先猜后證巧轉(zhuǎn)化 合情推理妙解題

趙澤民

(甘肅省永昌縣第一高級中學(xué)，737200)

從具體問題出發(fā),通過分析、比較、歸納進(jìn)而提出合理的猜想是合情推理的基本思想.在數(shù)學(xué)解題的過程中運(yùn)用合情推理常常能為解題提供思路和方向,通過“先猜后證”可以突破一些數(shù)學(xué)問題的難點(diǎn),優(yōu)化解題過程.本文通過先猜后證的方法在圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)綜合問題、數(shù)列中的運(yùn)用,構(gòu)建不同的解題思路，巧妙解決2020年模考題和高考題,以期拋磚引玉.

一、先猜后證在圓錐曲線中的應(yīng)用

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

二、先猜后證在導(dǎo)數(shù)綜合題中的應(yīng)用

例2已知函數(shù)f(x)=ex.

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;

解(1)y=ex.(過程略)

綜上,整數(shù)k的最大值為2.

評注本題涉及零點(diǎn)不可解問題,正面解答有一定難度,運(yùn)用先猜后證思路可繞過零點(diǎn)值合理猜想出整數(shù)k的最大值,再借助ex>x+1(x>0)給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明,優(yōu)化了解題過程,降低了思維難度.無獨(dú)有偶,2020年新高考全國I卷第21題用先猜后證也可以巧妙解答,下面來欣賞一下.

例3(2020年全國高考題)已知函數(shù)

f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

(2)依題意,有f(1)≥1,即a+lna≥1.注意函數(shù)g(x)=x+lnx在(0,+∞)單調(diào)增,且g(1)=1,所以a+lna≥1的解為a≥1.猜想a的取值范圍為a≥1,下面給出證明.

因?yàn)閑x≥x+1(x∈R)等價(jià)于lnx≤x-1(x>0),所以當(dāng)a≥1時(shí),f(x)≥ex-1-lnx≥(x-1)+1-lnx=[(x-1)-lnx]+1≥1.

綜上,a的取值范圍為a≥1.

三、先猜后證在數(shù)列問題中的應(yīng)用

例4設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.

(1)求a1,a2,a3的值;

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解(1)a1=3,a2=5,a3=7.(過程略)

綜上,{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1.

評注在數(shù)列問題中,若直接求通項(xiàng)公式受阻,可通過合情推理歸納猜想出結(jié)論,然后利用數(shù)學(xué)歸納法給予證明.以下展示的2020年全國Ⅲ卷數(shù)列問題就體現(xiàn)了這一點(diǎn).

例5(2020年全國高考題)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n.

(1)計(jì)算a2,a3,猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明;

(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn.

解(1)由題意易得a2=5,a3=7.故猜

想an=2n+1.

下面給出證明:當(dāng)n=1,2,3時(shí),結(jié)論顯然成立.假設(shè)n=k時(shí)猜想成立,即ak=2k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2(k+1)+1,猜想也成立.

綜上,an=2n+1(n∈N*).

(2)令bn=2nan=(2n+1)2n,則Sn=3×2+5×22+…+(2n-1)2n-1+(2n+1)2n,2Sn=3×22+5×23+…+(2n-1)2n+(2n+1)2n+1.兩式相減,得-Sn=6+2(22+23+…+2n)-(2n+1)2n+1,易得Sn=(2n-1)2n+1+2.

總之,先猜后證既是突破難點(diǎn)問題的思維方法,又是優(yōu)化解題過程的一種策略.它能有效突破思維定勢的束縛,合理、巧妙地對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,有助于提高解題能力,提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).