有Schultze (1918)的開普勒行星定律的應用問題和完滿數(shù)問題屬于順應式.

重構式是指借鑒知識的發(fā)生、發(fā)展歷史，以發(fā)生法來呈現(xiàn)知識.重構并非原原本本的重復，而是在借鑒歷史的基礎上，結合知識的邏輯序和學生的心理序，自然而然地呈現(xiàn)一個主題，其功能是把握認知基礎、激發(fā)學習動機、促進數(shù)學理解.Beman & Smith (1900)引入負數(shù)概念的方式即屬于重構式.然而，這種方式在早期教科書中用得很少.

圖9給出了11種教科書中的數(shù)學史素材類別與五種運用方式之間的對應關系.

圖9 各類數(shù)學史素材在代數(shù)教科書中的不同運用方式

3.2 數(shù)學史素材的若干特點

早期代數(shù)教科書對數(shù)學史素材的運用，呈現(xiàn)出以下特點.

其一，不同教科書運用數(shù)學史的情況千差萬別.

11種代數(shù)教科書或多或少都運用了數(shù)學史，但運用數(shù)學史的數(shù)量和方式不盡相同，并沒有什么標準.若進一步考察同時代更多的代數(shù)教科書，則會發(fā)現(xiàn)：在很多教科書中幾乎見不到任何數(shù)學史素材.顯然，數(shù)學教科書中是否運用數(shù)學史、運用多少、如何運用，都取決于編寫者對數(shù)學史的了解以及對數(shù)學史教育價值的認識.Beman & Smith(1900)、Young & Jackson(1913)、Cajori & Odell(1915)、Slaught & Lennes(1915)等運用數(shù)學史，成了那個時代的典范.

其二，數(shù)學教科書運用數(shù)學史的情況與同時代數(shù)學史學術研究狀況密切相關.

史密斯、卡約黎都是專業(yè)數(shù)學史家，而貝曼、楊格(J. W. A. Young, 1865—1948)、斯勞特(H. E. Slaught, 1861—1937)等數(shù)學家對數(shù)學史也都有濃厚的興趣，貝曼曾與史密斯合作翻譯德國學者芬克(K. Fink, 1851—1898)的《初等數(shù)學史》(1899)和《數(shù)學簡史》(1900)，楊格在數(shù)學史方面也有著述.盡管如此，他們所掌握的數(shù)學史知識明顯有著時代的局限性.例如，他們在教科書中只字未提中國古代數(shù)學家對負數(shù)的運用以及在二項式定理、一元高次方程、高次方程組、等差數(shù)列等方面的具有世界意義的工作.實際上，在英國著名科學史家李約瑟(J. Needham, 1900—1995)出版《中國的科學與文明》之前，西方學者對于中國古代數(shù)學成就知之甚少；甚至連M·克萊因(M. Kline, 1908—1992)這樣學問宏博的數(shù)學史家也完全忽略中國古代數(shù)學的成就.

其三，數(shù)學課程改革對數(shù)學史在教科書中的運用產(chǎn)生重要影響.

20世紀初，培利運動如火如荼，科學人文主義運動方興未艾，數(shù)學課程處在變革之中.由美國數(shù)學協(xié)會(史密斯、斯勞特先后擔任過會長)成立、楊格擔任會長的“全國數(shù)學需求委員會”試圖對美國的數(shù)學課程進行重構，該委員會在報告建議，為了激發(fā)學生對數(shù)學的興趣，揭示該學科的意義，必須在教學中廣泛使用數(shù)學歷史和傳記材料(The National Committee of Mathematical Requirements, 1922).在這樣的背景下，作為課程改革的引領者，斯勞特、楊格、史密斯等在教科書中注重數(shù)學史素材的運用，也就成為自然而然的事了.

4 結語

20世紀初的11種美國代數(shù)教科書使用了較為豐富的數(shù)學史素材，涉及名人名言、數(shù)學人物、數(shù)學名詞、文獻資料、數(shù)學問題、數(shù)學概念、思想方法、專題歷史等，其中使用最多的是數(shù)學問題和專題歷史；運用數(shù)學史的方式有點綴式、附加式、復制式、順應式和重構式，但順應式和重構式很少出現(xiàn)；教科書運用數(shù)學史的情況與同時代數(shù)學史研究、編寫者的數(shù)學史素養(yǎng)以及當時的數(shù)學課程改革大背景息息相關.

數(shù)學史融入數(shù)學教科書，在今天仍是一個頗受關注的主題，早期教科書所用數(shù)學史素材的類別較為豐富，為我們帶來了很多思想啟迪.

其一，讓數(shù)學人性化、富有趣味性和吸引力，是教科書運用數(shù)學史材料的重要目的之一，教師或教科書在介紹數(shù)學家生平時，可以按照“一個人物、一個故事、一個主題和一種思想”來展開；

其二，名人名言、數(shù)學術語的詞源、專題的歷史等附加式素材在今日教科書中并不多見，而這些素材都有助于學生對相關主題的學習，完全可用于今日教科書或課堂教學之中；

其三，歷史上的數(shù)學問題或基于數(shù)學史編制的數(shù)學問題是最重要的復制式或順應式素材，盡管近年來中考或高考試卷上出現(xiàn)了一些數(shù)學文化問題，但問題來源相對單一，基于數(shù)學史的問題編制理應成為未來數(shù)學教師重要的研究課題；

其四，兼顧歷史序、邏輯序和心理序，是概念呈現(xiàn)或概念教學的指導思想，是否遵循這一指導思想，決定數(shù)學史運用水平的高下.

將數(shù)學史融入數(shù)學教科書是一項系統(tǒng)工程.編寫者不僅需要對數(shù)學學科的育人價值以及數(shù)學史獨特的教育價值有深刻的認識，而且需要掌握豐富的數(shù)學史素材和對數(shù)學史料進行裁剪和加工的策略.在20世紀之初浩如煙海的西方代數(shù)教科書中，只有極少數(shù)運用數(shù)學史，這一事實充分證明：對于教科書編寫者而言，數(shù)學史的運用并非易事，而要做到歷史序、邏輯序和心理序的統(tǒng)一，則更為艱難.我們有理由相信，教科書如何運用數(shù)學史素材、用什么數(shù)學史素材，是一個需要數(shù)學教育研究者和數(shù)學史研究者交流合作、長期研究的課題.