發(fā)展型反問題-控制泛函的可微性與收斂性研究

樊 皓

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

我們研究與以下線性拋物問題相關(guān)的反源問題：

(1)

這里ΩT:={0

k(0)=k(l)=0,k(x)>0,x∈(0,l).

(2)

我們研究的反問題即從最終時刻T測量的數(shù)據(jù)

u(x,T)=g(x)

(3)

中確定源項F(x,t).在這種情況下,對于給定的F(x,t),拋物問題(1)即為一個正問題. 如果要求系數(shù)k(x)是嚴(yán)格正的，即k(x)≥k0>0,x∈[0,l],則方程被改寫成一個初邊值問題,如下：

(4)

(4)經(jīng)常被稱為經(jīng)典拋物方程. 注意到數(shù)學(xué)模型(1)-(3)出現(xiàn)在各種物理及工程問題中[3-5]. 很多問題都運用了問題(4)的經(jīng)典解,這要求數(shù)據(jù)F(x,t),g0(x),gT(x)具有適當(dāng)?shù)倪B續(xù)性或者可微性. 在實踐中,這些數(shù)據(jù)是通過物理測量得到的,可能不是平滑函數(shù),這種情況基于經(jīng)典解的方法就不可使用了.

方程(4)是一個退化的二階拋物型方程,且主項系數(shù)在區(qū)域的左右邊界都退化. 系數(shù)的退化性可能會導(dǎo)致方程在定解域上的部分邊界條件缺失. 很容易看到在x=0和x=l時，(1)退化為兩個雙曲方程

根據(jù)著名的退化拋物型方程的Fichera定理,我們知道在退化處不需要給出邊界條件.

文獻(xiàn)[1-2]對于條件u(0,t)=0,u(l,t)=0和Robin邊界條件ux(0,t)=0,-k(l)ux(l,t)=ν[u(l,t)-T0(t)]分別考慮了源項F(x,t)和同時確定未知源對〈F(x,t),T0(t)〉的問題. 在本文中,基于文獻(xiàn)[7-8],我們將對反源問題(1)-(3)運用文獻(xiàn)[7]給出的伴隨問題方法,這樣一來,引入控制泛函

(5)

并將反源問題(1)-(3)重新定義為控制泛函的最小化問題.

在本文中,由于數(shù)學(xué)模型的退化性,一些經(jīng)典的拋物型方程理論,例如:強極值原理,Schauder型先驗估計等在此并不適用.為此我們主要在一些賦權(quán)的Sobolev空間中討論該問題.這些函數(shù)空間在具退化系數(shù)的拋物型方程的研究中是至關(guān)重要的,而由于權(quán)函數(shù)的存在,我們很難得到方程解的導(dǎo)數(shù)的一致估計,這也說明退化拋物型方程解的正則性不如經(jīng)典拋物型方程.

本文結(jié)構(gòu)組織如下,第二節(jié)中,基于正問題(1)的弱解定義了反源問題(1)-(3)的擬解; 第三節(jié)引入一個伴隨拋物問題,并且證明該問題的弱解與控制泛函(4)梯度之間的顯式關(guān)系; 第四節(jié)中得到了梯度的Lipschitz連續(xù)性,這樣就構(gòu)造出反問題的近似解序列F(n)?F的一個梯度型迭代過程,并且證明函數(shù)序列{J(F(n))}?R+的單調(diào)性; 第五節(jié),簡單研究Fréchet導(dǎo)數(shù)的凸性.

1 基于弱解的擬解方法

用F表示允許的未知源F(x,t)的集合,滿足以下條件:

F(x,t)∈H0(ΩT)，
0≤m*≤F(x,t)≤m*<∞,
a.e.(x,t)∈ΩT,

(6)

這里H0≡L2. 顯然,集合F是H0(ΩT)中的一個閉凸子集. 對于系數(shù)k(x)>0,g0(x)和gT(x),假設(shè)

k(x)∈L∞[0,l],g0(x),gT(x)∈H0[0,l].

(7)

我們將滿足積分恒等式

-?ΩT(uvt-kuxvx)dxdt=
?ΩTFvdxdt， ?v∈0V1,0(ΩT)

(8)

的函數(shù)u∈V1,0定義為正問題(1)的弱解,其中V1,0(ΩT)是函數(shù)范數(shù)為

的Banach空間[8],0V1,0(ΩT)={v∈V1,0(ΩT):v(0)=v(T)=0}. 在上述的條件下,對于給定的數(shù)據(jù),正問題的弱解u∈V1,0(ΩT)存在且唯一[9].

根據(jù)給定的F?F,我們用u(x,t;F)表示拋物問題(1)的解,如果該函數(shù)滿足附加條件(3),則一定滿足非線性方程

u(x,t;T)|t=T=g(x),x∈(0,l).

(9)

然而,在實際情況下,數(shù)據(jù)g(x)通常是有測量誤差的,可能無法精確的滿足條件(3),為此,我們將反問題的擬解定義為控制泛函J(F)最小化問題的解:

(10)

顯然,如果J(F*)=0,則擬解F*?F也是反問題(1)-(3)的一個嚴(yán)格解,因為F*?F滿足函數(shù)方程(9).

進(jìn)一步,從拋物型問題的弱解理論出發(fā),可證明如果序列{F(n)}?F弱收斂于函數(shù)F?F,則正問題(1)對應(yīng)解的軌跡序列{u(x,T;F(n))}在H0-范數(shù)下收斂于解{u(x,T;F)},即隨著n→∞,J(F(n))→J(F). 這意味著函數(shù)J(F)在F上是弱連續(xù)的,因此由于Weierstrass存在定理[10],最小化問題(10)的解集

是一個非空集.

2 控制泛函J(F)的Fréchet可微性及其梯度

考慮控制泛函J(F)的第一個變量ΔJ(F)

(11)

這里Δu(x,t;F)=u(x,t;F+ΔF)-u(x,t;F)∈V1,0(ΩT). 顯然Δu(x,t;F)是拋物問題

(12)

的解.

引理2.1給定F,F+ΔF,若u=u(x,t;F)∈V1,0(ΩT)是正問題(1)的解,φ(x,t;F)∈V1,0(ΩT)是反拋物問題

(13)

的解,則對于任意F?F,下面積分恒等式成立:

(14)

證明給(12)式兩端同乘φ并且在ΩT上積分得

?ΩTΔut(x,t)φ(x,t)dxdt=
?ΩT(k(x)Δux(x,t))xφ(x,t)dxdt+
?ΩTΔF(x,t)φ(x,t)dxdt.

對上式兩端積分使用分部積分法,經(jīng)過計算得:

即

將φ(x,T)=2[u(x,T;F)-g(x)]代入上式，可得

證明完成.

推論2.1選擇(14)中2[u(x,T;F)-g(x)]=Δu(x,T;F)/‖Δu(x,T;F)‖H0(0,l),假設(shè)Δu(x,T;F)=u(x,T;F1)-u(x,T;F2),這里ui(x,t):=u(x,t;Fi)是任意Fi?F,i=1,2對應(yīng)的正問題的解. 故由(14)式我們有

‖u(x,T;F1)-u(x,T;F2)‖H0(0,l)≤
‖φ‖H0(ΩT)‖F(xiàn)1-F2‖H0(ΩT).

現(xiàn)在對公式(11)右側(cè)使用積分等式(14),控制泛函J(F)的第一個變量可寫成如下形式:

(15)

引理2.2給定一個源函數(shù)F?F,u=u(x,t;F)∈V1,0(ΩT)是正問題(1.1)相應(yīng)的解,則有不等式

(16)

證明給(12)式兩邊同乘Δu(x,t)，并在(0,l)上積分得:

G'(t)≤G(t)+f(t),t∈[0,T].

應(yīng)用Gronwall不等式，得

即

用T代替t,有

因此

根據(jù)Fréchet導(dǎo)數(shù)的定義,從(15)式和(16)式可得控制泛函J(F)的梯度是算子J'(F)=φ(x,t;F)，其中φ是(13)式的解.

定理2.1令F?F,若條件(7)成立,則控制泛函J(F)是Fréchet可微的,J(F)∈C1(F). 控制泛函J(F)在F?F上的Fréchet導(dǎo)數(shù)通過伴隨問題(13)的解定義為

J'(F)=φ(x,t;F).

(17)

推論2.2令J(F)∈C1(F),F*?F是反問題(1)-(3)的擬解集,則F*∈F*是反問題(1)-(3)的一個嚴(yán)格解,當(dāng)且僅當(dāng)在ΩT上φ(x,t;F*)≡0.

3 梯度的Lipschitz連續(xù)性和單調(diào)迭代格式

求解最小化問題(10)的任何梯度型迭代算法在迭代過程

F(n+1)=F(n)-αnJ'(F(n)),n=0,1,2,…,

(18)

中都需要估計迭代參數(shù)αn>0. 這里F(0)∈F是一個給定的初始迭代,αn的選擇定義了不同的梯度方法.盡管在很多情況下,該參數(shù)的估計比較困難,但在控制泛函的梯度J'(F)Lipschitz連續(xù)的情況下,迭代參數(shù)αn可以通過(16)式中Lipschitz常數(shù)C:=eT來估計為以下情況

(19)

這里β0,β1>0是任意參數(shù).

接下來證明控制泛函(5)的Lipschitz連續(xù)性.

引理3.1令定理2.1的條件成立,則

(20)

其中

(21)

證明函數(shù)Δφ(x,t;F):=φ(x,t;F+ΔF)-φ(x,t;F)∈V1,0(ΩT)是反拋物問題

(22)

的解. 給上式兩邊同乘Δφ(x,t;F)并且在(0,l)上積分得

即

令

因為Ψ'(t)≥0,所以Ψ(t)是(0,T]上的增函數(shù),即Ψ(t)≤Ψ(T)，t∈(0,T].因此

結(jié)合(21)式和引理2.2,即可得到(20)式.

接下來將證明序列J(F(n))的單調(diào)性和收斂性,這里F(n)∈F,n=0,1,2,…,由(18)定義給出.

引理3.2令 F是Hilbert空間中的一個閉凸集,J(F)∈C1(F),則有

(23)

證明將F1=F+θ,F2=F代入公式

可得

J(F1)-J(F2)=

再對上面等式應(yīng)用引理3.1,有

引理3.2證完.

引理3.3令(18)定義的迭代F(n)∈F,n=0,1,2,…,對任意n,αn=α=常數(shù)>0,則對于所有n=0,1,2,…,

(24)

證明在(23)式中,令F(n+1)=F1,F(n)=F2,對F(n+1)使用公式(18),可得

則對α>0,有

為序列{J(F(n))}的極限.

推論3.1令 F是一個閉凸集,J(F)∈C1,1(F),若{F(n)}?F是由

F(n+1)=F(n)-α*J'(F(n)),α*=1/2,n=0,1,2,…

(25)

‖F(xiàn)(n+1)-F(n)‖0≤

2[J(F(n))-J(F(n+1))],n=0,1,2,…

此證明由引理3.3給出.

定理3.1令條件(6)成立,則對于任意的初始源F(0)∈F,(18)給出的迭代序列{F(n)}?F在H0(ΩT)中弱收斂于反問題(1)-(3)的一個擬解. 此外,對于序列{J(F(n))}的收斂速率有以下估計成立:

(26)

證明我們知道,若F 是Hilbert空間H0(ΩT)中的一個閉凸集,并且F*?F是最小化問題(9)的解的一個有界閉凸集,則每一個最小化序列{F(n)}?F弱收斂到一個元素F*?F*. 因此,對于(18)定義的序列{F(n)}?F,隨著n→∞,有F(n)?F*∈F*.

為了證明算法的收斂，記

an=J(F(n))-J(F*),F(n)∈F,

F*∈F*,n=0,1,2,…

因為J(F)是凸的,所以

J(F(n))-J(F*)≤(J'(F(n)),F(n)-F*).

對上式右側(cè)部分使用柯西不等式,得

an=J(F(n))-J(F*)≤

‖J'(F(n))‖0‖F(xiàn)(n)-F*‖0≤

d‖J'(F(n))‖0,F*?F，

這里

上式從0到(n-1)求和，得

即

證明完成.

4 Fréchet導(dǎo)數(shù)的凸性

引理4.1令引理3.1的條件成立,假設(shè)F,ΔF∈F,有

(27)

證明利用(12)式,有

證明完成.

引理4.1證明了控制泛函J(F)∈C1(F)是凸的,若條件

(28)

成立,則J(F)是嚴(yán)格凸的.

定理4.1若引理4.1的條件和(28)式同時成立,則反源問題(1)-(3)至多只有一個解.