基于拒絕抽樣算法的結(jié)構(gòu)體系可靠度更新

馬君明，李 惠,2，蘭成明，劉彩平

(1. 北京科技大學(xué)國(guó)家材料服役安全科學(xué)中心，北京 100083；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江，哈爾濱 150090；3. 北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京 100083)

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，工程結(jié)構(gòu)的安全性日益為人們所關(guān)注，土木工程結(jié)構(gòu)可靠度研究的重點(diǎn)是量化結(jié)構(gòu)失效事件中的不確定性[1-2]。不確定性本質(zhì)上是對(duì)各類信息或認(rèn)識(shí)缺失的表現(xiàn)，如表征材料性能、幾何參數(shù)、抗力計(jì)算模式及作用統(tǒng)計(jì)模型的隨機(jī)變量都包含不確定性[3]，隨機(jī)變量的不確定性可由樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析進(jìn)行量化，通過(guò)檢測(cè)、監(jiān)測(cè)及驗(yàn)證荷載試驗(yàn)等手段獲取的可減小隨機(jī)變量不確定性的額外信息一般稱為觀測(cè)信息，結(jié)合觀測(cè)信息采用Bayesian 理論對(duì)隨機(jī)變量已有信息進(jìn)行更新，可以提升對(duì)隨機(jī)變量不確定性的認(rèn)知[4-9]，降低不確定性的影響，實(shí)現(xiàn)基于觀測(cè)信息的結(jié)構(gòu)可靠度更新。

基于觀測(cè)信息的可靠度更新求解算法方面，Schall 等[10]提出使用二階矩方法求解條件失效概率分母中的積分常數(shù)，但在處理多個(gè)觀測(cè)信息時(shí)，確定聯(lián)合事件域內(nèi)的“設(shè)計(jì)點(diǎn)”存在困難，且該近似方法的求解誤差難以定量評(píng)估。對(duì)于特定荷載作用下結(jié)構(gòu)未發(fā)生失效的條件失效概率，即驗(yàn)證荷載下的條件失效概率，Der Kiureghian 等[11]采用隨機(jī)模擬選擇安全域內(nèi)的隨機(jī)樣本實(shí)現(xiàn)可靠度更新，研究未獲取隨機(jī)變量后驗(yàn)的分布特征。Straub 和Der Kiureghian[12-13]首 先 將Bayesian 網(wǎng)絡(luò)引入結(jié)構(gòu)可靠度更新，通過(guò)對(duì)等式觀測(cè)信息離散化建立條件概率表進(jìn)而構(gòu)建Bayesian 網(wǎng)絡(luò)，提出節(jié)點(diǎn)消除算法實(shí)現(xiàn)基于Bayesian 網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可靠度更新。孫鴻賓等[14]在中國(guó)較早提出采用Bayesian網(wǎng)絡(luò)處理已知檢測(cè)信息條件下的可靠度更新，研究中未考慮隨機(jī)變量相關(guān)性對(duì)更新結(jié)果的影響。由于Bayesian 網(wǎng)絡(luò)在處理相關(guān)隨機(jī)變量時(shí)需要將隨機(jī)變量的聯(lián)合分布轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量間的條件分布，轉(zhuǎn)化過(guò)程較為復(fù)雜，因此Bayesian 網(wǎng)絡(luò)在處理含有相關(guān)隨機(jī)變量觀測(cè)信息的可靠度更新時(shí)計(jì)算量偏大且計(jì)算效率不高。隨機(jī)變量后驗(yàn)概率密度函數(shù)分母中的積分常數(shù)是結(jié)構(gòu)可靠度Bayesian更新計(jì)算的難點(diǎn)，而通過(guò)抽樣得到服從后驗(yàn)分布的隨機(jī)樣本可以回避求解積分常數(shù)[15-17]。MCMC方法作為一般隨機(jī)抽樣方法可用于解決該問(wèn)題，但是MCMC 算法存在較長(zhǎng)的初始波動(dòng)段，對(duì)于多隨機(jī)變量概率密度更新問(wèn)題，其計(jì)算量隨著隨機(jī)變量數(shù)目的增加而急劇增大[18]，且進(jìn)行統(tǒng)計(jì)量估計(jì)時(shí)，樣本的自相關(guān)性會(huì)影響估計(jì)值的準(zhǔn)確性，設(shè)置采樣間隔可以降低樣本的自相關(guān)性，但計(jì)算量顯著增加。理論上拒絕抽樣算法可以很好地解決該問(wèn)題，拒絕抽樣可產(chǎn)生服從不具有完備形式的概率密度函數(shù)(實(shí)數(shù)域上積分不為1)的隨機(jī)樣本，根據(jù)目標(biāo)分布構(gòu)造相應(yīng)的樣本接受域，選擇符合目標(biāo)分布的隨機(jī)樣本，實(shí)現(xiàn)隨機(jī)變量后驗(yàn)概率密度函數(shù)中分子核密度的隨機(jī)抽樣[19-22]。

本文首先基于Bayesian 理論建立考慮觀測(cè)信息的結(jié)構(gòu)體系失效概率更新模型，根據(jù)觀測(cè)信息事件類型分別建立不等式和等式觀測(cè)信息條件下隨機(jī)變量的似然函數(shù)并推導(dǎo)其后驗(yàn)概率密度函數(shù)，建立不等式和等式觀測(cè)信息條件下的觀測(cè)信息域，基于觀測(cè)信息域確定隨機(jī)變量后驗(yàn)樣本的拒絕抽樣策略，在理論層面將不等式觀測(cè)信息與等式觀測(cè)信息統(tǒng)一在結(jié)構(gòu)體系可靠度更新模型中；其次研究拒絕抽樣算法的抽樣效率，推導(dǎo)更新后結(jié)構(gòu)體系失效概率估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，形成完整的結(jié)構(gòu)體系可靠度Bayesian 更新模型及其拒絕抽樣策略。以剛架結(jié)構(gòu)發(fā)生塑性破壞體系可靠度更新為例，深入研究抗力檢測(cè)值、檢測(cè)誤差及驗(yàn)證荷載對(duì)隨機(jī)變量后驗(yàn)概率密度與體系失效概率的影響，并與MCMC 計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證基于拒絕抽樣的體系可靠度更新結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 結(jié)構(gòu)體系可靠度更新模型

彈塑性結(jié)構(gòu)體系通常以塑性鉸增加，結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)構(gòu)定義結(jié)構(gòu)體系失效[23-24]。由于結(jié)構(gòu)體系失效模式數(shù)量龐大，一般通過(guò)對(duì)失效概率較大的顯著失效模式進(jìn)行研究確定結(jié)構(gòu)體系的失效概率，某一顯著失效模式是由失效單元(構(gòu)件)組成的并聯(lián)模型，結(jié)構(gòu)體系失效可視為由顯著失效模式組成的串聯(lián)模型[25]。定義第i個(gè)顯著失效模式為事件Fi，則結(jié)構(gòu)體系失效事件F為其顯著失效事件Fi的并集，可表示為：

式中，k為結(jié)構(gòu)形成顯著失效模式的個(gè)數(shù)。則結(jié)構(gòu)體系失效概率Pf(F)可表示為：

式中：f(x) 為隨機(jī)變量X={X1,X2,···,Xn}的聯(lián)合概率密度函數(shù)； ΩF為失效域[26]。對(duì)于串聯(lián)體系，Ditlevsen 推導(dǎo)體系失效概率的窄界估計(jì)如下[27]：

式中，Pf(Fi) 為第i個(gè)顯著失效模式的失效概率，按降序排列。

結(jié)構(gòu)服役過(guò)程中可以通過(guò)各種觀測(cè)手段獲得影響可靠度隨機(jī)變量的觀測(cè)信息，根據(jù)隨機(jī)變量聯(lián)合概率密度函數(shù)(先驗(yàn)概率密度函數(shù))f(x)及隨機(jī)變量觀測(cè)信息的似然函數(shù)L(x)，采用Bayesian理論更新隨機(jī)變量的后驗(yàn)概率密度函數(shù)f′(x)[28]：

后文將根據(jù)觀測(cè)信息似然函數(shù)的表達(dá)形式將其分為不等式觀測(cè)信息和等式觀測(cè)信息逐一討論。

1.1 不等式觀測(cè)信息的似然函數(shù)

不等式觀測(cè)信息一般是指觀測(cè)到某一確定荷載工況條件下(部分隨機(jī)變量取確定值)結(jié)構(gòu)某一特定功能未發(fā)生失效，即所謂“驗(yàn)證荷載”。這類觀測(cè)信息的似然函數(shù)可通過(guò)功能函數(shù)g(x)進(jìn)行表達(dá)，不等式觀測(cè)信息的似然函數(shù)L1(x)記為：

式中：x0表示某一確定荷載工況條件下部分隨機(jī)變量取確定值；I[·]為示性函數(shù)：

式中，g(x0)>0和g(x0)≤0分別表示在該確定荷載條件下結(jié)構(gòu)特定功能未失效和失效兩種狀態(tài)。該類觀測(cè)信息的似然函數(shù)以不等式形式表示，因此稱為不等式觀測(cè)信息。

1.2 等式觀測(cè)信息的似然函數(shù)

等式觀測(cè)信息是指通過(guò)特定觀測(cè)手段獲得結(jié)構(gòu)服役過(guò)程中隨機(jī)變量X或其函數(shù)h(X)的觀測(cè)值hm(x) ，獲取的信息必然存在觀測(cè)誤差 ε，這類觀測(cè)信息的似然函數(shù)采用觀測(cè)誤差 ε的概率密度函數(shù)fε(·)的等式形式表達(dá)，因此稱為等式觀測(cè)信息。等式觀測(cè)信息的似然函數(shù)L2(x)記為：

由式(6)和式(8)可以看出，觀測(cè)信息的似然函數(shù)表征觀測(cè)信息的范圍。其中，不等式觀測(cè)信息的似然函數(shù)為示性函數(shù)，提供隨機(jī)變量取值范圍的信息；等式觀測(cè)信息的似然函數(shù)為觀測(cè)誤差的概率密度函數(shù)，提供隨機(jī)變量取值的概率信息。不等式觀測(cè)信息一般用于表征荷載隨機(jī)變量的觀測(cè)信息，而等式觀測(cè)信息一般用于表征抗力隨機(jī)變量的觀測(cè)信息。

2 結(jié)構(gòu)體系可靠度更新的拒絕抽樣算法

理論上，式(4)中隨機(jī)變量后驗(yàn)概率密度函數(shù)分母中的積分常數(shù)難以通過(guò)解析計(jì)算獲得，為避免復(fù)雜的積分運(yùn)算，可對(duì)式(4)中分子核密度函數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬獲得服從后驗(yàn)概率密度函數(shù)的隨機(jī)樣本。通過(guò)拒絕抽樣算法獲取服從式(4)的隨機(jī)樣本的抽樣策略如下[19]：隨機(jī)樣本xˉ服從先驗(yàn)概率密度函數(shù)f(x) ，存在滿足A≥max[L(x)]的任意常數(shù)A，若滿足Au≤L(xˉ) ，則隨機(jī)樣本xˉ服從后驗(yàn)概率密度函數(shù)f′(x) ，其中，u為(0, 1)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，證明如下：

顯然，常數(shù)A與后驗(yàn)概率密度函數(shù)的分母共同決定拒絕抽樣算法的抽樣效率，因?yàn)椋笳呤浅?shù)，所以，A在滿足A≥max[L(x)]前提下，應(yīng)盡可能取接近似然函數(shù)上確界的數(shù)值以提高拒絕抽樣算法獲取后驗(yàn)樣本的效率。

定義式(9)中樣本選擇域?yàn)橛^測(cè)信息事件域ΩZ={Au≤L(x)|x,u}，則可靠度更新可表達(dá)為觀測(cè)信息事件Z條件下的結(jié)構(gòu)失效概率：

體系失效是由其顯著失效模式控制，根據(jù)式(11)可以看出，體系可靠度更新過(guò)程中假定顯著失效模式未發(fā)生變化。實(shí)際觀測(cè)信息會(huì)導(dǎo)致體系不同失效模式的失效概率發(fā)生變化，因此，更新過(guò)程中需要保證可靠度更新前、后所選取的顯著失效模式未發(fā)生變化。

2.1 不等式觀測(cè)信息條件下后驗(yàn)樣本的拒絕抽樣

根據(jù)式(4)和式(6)，不等式觀測(cè)信息條件下隨機(jī)變量X的后驗(yàn)概率密度函數(shù)可表示為：

從不等式觀測(cè)信息的后驗(yàn)概率密度函數(shù)可以看出，先驗(yàn)概率密度函數(shù)與似然函數(shù)的乘積表示以示性函數(shù)重新定義先驗(yàn)概率密度函數(shù)的定義域。采用式(9)的抽樣策略時(shí)，由于似然函數(shù)為示性函數(shù)，其最大值為1，所以A取為1 時(shí)，式(9)可表示為：

2.2 等式觀測(cè)信息條件下后驗(yàn)樣本的拒絕抽樣

根據(jù)式(4)和式(8)，等式觀測(cè)信息條件下隨機(jī)變量X的后驗(yàn)概率密度函數(shù)可表示為：

為了獲取服從f′(x)的隨機(jī)樣本，可采用式(9)抽樣策略。其中，先驗(yàn)樣本根據(jù)隨機(jī)變量的先驗(yàn)概率密度函數(shù)產(chǎn)生，即使隨機(jī)變量間存在相關(guān)性，也無(wú)需確定隨機(jī)變量之間的條件概率分布。由于，拒絕抽樣算法需要滿足A≥max[L2(x)]，因此，需要確定似然函數(shù)上確界，若A不滿足此要求，則獲取的樣本無(wú)效。

觀測(cè)信息域 ΩZ是在隨機(jī)變量X基礎(chǔ)上加入均勻分布隨機(jī)變量u構(gòu)成的事件域：

由式(16)可知，拒絕抽樣算法將等式觀測(cè)信息轉(zhuǎn)化為不等式觀測(cè)信息。

2.3 體系可靠度更新與誤差分析

可以看出，結(jié)構(gòu)體系條件失效概率估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差是 Pr(Z)的函數(shù)，觀測(cè)信息事件數(shù)量越多，則似然函數(shù)對(duì)應(yīng)的觀測(cè)信息域交集越小， Pr(Z)減小，對(duì)應(yīng)的條件失效概率估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差將增大。因此，當(dāng)觀測(cè)信息事件數(shù)量較大時(shí)，為降低條件失效概率估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差，需要增加服從先驗(yàn)概率密度函數(shù)隨機(jī)樣本的數(shù)量。根據(jù)式(19)，可得出滿足條件失效概率估計(jì)值變異系數(shù)VP?f(F|Z)所需的先驗(yàn)樣本數(shù)目ns：

顯然，當(dāng) Pr(F∩Z)處于(10-4, 10-3)時(shí)，為滿足條件失效概率估計(jì)值的變異系數(shù)不超過(guò)0.1，至少需要先驗(yàn)樣本的數(shù)量達(dá)到(105, 106)個(gè)，后續(xù)拒絕抽樣隨機(jī)模擬過(guò)程中先驗(yàn)樣本數(shù)量取為107個(gè)。后續(xù)計(jì)算分析中，為驗(yàn)證拒絕抽樣算法模擬的準(zhǔn)確性，進(jìn)一步采用MCMC 算法中的改進(jìn)Metropolis-Hastings (MH)算法對(duì)結(jié)構(gòu)體系的失效概率進(jìn)行更新[29]。改進(jìn)MH 算法通過(guò)構(gòu)造穩(wěn)態(tài)分布為目標(biāo)分布的馬爾可夫鏈生成隨機(jī)樣本，其中目標(biāo)分布為隨機(jī)變量的后驗(yàn)分布，如式(12)和式(15)所示。為便于比較拒絕抽樣算法與改進(jìn)MH 算法的計(jì)算效率，且保證更新后失效概率具有相近的精度，計(jì)算時(shí)兩種算法均獲取相同的后驗(yàn)樣本數(shù)量，即調(diào)用功能函數(shù)的次數(shù)相同，根據(jù)所需抽樣樣本的數(shù)量對(duì)比拒絕抽樣算法與改進(jìn)MH 算法的計(jì)算效率。

3 單層剛架體系可靠度更新

如圖1 所示某單層剛架受到水平荷載H和豎向荷載V作用，其中5 個(gè)關(guān)鍵控制截面的塑性抵抗矩Ri(i=1,2,···,5)互為相關(guān)的隨機(jī)變量，各隨機(jī)變量分布類型及參數(shù)取值在表1 中給出，具體詳見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。

圖1 單層剛架模型及其3 種失效模式Fig. 1 Single-story planar frame and its failure mechanisms

表1 各隨機(jī)變量分布類型及分布參數(shù)Table 1 Distribution types and parameters for random variables

剛架發(fā)生塑性破壞時(shí)3 種顯著失效模式如圖1所示，體系失效是由失效單元和顯著失效模式組成的串-并聯(lián)模型，相應(yīng)的功能函數(shù)及失效域?yàn)椋?/p>

采用直接Monte Carlo 方法計(jì)算得到3 種顯著失效模式對(duì)應(yīng)的失效概率分別為：1.016×10-2、1.755×10-3和2.342×10-2，相應(yīng)結(jié)構(gòu)體系發(fā)生塑性破壞的失效概率為2.644×10-2，根據(jù)式(3)估計(jì)得到失效概率的界限為(2.639×10-2, 2.647×10-2)。

3.1 不等式觀測(cè)信息的可靠度更新

通過(guò)驗(yàn)證荷載對(duì)剛架承載能力進(jìn)行檢測(cè)，已知豎向荷載V取v0=100 kN時(shí)剛架未失效，則由式(14)與式(21)可確定其不等式觀測(cè)信息事件域?yàn)棣竄={∩gi>0|v0=100 kN},(i=1,2,3)。首 先 根據(jù)表1 給出的隨機(jī)變量分布類型及分布參數(shù)生成水平荷載H和截面塑性抵抗矩Ri(i=1,2,···,5)的先驗(yàn)樣本，根據(jù)觀測(cè)信息事件域 ΩZ和式(12)計(jì)算各隨機(jī)變量的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，即滿足觀測(cè)信息事件域隨機(jī)變量的先驗(yàn)樣本作為該觀測(cè)信息條件下隨機(jī)變量的后驗(yàn)樣本。根據(jù)拒絕抽樣算法獲得的各截面塑性抵抗矩的先驗(yàn)、后驗(yàn)樣本及其概率密度函數(shù)(PDF)在圖2 中給出。

從圖2(a)～圖2(e)可以看出，各截面塑性抵抗矩R1、R2、R3、R4和R5的后驗(yàn)概率密度均向右偏移，剛架在驗(yàn)證荷載v0=100 kN作用下未失效，各截面塑性抵抗矩取大值的概率增加。根據(jù)觀測(cè)信息域可知，截面塑性抵抗矩R3對(duì)功能函數(shù)g2和g3的影響最大，截面塑性抵抗矩R3對(duì)驗(yàn)證荷載v0最敏感，因此，截面塑性抵抗矩R3的后驗(yàn)概率密度變化最大。從圖2(f)可以看出，水平荷載H的后驗(yàn)概率密度略向左偏移，即在驗(yàn)證荷載v0=100 kN 作用下結(jié)構(gòu)未失效，水平荷載H取大值的概率降低。

圖2 不等式信息觀測(cè)條件下各隨機(jī)變量的先驗(yàn)和后驗(yàn)樣本及其概率密度函數(shù)Fig. 2 Prior and posterior samples and their PDFs of random variables under inequality observation information condition

由式(17)計(jì)算更新后結(jié)構(gòu)體系的失效概率為2.279×10-4，此時(shí)根據(jù)后驗(yàn)樣本估計(jì)顯著失效模式g1的失效概率等于0，因此采用式(3)得到結(jié)構(gòu)體系失效概率的上、下界限與更新后結(jié)構(gòu)體系的失效概率相同?？梢钥闯?，由于增加觀測(cè)信息，即在驗(yàn)證荷載v0=100 kN作用下結(jié)構(gòu)未失效，更新后結(jié)構(gòu)體系的失效概率與原失效概率相比顯著減小。采用改進(jìn)MH 算法對(duì)結(jié)構(gòu)體系的失效概率進(jìn)行更新，計(jì)算得到失效概率為2.320×10-4，兩種算法得到更新后體系失效概率較接近，但為降低MH 算法后驗(yàn)樣本的自相關(guān)性并獲得與拒絕抽樣相同的后驗(yàn)樣本數(shù)量，MH 算法需要抽樣樣本數(shù)量遠(yuǎn)大于拒絕抽樣。

3.2 等式觀測(cè)信息的可靠度更新

采用相關(guān)檢測(cè)方法對(duì)截面塑性抵抗矩R4和R5進(jìn)行檢測(cè)，得到R4和R5的檢測(cè)值分別為r4,m=150 kN·m和r5,m=200 kN·m ，已 知 檢 測(cè) 誤 差εRi服從正態(tài)分布 εRi～N(0,15)，i=4,5，即檢測(cè)誤差的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為 15 kN·m ，且R4和R5的檢測(cè)誤差互相獨(dú)立。根據(jù)式(8)，觀測(cè)信息的似然函數(shù)表示為：

為提高后驗(yàn)樣本的接受概率，常數(shù)A選取似然函數(shù)的最大值A(chǔ)=max[Lr4,r5(r4,r5)]=7.074×10-4。圖3 給出1000 個(gè)先驗(yàn)樣本的拒絕抽樣過(guò)程，圖中全部數(shù)據(jù)點(diǎn)為服從先驗(yàn)概率密度函數(shù)的R4、R5的隨機(jī)樣本，曲面下方為樣本選擇域：Auˉ≤Lr4,r5(rˉ4,rˉ5)，則曲面下方的數(shù)據(jù)點(diǎn)即為選擇得到的服從后驗(yàn)概率密度函數(shù)的隨機(jī)樣本。各截面塑性抵抗矩的先驗(yàn)、后驗(yàn)樣本及其概率密度函數(shù)在圖4 中給出。

圖3 拒絕抽樣隨機(jī)樣本選擇示意圖Fig. 3 Schematic diagram of rejection sampling for random samples

從圖4(d)和圖4(e)中可看出，由于增加截面塑性抵抗矩R4和R5的觀測(cè)信息，因此兩者的后驗(yàn)概率密度集中于相應(yīng)的檢測(cè)值附近。雖然增加的觀測(cè)信息與R4和R5直接相關(guān)，但由于各截面塑性抵抗矩的先驗(yàn)分布是正相關(guān)的，使得截面塑性抵抗矩R1、R2和R3的后驗(yàn)概率密度也發(fā)生變化，相對(duì)于先驗(yàn)概率密度向右偏移，均值略有增大，見(jiàn)圖4(a)～圖4(c)。由于荷載隨機(jī)變量V和H與各截面塑性抵抗矩互相獨(dú)立，因此，這兩個(gè)隨機(jī)變量的后驗(yàn)概率密度不受R4和R5觀測(cè)信息的影響。

圖4 等式觀測(cè)信息條件下截面塑性抵抗矩的先驗(yàn)和后驗(yàn)樣本及其概率密度函數(shù)Fig. 4 Prior and posterior samples and their PDFs of resistance moments under equality observation information condition

由式(17)計(jì)算得到更新后結(jié)構(gòu)體系的失效概率為6.971×10-3，估計(jì)結(jié)構(gòu)體系失效概率的界限為(6.967×10-3, 6.972×10-3)，采用改進(jìn)的MH 算法獲得更新后結(jié)構(gòu)體系的失效概率為6.900×10-3，兩種算法得到更新后體系失效概率較接近，但為降低MH 算法后驗(yàn)樣本的自相關(guān)性，需要增加其采樣間隔，因此抽樣樣本數(shù)量遠(yuǎn)大于拒絕抽樣。可以看出，由于增加觀測(cè)信息，截面塑性抵抗矩R5的后驗(yàn)均值顯著增大，且R4和R5后驗(yàn)變異性降低，使得更新后結(jié)構(gòu)體系的失效概率顯著降低。

顯然，檢測(cè)誤差將對(duì)隨機(jī)向量后驗(yàn)概率密度及失效概率產(chǎn)生較大影響，其他條件不變的前提下，以檢測(cè)誤差 εRi的標(biāo)準(zhǔn)差 σεR為變量，研究檢測(cè)誤差對(duì)隨機(jī)變量后驗(yàn)均值、標(biāo)準(zhǔn)差及失效概率的影響，相應(yīng)結(jié)果在圖5 和圖6 中給出。從圖5 中可以看出，隨著截面塑性抵抗矩檢測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)差的增大，R1、R2、R3和R5的后驗(yàn)均值逐漸減小，由于截面塑性抵抗矩檢測(cè)誤差的不確定性增大導(dǎo)致R4和R5的后驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差逐漸增大，使得更新后結(jié)構(gòu)體系的失效概率增大(見(jiàn)圖6)。從圖5 可以看出R4的后驗(yàn)均值隨檢測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)差的增加略有增大，其原因是隨著觀測(cè)信息的不確定性增大，隨機(jī)變量相關(guān)性對(duì)其后驗(yàn)分布影響增大，導(dǎo)致其后驗(yàn)均值略有增大。從上述分析可以看出，為獲取更有價(jià)值的觀測(cè)信息更新隨機(jī)變量的后驗(yàn)分布，進(jìn)而更新結(jié)構(gòu)體系的失效概率，必須嚴(yán)格控制相關(guān)檢測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，否則觀測(cè)信息不確定性增大對(duì)結(jié)構(gòu)體系失效概率的更新沒(méi)有實(shí)際意義。

圖5 檢測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)隨機(jī)變量后驗(yàn)參數(shù)的影響Fig. 5 Influences of standard deviation for detection error on parameters of posterior distribution for random variables

圖6 檢測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)更新后結(jié)構(gòu)體系失效概率的影響Fig. 6 Influences of standard deviation for detection error on updated failure probabilities

4 雙層剛架體系可靠度更新

某雙層剛架計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖7 所示，各桿件的塑性抵抗矩M1、M2、···、M5及荷載S1、S2、···、S4均為相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，相應(yīng)分布參數(shù)見(jiàn)表2。根據(jù)文獻(xiàn)[30]，該雙層剛架的8 種顯著塑性失效模式的功能函數(shù)及失效域如下：

表2 各隨機(jī)變量分布參數(shù)Table 2 Parameter values of random variables

圖7 雙層剛架計(jì)算簡(jiǎn)圖 /mFig. 7 Schematic diagram of two-story planar frame

采用直接Monte Carlo 方法計(jì)算結(jié)構(gòu)體系發(fā)生塑性破壞的失效概率為3.971×10-2，相應(yīng)界限估計(jì)為(3.823×10-2, 4.058×10-2)。

4.1 不等式觀測(cè)信息的可靠度更新

已知驗(yàn)證荷載S1、S2和S3分別為s1,0=200 kN、s2,0=120 kN和s3,0=150 kN時(shí)剛架未失效，則其觀測(cè)信息事件域 ΩZ根據(jù)式(14)和式(23)確定，拒絕抽樣過(guò)程詳見(jiàn)3.1 節(jié)，拒絕抽樣算法獲得的各桿件塑性抵抗矩的先驗(yàn)、后驗(yàn)樣本及其PDF 在圖8中給出。從圖8 可以看出，M1、M2、M3、M4和M5的概率密度略向右偏移，而S4的概率密度向左偏移，由于在該驗(yàn)證荷載條件下結(jié)構(gòu)未發(fā)生失效，說(shuō)明表征抗力的隨機(jī)變量取大值的概率增加，荷載S4取大值的概率降低。獲取后驗(yàn)樣本后，采用拒絕抽樣算法更新后結(jié)構(gòu)體系失效概率為1.761×10-3，估計(jì)結(jié)構(gòu)體系失效概率的界限為(1.756×10-3, 1.768×10-3)，更新后結(jié)構(gòu)體系的失效概率顯著減小。采用改進(jìn)的MH 算法獲得更新后結(jié)構(gòu)體系的失效概率為1.764×10-3，但為降低MH算法后驗(yàn)樣本的自相關(guān)性，需要增加其采樣間隔，因此抽樣樣本數(shù)量遠(yuǎn)大于拒絕抽樣。

圖8 不等式信息觀測(cè)條件下各隨機(jī)變量的先驗(yàn)和后驗(yàn)樣本及其概率密度函數(shù)Fig. 8 Prior and posterior samples and their PDFs of random variables under inequality observation information condition

4.2 等式觀測(cè)信息的可靠度更新

采用相關(guān)檢測(cè)方法對(duì)桿件塑性抵抗矩M1和M3進(jìn)行檢測(cè)，得到M1和M3的檢測(cè)值分別為m1,m=120 kN·m和m3,m=110 kN·m，已知檢測(cè)方法的檢測(cè)誤差 εMi服從正態(tài)分布 εMi～N(0,10)，且檢測(cè)誤差互相獨(dú)立，則觀測(cè)信息的似然函數(shù)與式(22)類似。根據(jù)拒絕抽樣算法獲得M1和M3的先驗(yàn)、后驗(yàn)樣本及其概率密度函數(shù)在圖9 中給出，由于各隨機(jī)變量相互獨(dú)立，因此觀測(cè)信息僅影響M1和M3的后驗(yàn)概率密度，同時(shí)M1和M3的先驗(yàn)概率密度相同，而M1的檢測(cè)值比M3的檢測(cè)值大，在相同檢測(cè)誤差條件下，M1的后驗(yàn)概率密度相比于M3更趨向取大值，從圖9 中可以清晰看到這點(diǎn)。采用拒絕抽樣算法更新后結(jié)構(gòu)體系的失效概率為3.862×10-3，相應(yīng)上、下界限為(3.662×10-3, 3.956×10-3)。采用改進(jìn)MH 算法獲得更新后結(jié)構(gòu)體系的失效概率為3.899×10-3，兩種算法得到的更新后體系失效概率較接近。僅改變抗力檢測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差 σεM，隨機(jī)變量后驗(yàn)均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨檢測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)差的變化曲線在圖10 中給出，相應(yīng)更新后結(jié)構(gòu)體系失效概率及其界限估計(jì)在圖11中給出。

圖9 等式觀測(cè)信息條件下隨機(jī)變量的先驗(yàn)和后驗(yàn)樣本及其概率密度函數(shù)Fig. 9 Prior and posterior samples and their PDFs of random variables under equality observation information condition

從圖10 可以看出，隨著檢測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差增大，M1和M3的后驗(yàn)均值逐漸減小，后驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差逐漸增大，這是由于檢測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差增大，觀測(cè)信息的不確定性增大，M1和M3先驗(yàn)信息的影響增大，其后驗(yàn)分布逐漸趨向先驗(yàn)分布。顯然，M1和M3的后驗(yàn)均值減小且標(biāo)準(zhǔn)差增大，導(dǎo)致更新后的失效概率逐漸增大(如圖11 所示)。由于隨機(jī)變量M1和M3的先驗(yàn)分布及似然函數(shù)均為正態(tài)分布，且相互獨(dú)立，根據(jù)共軛性質(zhì)可知其后驗(yàn)分布依然服從正態(tài)分布，其后驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差 σ′M是 σM和 σεM的函數(shù)[31]：

圖10 檢測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)隨機(jī)變量后驗(yàn)參數(shù)的影響Fig. 10 Influences of standard deviation for detection error on parameters of posterior distribution for random variables

圖11 抗力檢測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)結(jié)構(gòu)體系失效概率的影響Fig. 11 Influences of standard deviation for detection error on updated failure probability

已知M1和M3的先驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差 σM相同，檢測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差 σεM亦相同，由式(24)得出M1和M3后驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差也應(yīng)該相同。圖10 采用拒絕抽樣得到的M1和M3后驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差幾乎完全相同，進(jìn)一步驗(yàn)證了拒絕抽樣算法的準(zhǔn)確性。

5 結(jié)論

本文著重研究基于觀測(cè)信息的結(jié)構(gòu)體系可靠度更新模型及其拒絕抽樣算法。基于Bayesian 理論建立結(jié)構(gòu)體系可靠度更新模型，進(jìn)一步根據(jù)觀測(cè)信息事件類型建立不等式和等式觀測(cè)信息的隨機(jī)變量似然函數(shù)及其后驗(yàn)概率密度函數(shù)，確定觀測(cè)信息域及后驗(yàn)樣本的拒絕抽樣策略，估計(jì)拒絕抽樣算法的抽樣效率，推導(dǎo)更新后結(jié)構(gòu)體系失效概率估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)差的表達(dá)式。以剛架結(jié)構(gòu)塑性失效為例研究不同觀測(cè)信息對(duì)隨機(jī)變量后驗(yàn)概率密度及體系失效概率的影響。得到如下主要結(jié)論：

(1) 不等式與等式觀測(cè)信息的區(qū)別在于觀測(cè)信息似然函數(shù)的形式不同，不等式觀測(cè)信息對(duì)應(yīng)的是示性函數(shù)，提供隨機(jī)變量取值范圍信息，而等式觀測(cè)信息對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)是概率密度函數(shù)，提供隨機(jī)變量取值的概率信息，拒絕抽樣算法最終將等式觀測(cè)信息轉(zhuǎn)化為不等式觀測(cè)信息進(jìn)行處理，根據(jù)先驗(yàn)樣本滿足相應(yīng)觀測(cè)事件域?qū)崿F(xiàn)后驗(yàn)樣本的抽樣。

(2) 為提高等式觀測(cè)信息后驗(yàn)樣本的接受率，需要控制拒絕抽樣算法中常數(shù)A盡可能取等大于觀測(cè)信息似然函數(shù)上確界的某一小值。

(3) 拒絕抽樣算法與改進(jìn)MH 算法計(jì)算得到的更新后結(jié)構(gòu)體系失效概率較為接近，但拒絕抽樣無(wú)需考慮后驗(yàn)樣本的自相關(guān)性，可以顯著提高抽樣效率。

(4) 與抗力相關(guān)的隨機(jī)變量檢測(cè)值提高可以降低更新后結(jié)構(gòu)體系的失效概率，但需要降低檢測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，以減小隨機(jī)變量后驗(yàn)分布的變異性，否則觀測(cè)信息不確定性增大導(dǎo)致失效概率的更新沒(méi)有實(shí)際意義。

(5) 驗(yàn)證荷載值增加可以顯著降低更新后結(jié)構(gòu)體系的失效概率，此時(shí)與相應(yīng)驗(yàn)證荷載較敏感的表征抗力的隨機(jī)變量后驗(yàn)概率密度變化較顯著。