繞開分類討論 優(yōu)化解題過程
——例說絕對值不等式的幾種巧解方法

郭芳麗

(陜西省咸陽師范學(xué)院附屬中學(xué)，712000)

解絕對值不等式的常規(guī)思路是設(shè)法去掉絕對值符號,將其轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式進(jìn)行求解.按常規(guī)思路一般要分類討論,如此會帶來繁瑣冗長的運(yùn)算.如果我們能有意識地打破常規(guī)思維定勢,適時(shí)轉(zhuǎn)換思維方式,通過認(rèn)真觀察與仔細(xì)分析,巧妙地運(yùn)用絕對值的概念、性質(zhì)、幾何意義等去掉絕對值符號,不僅可繞開分類討論,優(yōu)化解題過程,還能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).現(xiàn)舉例說明,供參考.

一、特殊值法

解絕對值不等式的選擇題,運(yùn)用特殊值法是一種簡捷方法.

例1不等式3≤|5-2x|<9的解集為( )

(A)[-2,1)∪[4,7)

(B)(-2,1]∪(4,7]

(C)(-2,-1]∪[4,7)

(D)(-2,1]∪[4,7)

解取x=4時(shí),不等式成立,可排除選項(xiàng)B;取x=1時(shí),不等式成立,可排除選項(xiàng)A,C.故選D.

評注本題若用定義法分類討論或轉(zhuǎn)化為不等式組求解,則過程繁瑣,小題大做.

二、定義法

評注對|f(x)|>f(x)型的絕對值不等式,可等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x)<0求解,避免分類討論,優(yōu)化解題過程.

三、平方法

利用平方法可有效去掉絕對值符號,轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.

例3解不等式|3x+2|>|2x+3|.

解兩邊平方,得(3x+2)2>(2x+3)2,整理得x2>1,解得原不等式的解集為(-∞,-1)∪(1,+∞).

評注對于形如|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|及|f(x)|>c或|f(x)|

四、幾何意義法

利用絕對值的幾何意義能直觀解決問題.

例4解不等式|x-3|+|x+1|≥6.

解|x-3|,|x+1|的幾何意義是在數(shù)軸上實(shí)數(shù)x對應(yīng)的點(diǎn)到實(shí)數(shù)3,-1對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離,而實(shí)數(shù)4,-2對應(yīng)的兩點(diǎn)A,B間的距離恰好為6,由圖1,可知滿足|x-3|+|x+1|≥6的x相應(yīng)的點(diǎn)在線段AB兩側(cè)的延長線上(包括端點(diǎn)A,B),故所求不等式的解為(-∞,-2]∪[4,+∞).

評注形如|x-a|±|x-b|>c或|x-a|±|x-b|≤c(a,b,c為常數(shù))的不等式,可借助數(shù)軸直觀,利用絕對值的幾何意義求解.此類解法既體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用,又能有效回避分類討論帶來的麻煩,解題過程簡單易行.

五、性質(zhì)法

1.借助|x|2=x2巧妙轉(zhuǎn)化

例5解不等式2x2-7|x|+6≤0.

評注本題若不加思考就急于按x≥0和x<0兩種情況進(jìn)行分類討論,則過程麻煩,且容易出錯(cuò).而巧妙利用絕對值的性質(zhì)能刪繁就簡,回避不必要的討論.

2.利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|出奇制勝

例6若關(guān)于x的不等式|x+2|+|x-1|

解因?yàn)閨x+2|+|x-1|≥|(x+2)-(x-1)|=3,等號在x=-2或x=1時(shí)成立,所以a<3時(shí),原不等式的解集為?.故a的取值范圍為(-∞,3].

評注該法利用絕對值的三角不等式性質(zhì)求解,過程較為簡捷,且巧妙繞開了分類討論.

六、函數(shù)圖象法

構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),可利用其圖象來解不等式問題.

例7解不等式|x2-3x|≥4.

解作出函數(shù)y=|x2-3x|的圖象，如圖2,則|x2-3x|≥4的解集是圖象在直線y=4上方的部分(包括交點(diǎn))所對應(yīng)的自變量x取值的集合.解方程x2-3x=4,得x1=-1,x2=4.

故所求解集是(-∞,-1]∪[4,+∞).

評注本解法體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想的運(yùn)用,直觀形象,繞開分類討論.但應(yīng)用這種方法必須能熟練、迅速、準(zhǔn)確作出函數(shù)的圖象,將代數(shù)問題快速轉(zhuǎn)化為幾何問題,否則事倍功半,欲速則不達(dá).