改進(jìn)LMS 算法的仿真及其分析

吳柯蒙， 魏春雨

（沈陽(yáng)建筑大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 遼寧沈陽(yáng) 110180）

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)與生產(chǎn)的發(fā)展，機(jī)械設(shè)備工作強(qiáng)度不斷增大，對(duì)工業(yè)生產(chǎn)中常用的旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障監(jiān)測(cè)與診斷具有重大的工程實(shí)踐意義。 其中，振動(dòng)信號(hào)分析是機(jī)械故障診斷技術(shù)中最有效的分析方法。由于每一個(gè)部件在運(yùn)行過(guò)程中都有自己的振動(dòng)特征，因此采用自適應(yīng)信號(hào)處理對(duì)所測(cè)得的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行信號(hào)處理是十分有效的方法。

自適應(yīng)信號(hào)處理方法能夠在迭代的過(guò)程中調(diào)整自身的參數(shù)，適應(yīng)外界環(huán)境變化帶來(lái)的影響，并通過(guò)誤差信號(hào)調(diào)整自適應(yīng)濾波器的系統(tǒng)參數(shù)。 1959 年，Widrow 和Hoff等人研究模式識(shí)別機(jī)時(shí)首次提出的最小均方（LMS）算法[1]是自適應(yīng)算法中的使用方法最簡(jiǎn)單且最常用的一種。該算法因?yàn)樵谔幚韺?shí)時(shí)信號(hào)時(shí)精度較高、穩(wěn)定性較強(qiáng)，并可以在最大程度上保留該信號(hào)的信號(hào)特征而被廣泛應(yīng)用信號(hào)降噪。 傳統(tǒng)的LMS 算法核心思想是通過(guò)對(duì)初始化的濾波器系數(shù)依據(jù)最小均方差準(zhǔn)則進(jìn)行不斷修正，進(jìn)而使系統(tǒng)的系數(shù)隨著輸入序列而改變。但是，傳統(tǒng)LMS 算法的步長(zhǎng)固定， 而想要提升算法的收斂速度需要有較大的步長(zhǎng)值，與此同時(shí)為有較低的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差， 需要采用較小的步長(zhǎng)值，二者很難兼得。由此可見，提升算法收斂速度時(shí)會(huì)加大系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)失調(diào)。 因此，許多學(xué)者對(duì)通過(guò)控制LMS 算法中的步長(zhǎng)因子等方法來(lái)減小二者的矛盾[2-4]，通過(guò)該算法進(jìn)行濾波解決降噪等方面的實(shí)際問(wèn)題[5-7]。

1 傳統(tǒng)的LMS 算法

LMS 算法迭代公式如下：

假設(shè)時(shí)間為n 時(shí)，輸入信號(hào)矢量X（n）=[X1（n），X2（n），…，Xn（n）]T，自適應(yīng)處理器的加權(quán)系數(shù)矢量W（n）=[w1（n），w2（n），…，wn（n）]T，則由圖1 自適應(yīng)算法結(jié)構(gòu)原理圖可得出[7]：

圖1 結(jié)構(gòu)原理圖

2 改進(jìn)的LMS 算法

針對(duì)LMS 算法常出現(xiàn)的收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差相互矛盾等問(wèn)題，本文對(duì)一些學(xué)者提出的變步長(zhǎng)LMS 算法及應(yīng)用進(jìn)行了學(xué)習(xí)和分析。

文獻(xiàn)[9]中引入了一個(gè)步長(zhǎng)反饋因子P（n）=pP（n）+X（n）e（n）。 該算法利用其二范數(shù)與誤差信號(hào)的相關(guān)值共同控制μ 值， 步長(zhǎng)反饋因子中加入了輸入信號(hào)作為因變量，可以精確地跟蹤系統(tǒng)的變化。

文獻(xiàn)[10]更新權(quán)系數(shù)向量為：

W（n+1）=W（n）+2μX（n）e（n）+d[W（n）-W（n-1）]+d2[W（n-2）-W（n-1）]

其中，d 取值為d=0.001（d 為一個(gè)極小的數(shù)）。為解決步長(zhǎng)下降至最小值過(guò)快的問(wèn)題，該算法增加兩個(gè)動(dòng)量項(xiàng)，有效的防止了輸入信號(hào)功率驟增所引起的算法發(fā)散。

綜上所述，以上三種算法都有各自的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)。

針對(duì)收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾問(wèn)題， 本文提出了以下改進(jìn)方法：通過(guò)參數(shù)α、β 分別調(diào)節(jié)因變量的取值大小和函數(shù)圖像的開口大?。?為加強(qiáng)輸入信號(hào)與步長(zhǎng)之間的關(guān)系，提高算法系統(tǒng)跟蹤能力，引入一個(gè)步長(zhǎng)反饋因子P（n）；Q（n）中加入誤差的相關(guān)值估計(jì)η（n）代替e2（n）調(diào)節(jié)步長(zhǎng)因子來(lái)控制過(guò)去狀態(tài)對(duì)當(dāng)前狀態(tài)的影響，提高算法抗干擾能力，降低算法對(duì)輸入噪聲的敏感性；更新權(quán)向量W（n），利用兩個(gè)動(dòng)量項(xiàng)防止信號(hào)突變所帶來(lái)的算法發(fā)散，加強(qiáng)算法的穩(wěn)定性。

綜上所述，改進(jìn)后的算法流程為：

式（8）中，帶入步長(zhǎng)反饋因子Q（n）的二范數(shù)調(diào)整算法在并未完全收斂時(shí)的收斂速度， 增強(qiáng)了算法的抗噪能力。 式（9）是當(dāng)前數(shù)據(jù)與歷史數(shù)據(jù)的變化比。 式（10）中，Q（n）用于控制函數(shù)取值范圍，m 是用來(lái)調(diào)節(jié)自相關(guān)估計(jì)值對(duì)步長(zhǎng)的影響， 一般取值大于1，k 是一個(gè)接近于0 的正值，是用來(lái)調(diào)整過(guò)去數(shù)據(jù)影響的遺忘因子。 算法中α、β、q、r、p 為常數(shù)，調(diào)整函數(shù)圖像開口大小與取值范圍，其中p、q 取值接近于1，r 為接近于0 的正值。

本文算法結(jié)合了上述三種算法的優(yōu)點(diǎn)：①計(jì)算簡(jiǎn)單；②具有較強(qiáng)的系統(tǒng)跟蹤能力； ③降低了輸入向量自相關(guān)矩陣特征值分散程度對(duì)算法的影響。

由于參數(shù)α 和β 對(duì)步長(zhǎng)有較大影響，為了能夠更好的篩選出二者的最優(yōu)值范圍，展示本文所提出的變步長(zhǎng)算法的最佳狀態(tài)，通過(guò)仿真分別討論兩個(gè)參數(shù)的取值范圍和對(duì)算法的影響。 仿真實(shí)驗(yàn)分別從，α 固定、β 變化和α 變化、β固定兩種情況下，討論步長(zhǎng)因子與誤差函數(shù)之間的關(guān)系。

當(dāng)α、β 兩參數(shù)對(duì)步長(zhǎng)的取值有較大影響， 并且從圖2、圖3 中明顯看出：誤差值相同時(shí)，α 越大，β 越小，步長(zhǎng)取值越小。 由圖可知，當(dāng)e（n）→0 時(shí)，μ（n）→0，雖然步長(zhǎng)因子μ（n）隨誤差函數(shù)e（n）的變化呈非線性變化，但該圖像在趨近于0 的部分變化過(guò)快， 會(huì)導(dǎo)致算法未完成收斂時(shí)收斂過(guò)快，穩(wěn)態(tài)誤差變大，因此，需要對(duì)參數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中進(jìn)行詳細(xì)的討論。

圖2 參數(shù)α 對(duì)步長(zhǎng)的影響

圖3 參數(shù)β 對(duì)步長(zhǎng)的影響

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

4 與其它算法對(duì)比分析

為體現(xiàn)本文所提出的算法具有更優(yōu)秀的性能，本文算法與以下三種算法進(jìn)行比較，其中函數(shù)關(guān)系式與最優(yōu)參數(shù)設(shè)定如下：

圖4、圖5 分別為信噪比（SNR）的值為1、15 和30時(shí)，理想輸出信號(hào)與各算法濾波后的對(duì)比。通過(guò)圖像可明顯看出不同信噪比對(duì)定步長(zhǎng)LMS 算法與NLMS 算法影響較大，但對(duì)于改進(jìn)后的文獻(xiàn)[8]中算法與本文算法影響不大， 并且從整體來(lái)看本文算法得到的曲線與理想值更接近，曲線更快趨于穩(wěn)定狀態(tài)。

圖4 LMS 算法與NLMS 算法濾波后與理想輸出信號(hào)曲線比較

圖5 文獻(xiàn)[8]算法與本文算法濾波后與理想輸出信號(hào)曲線比較

圖6 為均方誤差曲線、圖7 為誤差信號(hào)曲線，通過(guò)分析圖像， 本文算法與其他算法相比收斂明顯更快，能夠更快的到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，抗干擾能力更強(qiáng)且系統(tǒng)穩(wěn)定性更好。

圖6 四種算法均方誤差曲線對(duì)比圖

圖7 四種算法誤差信號(hào)曲線對(duì)比圖

5 結(jié)論

本文對(duì)已有的一些變步長(zhǎng)LMS 算法與步長(zhǎng)因子進(jìn)行了結(jié)合改進(jìn)，對(duì)LMS 算法進(jìn)行了改進(jìn)，更有效的解決了算法收斂與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾問(wèn)題， 并加強(qiáng)了系統(tǒng)的跟蹤能力和抗干擾能力。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)表明，在信噪比不同的情況下，本文算法在收斂速度、抗干擾能力與濾波能力均有增強(qiáng)，并且能夠更快速更有效的處理振動(dòng)信號(hào)，達(dá)到降噪的目的。