基于歐進萍譜的廣義Maxwell耗能結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)簡明解法

劉美華， 鄒萬杰， 葛新廣， 李創(chuàng)第

(廣西科技大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 廣西 柳州 545006)

結(jié)構(gòu)控制能迅速地衰減結(jié)構(gòu)的振動反應(yīng)[1-2]，在抵御強地震或風(fēng)荷載時，安裝耗能裝置能有效減小主體結(jié)構(gòu)的破壞[3-5]。線性黏彈性阻尼器利用黏彈性材料來吸收振動能量，為更精確地描述黏彈性阻尼器的本構(gòu)關(guān)系，國內(nèi)外學(xué)者提出了各種力學(xué)模型，比如Maxwell模型[6-7]、Kelvin模型[8]、一般積分模型[9-10]、廣義Maxwell模型[11-12]等。其中Maxwell模型和Kelvin模型是形式單一的力學(xué)模型，表現(xiàn)出的是單一的松弛行為、單一松弛時間的響應(yīng)。而實際工程中，主體結(jié)構(gòu)是多層次性的，并且運動單元也具有多重性，對應(yīng)于結(jié)構(gòu)中不同的單元，都應(yīng)有不同的松弛時間。因此，為了反映黏彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特性，采用多元件組合的廣義Maxwell力學(xué)模型來分析結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)，更具有合理性。

地震發(fā)生在時間、空間、強度方面都具有明顯的隨機性[13]，最早用于模擬隨機地震地面運動的模型是白噪聲模型，接下來Kanai[14]又提出用平穩(wěn)過濾白噪聲模型來模擬地震地面運動過程，即金井清模型，這一模型在地震工程界得到了廣泛應(yīng)用[15-17]。該模型將地表覆蓋土層視為線性單自由度濾波器，但假定基巖地震動為理想白噪聲，因此，并不能反映基巖的動力特性，也無法求出地面位移、速度、加速度導(dǎo)數(shù)方差的有限值，據(jù)此，歐進萍院士[18]提出了平穩(wěn)過濾有色噪聲譜模型，即歐進萍譜，其繼承了金井清譜的優(yōu)點，具有明確的物理意義，同時假定基巖運動為馬爾柯夫有色頻譜，更能反映基巖的動力特性，也能夠求得地面位移、速度以及加速度過程導(dǎo)數(shù)方差的有限值，因而更方便結(jié)構(gòu)隨機地震響應(yīng)分析。

用于黏彈性耗能結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析方法有擴階復(fù)模態(tài)法[19-20]、虛擬激勵法[21-22]、模態(tài)應(yīng)變能法[23]、強行解耦法[24]等。模態(tài)應(yīng)變能法采用小阻尼假設(shè)，當(dāng)阻尼較大時誤差也較大。強行解耦法由于忽略對角線元素，當(dāng)阻尼較高時，也會引起較大誤差。虛擬激勵法求解譜矩和方差需要借助數(shù)值積分，其計算精度受積分區(qū)間和積分步長的影響，而且，當(dāng)有多個平穩(wěn)隨機激勵且互相具有相干性時，其計算量浩大。擴階復(fù)模態(tài)法是通過建立狀態(tài)方程來求解，當(dāng)阻尼力表達式已知時，是一種精確的求解方法，但是，因擴階變量個數(shù)增多，導(dǎo)致計算效率較低。為此，本文兼顧計算精度和效率，提出了一種擴階之后簡明的結(jié)構(gòu)響應(yīng)解析分析方法，即將結(jié)構(gòu)運動方程、阻尼器本構(gòu)方程和濾波方程聯(lián)立為狀態(tài)方程，再運用復(fù)模態(tài)法解耦該聯(lián)立方程，得到由白噪聲激勵表示的結(jié)構(gòu)響應(yīng)統(tǒng)一表達式，最后由平穩(wěn)隨機過程譜矩的定義，得到阻尼器及結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)(含結(jié)構(gòu)位移及結(jié)構(gòu)速度、層間位移及層間速度、阻尼器受力及其變化率)0～2階譜矩的解析解。

1 結(jié)構(gòu)運動方程

1.1 原結(jié)構(gòu)運動方程

圖1 結(jié)構(gòu)計算簡圖Fig.1 Calculation diagram of the structure

結(jié)構(gòu)運動方程為

(1)

其中,

I=[1, 1, …, 1]T,

x=[x1,x2, …,xn]T,

PQ(t)=[PQ1(t),PQ2(t),…,PQn(t)]T

1.2 廣義Maxwell阻尼器本構(gòu)關(guān)系

廣義Maxwell模型阻尼器是由一個線性彈簧和一系列Maxwell模型單元并聯(lián)而成，廣義Maxwell模型阻尼器計算簡圖如圖2所示，Maxwell模型阻尼器計算簡圖如圖3所示。

圖2 廣義Maxwell模型阻尼器Fig.2 Generalized Maxwell model damper

圖3 Maxwell模型阻尼器Fig.3 Maxwell model damper

廣義Maxwell阻尼器本構(gòu)關(guān)系為

(2)

式中：PQi(t)為第i層阻尼器的總阻尼力；k0為阻尼器平衡剛度；pij為每個Maxwell單元的阻尼力。其中：i=1～n，n為樓層數(shù)目；j=1～r，r為廣義Maxwell阻尼器中標準Maxwell阻尼器單元的個數(shù)。

將式(2)寫成矩陣形式，有

(3)

式中：l為元素均為1的1×r階向量；pi為r×1階向量，pi=[pi1,pi2, …,pir]T。

將式(3)簡寫為

PQ(t)=K1x+D1P

(4)

式中：D1為n×rn階對角陣，rn指r×n項，D1=diag[l,l, …,l]；P為rn×1階向量，P=[p1,p2, …,pn]T。

各分支Maxwell阻尼器微分關(guān)系為

(5)

式中,kpj,cpj分別為第j個標準Maxwell阻尼器單元的剛度和阻尼，j=1～r。

將式(5)寫成矩陣形式，有

(6)

式中：A為r×r階對角陣，A=diag[kp1/cp1,kp2/cp2, …,kpr/cpr]；a為r×1階向量，a=[kp1,kp2, …,kpr]T。

將式(6)簡寫為

(7)

式中：α為rn×rn階對角陣，α=diag[A,A, …,A]；B為rn×rn階矩陣。

1.3 重構(gòu)結(jié)構(gòu)運動方程

歐進萍譜可用濾波方程描述如下

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

CW(τ)=2πS0δ(τ)

(9)

式中：δ(τ)為Dirac函數(shù)。

聯(lián)立式(1)、式(4)和式(8)，重構(gòu)結(jié)構(gòu)的運動方程

(10)

引入狀態(tài)變量

(11)

將式(7)、式(8)和式(10)寫成狀態(tài)方程

(12)

其中,

β=[0o10o11o3]T

式中：o1為元素均為0的n×1階向量；o2為元素均為0的n×n階矩陣；o3為元素均為0的rn×1階向量；o4為元素均為0的n×rn階矩陣；E1為n階單位矩陣；E2為rn階單位矩陣。

2 結(jié)構(gòu)響應(yīng)杜哈梅積分統(tǒng)一表達式

由于式(12)為非經(jīng)典系統(tǒng)，故用復(fù)模態(tài)法對其進行解耦。存在右特征向量矩陣U、左特征向量矩陣V和特征值矩陣q使式(12)解耦，特征值矩陣q為對角陣，且滿足關(guān)系式

(13)

引入復(fù)模態(tài)變換

y=Uz

(14)

式中,z為廣義復(fù)模態(tài)變量。

式(12)最終可化為如下復(fù)模態(tài)響應(yīng)方程：

(15)

其中,

(16)

將式(15)寫成分量形式，有

(17)

式中：zj,qj和ηj分別為z，q和η的分量；(r+2)n+3為特征向量矩陣的階數(shù)。

式(17)的解為

(18)

(19)

(20)

式中：uz為右特征向量矩陣U的第z行向量；λz,i為結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的強度系數(shù)，其為λz,i=uz,iηi；j=1～n;z=j+1,n+2+j。

由式(4)、式(11)、式(14)和式(18)，第j樓層阻尼力PQj(t)的杜哈梅積分表達式為

(21)

(22)

對式(4)求導(dǎo)，得

(23)

(24a)

(24b)

(25a)

Δx1=x1

(25b)

(26a)

(26b)

對應(yīng)于廣義Maxwell阻尼器多層耗能減震結(jié)構(gòu)，它們的位移及速度、層間位移及層間速度、阻尼器受力及其變化率響應(yīng)均具有相似的表達式，所以可將以上參數(shù)統(tǒng)一表示為

(27)

Gz,i(t)為結(jié)構(gòu)響應(yīng)分量，其表達式為

(28)

3 結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差與功率譜解析解

由于結(jié)構(gòu)響應(yīng)分量Gz,i(t)可以作如下相等變換

(29)

則結(jié)構(gòu)響應(yīng)Gz(t)的平穩(wěn)協(xié)方差函數(shù)的表達式為

(30)

由式(29)和式(30)，得結(jié)構(gòu)響應(yīng)分量的協(xié)方差為

(31)

由于W(t)為具有零均值的平穩(wěn)白噪聲，將式(9)代入式(31)，求積可得

(32)

利用δ(τ)函數(shù)的性質(zhì)，可以將式(32)簡化為一重積分

(33)

再對式(33)的積分部分運算，可得

(34)

故由式(30)和式(34)，可得在歐進萍譜平穩(wěn)地震激勵下耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)的協(xié)方差為

(35)

令

(36)

則結(jié)構(gòu)響應(yīng)Gz(t)的協(xié)方差式(35)可簡化為

(37)

在式(37)中，令τ=0，可得結(jié)構(gòu)響應(yīng)Gz(t)的方差

(38)

由平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)的Wiener-Khinchin關(guān)系[25]，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜可表示為

(39)

將式(37)代入式(39)并對積分部分運算，可得本文方法求得的結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜解析解

(40)

由式(20)、式(36)和式(40)，得本文方法結(jié)構(gòu)位移x功率譜密度函數(shù)

(41)

(42)

由式(25)、式(36)和式(40)，得本文方法結(jié)構(gòu)層間位移Δx功率譜密度函數(shù)

(43)

(44)

由式(22)、式(36) 和式(40)，得本文方法阻尼力PQ(t)功率譜密度函數(shù)

(45)

(46)

4 結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜矩解析解

由譜矩的定義，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的j階譜矩表達式為

(47)

式(47)中令j=0，得結(jié)構(gòu)位移(絕對位移、層間位移)響應(yīng)0階譜矩

(48)

對式(48)積分部分運算可得

(49)

由隨機振動理論可知，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的0階譜矩即為隨機過程位移方差，式(49)也驗證了本文方法的正確性。

結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)2階譜矩為結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)，可由速度方差表示

(50)

阻尼器阻尼力響應(yīng)0階譜矩為

(51)

阻尼器阻尼力響應(yīng)的2階譜矩等于阻尼力變化率的方差，即

(52)

式(47)中令j=1，得結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)1階譜矩為

(53)

對式(53)積分部分運算可得

(54)

根據(jù)文獻[25]可知

(55)

故結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)1階譜矩γx,1可表示為

(56)

同理，可得阻尼器阻尼力響應(yīng)1階譜矩γP,1為

(57)

5 算 例

某十層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，第一層至第十層的結(jié)構(gòu)質(zhì)量為m1～m10=400×103kg，層間剛度為k1～k10=253×106N/m，結(jié)構(gòu)阻尼按Rayleigh阻尼計算，兩比例系數(shù)分別為a0=0.281 4和a1=0.006 7，結(jié)構(gòu)阻尼比ξ=0.05。每層設(shè)置相同的廣義Maxwell阻尼器，阻尼器平衡剛度k0=75.90×104N/m，阻尼器兩分支Maxwell單元的松弛時間和剛度分別為：μ1=0.08 s，kp1=12.65×105N/m；μ2=0.10 s，kp2=10.63×105N/m。地震烈度為8度，Ⅰ類場地，在歐進萍譜平穩(wěn)隨機地震激勵下的各參數(shù)取值為：譜強度因子S0=45.24×10-4m2/s3，場地土阻尼比ξg=0.64，卓越頻率ωg=25.13 rad/s，基巖的譜參數(shù)ωh=8π rad/s。

5.1 功率譜對比

(58)

(59)

式中：u1,un+2分別為右特征向量矩陣U的第1、第n+1行向量。

(60)

式中,βi=-(2ξgωgλ1,i+ωg2λn+2,i)。

(61)

歐進萍譜功率譜密度函數(shù)的傳統(tǒng)表達式為

(62)

圖4 地面加速度功率譜Fig.4 Ground acceleration power spectrum

圖5 第5層結(jié)構(gòu)位移功率譜Fig.5 Absolute displacement power spectrum of the 5th floor

圖6 第5層層間位移功率譜Fig.6 Inter-storey displacement power spectrum of the 5th floor

由圖4可知，本文激勵功率譜圖與歐進萍譜傳統(tǒng)功率譜圖完全吻合，由圖5和圖6可知，本文方法與虛擬激勵法計算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜圖形完全吻合，從而驗證了本文求得的功率譜密度函數(shù)表達式的正確性。而本文將耗能結(jié)構(gòu)在歐進萍譜激勵下的結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)功率譜表示為(ω2+qi2)-1的線性組合，表達式更為簡潔，更便于后續(xù)的積分運算。

5.2 譜矩計算精度和效率對比

為了驗證本文譜矩計算方法的正確性和精確性，運用本文方法計算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)0～2階譜矩，與已有虛擬激勵法計算得到的譜矩進行對比分析。因為虛擬激勵法計算譜矩需要進行數(shù)值積分，其計算精度和計算效率與積分區(qū)間以及積分步長密切相關(guān)，因此，有必要選取不同的積分區(qū)間和積分步長進行更全面地對比。為了研究頻域積分步長Δω對虛擬激勵法譜矩精度的影響，將虛擬激勵法積分步長分別取為0.25 rad/s,0.10 rad/s,0.001 rad/s，積分區(qū)間統(tǒng)一取為[0,250]。圖7～圖9為本文方法和虛擬激勵法分別取3種不同積分步長計算結(jié)構(gòu)各層位移譜矩γx的對比，圖10～圖12為本文方法和虛擬激勵法分別取3種不同積分步長計算結(jié)構(gòu)各層層間位移譜矩γΔx的對比。

圖7 位移0階譜矩Fig.7 0-order spectral moments ofabsolute displacements

圖8 位移1階譜矩Fig.8 1st-order spectral moments of absolute displacements

圖9 位移2階譜矩Fig.9 2nd-order spectral moments of absolute displacements

圖10 層間位移0階譜矩Fig.10 0-order spectral moments of inter-storey displacements

圖11 層間位移1階譜矩Fig.11 1st-order spectral moments of inter-storey displacements

圖12 層間位移2階譜矩Fig.12 2nd-order spectral moments of inter-storey displacements

由圖7～圖12可知，在積分區(qū)間固定的情況下，隨著虛擬激勵法頻域積分步長Δω的減小，虛擬激勵法計算得到的結(jié)構(gòu)位移和結(jié)構(gòu)層間位移的0～2階譜矩值就越逼近本文方法得到的譜矩值，驗證了本文譜矩計算方法的正確性和精確性。

為了研究積分區(qū)間對虛擬激勵法譜矩精度的影響，以計算結(jié)構(gòu)層間位移的0～2階譜矩為例來進行研究。將虛擬激勵法積分區(qū)間分別取為[0, 35],[0, 40],[0, 50]，積分步長分兩種情況取值：①Δω=0.001 rad/s；②Δω=0.000 1 rad/s。圖13～圖15是第①種情況虛擬激勵法分別取3種不同積分區(qū)間的譜矩值與本文方法譜矩值之差的絕對值;圖16～圖18是第②種情況虛擬激勵法分別取3種不同積分區(qū)間的譜矩值與本文方法譜矩值之差的絕對值，其縱坐標反映的是虛擬激勵法譜矩值偏離本文方法譜矩值的大小。

圖13 層間位移0階譜矩誤差對比(Δω=0.001 rad/s)Fig.13 Accuracy of 0-order spectral moments(Δω=0.001 rad/s)

虛擬激勵法是功率譜分析的精確方法，其功率譜譜矩計算需要進行數(shù)值積分，計算精度取決于積分步長和積分區(qū)間。當(dāng)積分上限取值相同時，積分步長取值越小，計算結(jié)果精確度越高，第②種情況積分步長是第①種情況積分步長的0.1倍，所以第②種情況譜矩計算精度比第①種情況譜矩計算精度更高。由第①種情況圖14和圖15可知，部分樓層的層間位移1階和2階譜矩值并沒有隨著積分區(qū)間的增大而更逼近本文方法譜矩值，由第②種情況圖16～圖18可知，結(jié)構(gòu)層間位移0～2階譜矩值均隨著積分區(qū)間的增大而更逼近本文方法譜矩值，由此可知，隨著頻域積分步長Δω的減小和整個積分區(qū)間的增大，兩種方法計算得到的0～2階譜矩值誤差越小，虛擬激勵法得到的譜矩值就更逼近本文方法譜矩值，進一步驗證了本文譜矩解為精確解，同時也說明虛擬激勵法要想達到更高的精度，須將積分步長取得足夠小。

圖14 層間位移1階譜矩誤差對比(Δω=0.001 rad/s)Fig.14 Accuracy of 1st-order spectral moments(Δω=0.001 rad/s)

圖15 層間位移2階譜矩誤差對比(Δω=0.001 rad/s)Fig.15 Accuracy of 2nd-order spectral moments(Δω=0.001 rad/s)

圖16 層間位移0階譜矩誤差對比(Δω=0.000 1 rad/s)Fig.16 Accuracy of 0-order spectral moments(Δω=0.000 1 rad/s)

圖17 層間位移1階譜矩誤差對比(Δω=0.000 1 rad/s)Fig.17 Accuracy of 1st-order spectral moments(Δω=0.000 1 rad/s)

圖18 層間位移2階譜矩誤差對比(Δω=0.000 1 rad/s)Fig.18 Accuracy of 2nd-order spectral moments(Δω=0.000 1 rad/s)

基于同一CPU耗時對比，分別用兩種方法計算結(jié)構(gòu)位移和結(jié)構(gòu)層間位移的0～2階譜矩(一共計算10層樓)，本文方法耗時0.503 s，虛擬激勵法耗時727.178 s，其中，虛擬激勵法的ω∈[0, 250]，Δω=0.000 1 rad/s?？梢姡疚姆椒ㄓ嬎阈视写蠓鹊靥岣?。

6 結(jié) 論

本文對設(shè)置廣義Maxwell阻尼器的耗能結(jié)構(gòu)基于歐進萍譜隨機激勵下的響應(yīng)進行分析，提出了一種簡明解析解法，并給出一算例，驗證所提方法的正確性和高效性。

(1)利用歐進萍譜濾波方程，重構(gòu)結(jié)構(gòu)運動方程，并用復(fù)模態(tài)法解耦，使基于歐進萍譜的激勵轉(zhuǎn)化為白噪聲激勵來表示，進而獲得耗能結(jié)構(gòu)功率譜以及結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)譜矩的簡明解析解，解的形式為系統(tǒng)特征值的線性組合。

(2)將本文得到的激勵功率譜與歐進萍譜傳統(tǒng)表達式進行對比，將本文得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜與虛擬激勵法得到的功率譜進行對比，兩者圖形均完全吻合，驗證了本文方法的正確性。本文所得譜矩解和方差解為無積分運算的解析解，與虛擬激勵法相比較，計算精度和計算效率都有顯著提高，尤其對復(fù)雜工程體系優(yōu)勢更明顯。

(3)本文方法適用于具有濾波方程的平穩(wěn)隨機地震響應(yīng)分析，并可以推廣到非平穩(wěn)隨機地震響應(yīng)分析。

(4)所獲得的耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)的0～2階譜矩解析解，可為隨機地震激勵下結(jié)構(gòu)動力可靠度分析奠定基礎(chǔ)。

附錄A:廣義Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)的虛擬激勵法

(A.1)

引入如下復(fù)模態(tài)變換

(A.2)

將式(12)改寫為

(A.3)

式(A.3)可寫成分量形式

(A.4)

構(gòu)造一虛擬激勵

(A.5)

得結(jié)構(gòu)響應(yīng)zi(ω)的頻域解為

(A.6)

式中：“*”為取復(fù)共軛；SW(ω)為白噪聲的譜強度。

將式(A.2)和式(A.6)聯(lián)立，可得第j層結(jié)構(gòu)相對于地面的位移為

(A.7)

(1)結(jié)構(gòu)各層位移功率譜及譜矩

結(jié)構(gòu)各層位移功率譜表達式為

(A.8)

結(jié)構(gòu)各層位移的k階譜矩表達式為

(A.9)

(2)結(jié)構(gòu)各層層間位移功率譜及譜矩

由式(A.7)可知，結(jié)構(gòu)第j層的層間位移為

(A.10)

由式(A.10)，結(jié)構(gòu)各層層間位移的功率譜表達式為

(A.11)

結(jié)構(gòu)各層層間位移的k階譜矩表達式為

(A.12)