破解含三角函數(shù)的不等式恒成立問題

盧 楠 石秀成

(江蘇省句容高級中學(xué)，212499)

近年來的高考題以及各地模考題中,關(guān)于恒成立問題經(jīng)?？疾橐匀呛瘮?shù)為背景的導(dǎo)數(shù)問題,而且原函數(shù)的表達(dá)式通過多次求導(dǎo)也無法擺脫三角函數(shù),這就使得學(xué)生在解題時很難找到突破口.此類題目常作為壓軸題出現(xiàn),難度較大.本文以2021年南通市高二期末試題為例,探究此類問題的處理策略,希望能給大家?guī)韱⒌?

試題設(shè)函數(shù)f(x)=ax-1+ex,已知x=0是函數(shù)g(x)=f(x)-2x的極值點.

(1)求a的值;

解(1)依題意,g(x)=(a-2)x-1+ex,故g′(x)=a-2+ex.由x=0是g(x)的極值點,令g′(0)=0,解得a=1.

當(dāng)a=1時,g′(x)=ex-1,易見當(dāng)x<0時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)減;當(dāng)x>0時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)增.所以x=0是g(x)的極小值點,所求a=1.

(2)解法1分離變量法

當(dāng)x=0時,對任意m∈R, 不等式f(x)≥msin 2x顯然恒成立.

綜上,實數(shù)m的取值范圍為(-∞,1].

解法2利用必要性探求

綜上,實數(shù)m的取值范圍是(-∞,1].

評注本題求解思路是先觀察得到f(0)=0,要使f(x)≥0,必須f′(x)≥0,探究出m≤1,這是符合題意的必要條件.再由此分類討論,探究m≤0,01時函數(shù)h(x)=f(x)-msin 2x的性質(zhì),驗證此取值范圍的充分性.

解法3數(shù)形結(jié)合探尋本質(zhì)

評注此法需掌握利用函數(shù)凹凸性去刻畫函數(shù)的圖象.學(xué)生要具備一定的知識儲備,但是解題過程更容易被理解,并且能真正理解命題者的設(shè)計意圖.

解法4巧用不等式sinx

根據(jù)解法3,可知f(x)≥msin 2x在m≤0時恒成立,只要求f(x)≥msin 2x(m>0)時m的取值范圍.

令h(x)=x-1+ex-2mx,則h′(x)=1+ex-2m.

綜上,實數(shù)m的取值范圍是(-∞,1].

評注此方法利用切線放縮將題中的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化到一次函數(shù),不論是結(jié)構(gòu)還是具體作答都更容易讓人接受.