機(jī)器人曲面磨削軌跡的曲率自適應(yīng)規(guī)劃算法研究

詹慶榮，江本赤，李健康，吳路路

機(jī)器人曲面磨削軌跡的曲率自適應(yīng)規(guī)劃算法研究

*詹慶榮，江本赤，李健康，吳路路

（安徽工程大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽，蕪湖 241000）

機(jī)器人在曲面類零件加工中應(yīng)用日趨廣泛，針對自由曲面軌跡規(guī)劃困難、工件表面粗糙度均勻性難以控制等問題，提出一種能適應(yīng)曲面曲率變化的機(jī)器人曲面磨削軌跡規(guī)劃方法?；诤掌澙碚摲治鰴C(jī)器人磨具與工件表面的接觸應(yīng)力變化，通過求解材料去除模型計算出曲率影響下的相鄰磨削軌跡行距，得到了曲率自適應(yīng)的磨削軌跡；然后通過恒等弦高誤差算法求解出軌跡線上的磨削點位，生成了等殘余高度的磨削路徑數(shù)據(jù)。以一張典型的自由曲面為例進(jìn)行仿真實驗，結(jié)果表明，與傳統(tǒng)等參數(shù)路徑規(guī)劃方法相比，該方法更有利于改善加工表面殘余高度的一致性。

材料去除模型；赫茲接觸理論；機(jī)器人磨削；軌跡規(guī)劃

0 引言

磨削加工是提高零件表面質(zhì)量的有效手段之一，通過去除工件表面多余的材料來達(dá)到一定的粗糙度要求。目前復(fù)雜工件的磨削，依賴工人經(jīng)驗的人工磨削，難以保證同一批次工件表面質(zhì)量的一致性；或由多軸數(shù)控機(jī)床完成，多數(shù)數(shù)控系統(tǒng)是基于等參數(shù)法的路徑規(guī)劃方案，導(dǎo)致加工自由曲面類零件時的精度一致性差[1]。對于主流的多軸磨削機(jī)床，其應(yīng)用經(jīng)常受到靈活性差、安裝復(fù)雜、成本高等因素限制[2]。為了改善磨削精度，獲得高靈活度的自動化磨削過程，近年來工業(yè)機(jī)器人在精密加工領(lǐng)域受到了廣泛青睞[3-4]，特別是在磨削操作中，由于其具有靈活的工作空間，正逐漸成為用于加工復(fù)雜曲面類零件的經(jīng)濟(jì)有效的解決方案[5]。

機(jī)器人磨削系統(tǒng)中，合理的磨削軌跡、穩(wěn)定的材料去除率是機(jī)器人磨削獲得高質(zhì)量表面的關(guān)鍵。許多學(xué)者對機(jī)器人磨削軌跡和材料去除率進(jìn)行了大量的研究，獲得了許多研究成果。Zhang L等[6-7]在磨削工具與工件表面之間接觸處壓力符合赫茲分布、磨耗率遵循Archard磨損定律的前提下，使用圓柱旋轉(zhuǎn)工具進(jìn)行拋光，驗證了當(dāng)拋光工具沿表面移動時，工件表面去除材料量取決于磨削工具、工件表面幾何形狀、機(jī)械性能以及拋光條件。文獻(xiàn)[8]通過分析拋光工具及工件的接觸姿態(tài)，利用有限元的方法建立接觸模型，獲得接觸區(qū)域壓強(qiáng)分布規(guī)律，并對其進(jìn)行二次多項式擬合，結(jié)合Preston方程建立了材料去除模型。文獻(xiàn)[9]結(jié)合Preston方程和赫茲接觸理論得到球形工具的材料去除模型；Fan等人[10-11]利用赫茲接觸理論研究建立了球頭工具的材料去除率模型，其實驗結(jié)果與建立的材料去除模型具有很好的一致性。文獻(xiàn)[12]通過對氣囊工具在動態(tài)工作時的接觸狀態(tài)分析，利用最小二乘擬合的方法對接觸區(qū)的應(yīng)力分布函數(shù)進(jìn)行了推導(dǎo)；文獻(xiàn)[13]通過對行星結(jié)構(gòu)下小磨頭進(jìn)行矢量分析，以Preston假設(shè)為基礎(chǔ)建立拋光的去除模型。磨削軌跡規(guī)劃方面，文獻(xiàn)[14]提出有向Voronoi區(qū)域劃分算法，通過該算法對刀具運動區(qū)域進(jìn)行劃分，并光順連接區(qū)域之間和區(qū)域內(nèi)部的刀具路徑，得到曲面整體實際可加工的刀具路徑。文獻(xiàn)[15]借鑒銑削加工中刀軌生成方法利用等殘余高度算法生成拋光軌跡，并改良的Douglas-Peucker算法用于對拋光刀觸點的提取，最后利用實驗驗證了此方法。Sun Y等人[16]提出了一種基于自適應(yīng)希爾伯特曲線的路徑生成算法，該算法生成的路徑不僅可以調(diào)整覆蓋密度，而且還可以在更多方向上通過曲面上的點，其節(jié)點密度也可調(diào)節(jié)。Hamed Khakpour等人[17]提出了砂輪拋光自由曲面掃描路徑的產(chǎn)生方法，這種方法能夠在具有孔和復(fù)雜邊界曲面上的曲線之間產(chǎn)生具有恒定偏移距離的軌跡。

雖然許多學(xué)者對機(jī)器人磨削中材料去除模型和軌跡規(guī)劃進(jìn)行了大量的研究，獲得了一些積極的研究成果，但他們大多只對其中的某一個方面進(jìn)行研究，所生成軌跡缺乏全域的曲率約束性。鑒于此，本研究提出一種將材料去除模型與傳統(tǒng)軌跡規(guī)劃相結(jié)合的磨削軌跡規(guī)劃算法，首先基于Preston方程建立材料去除模型，計算等殘余高度約束下磨削軌跡行距，然后針對待加工曲面的不同曲率狀態(tài)，利用恒等弦高誤差約束方法提取磨削點位，最后對一張典型曲面進(jìn)行仿真實驗，驗證軌跡算法的有效性與可行性。

1 基于Preston方程的材料去除模型

在機(jī)器人磨削工具和工件面間的宏觀壓力作用下，接觸區(qū)域的應(yīng)力按照一定的規(guī)律變化。接觸應(yīng)力是工件表面材料去除率的重要影響因素，而瞬時材料去除量直接影響工件磨削精度。此處利用赫茲接觸理論獲得區(qū)域應(yīng)力的分布模型，然后根據(jù)普雷斯頓方程建立材料去除模型。

1.1 Preston方程

由普雷斯頓方程可知，材料去除率由工具施加于工件的壓力以及二者間的相對速度決定，其公式可表達(dá)為[18]

代表時間內(nèi)沿軌跡工件通過的長度，則有v=dl/dt，其公式可改為：

k是普雷斯頓系數(shù)、是工具和工件之間接觸區(qū)域的應(yīng)力、v是工具和工件之間的相對線速度、v為工件進(jìn)給速度。v=v±v，正負(fù)代表工具與工件進(jìn)給相對方向。

1.2 基于赫茲接觸理論的區(qū)域應(yīng)力計算

赫茲接觸理論是研究疲勞、摩擦以及任何有接觸體之間相互作用的基本方程，主要描述接觸應(yīng)力、接觸體的曲率半徑以及彈性模量之間的關(guān)系。磨削工具與工件之間的接觸滿足赫茲定律的條件為：接觸的兩個物體不發(fā)生剛性運動；接觸面在變形前是連續(xù)的；應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。因此，可基于赫茲接觸理論建立接觸區(qū)域的壓力分布模型。

當(dāng)磨削工具與曲面接觸時，接觸區(qū)域的形狀近似為橢圓形，其公式為[19]：

其中和是接觸橢圓的長半軸和短半軸長度，其表達(dá)式可以表示為：

其中，E是磨削工具和工件之間的相對彈性模量，F為磨削工具與工件面的法向接觸力，1和1為磨削工具的彈性模量和泊松比，2和2為工件的彈性模量和泊松比，為第二類的橢圓積分，1是磨削工具的曲率，當(dāng)磨削工具為平面時其值為0，2是工件在接觸點處的曲率。

根據(jù)赫茲接觸理論，接觸區(qū)域的應(yīng)力分布可以表示為：

其中，0,0為中心點的應(yīng)力，其表達(dá)式為：

1.3 建立材料去除模型

為建立接觸區(qū)域的材料去除模型，首先提取接觸區(qū)域的微量單元進(jìn)行分析，如圖1所示。

圖1 接觸區(qū)域微元示意圖

圖中Lcd為一條磨削帶，其中Z為一個微元點，當(dāng)磨削帶與Y軸平行時，則有。結(jié)合公式(1)、(3)、(8)得

可簡化為：

當(dāng)=0時，可獲得當(dāng)前接觸點的最大材料去除深度max，則表達(dá)式為：

由公式可以看出，在接觸面的中心材料去除深度值最大，并逐漸向周圍輻射減小。因此，磨削軌跡的規(guī)劃可根據(jù)材料去除深度值進(jìn)行行距調(diào)整，保證工件表面精度。

2 曲率自適應(yīng)磨削軌跡規(guī)劃算法

在機(jī)器人運動系統(tǒng)中，自由曲面的磨削加工軌跡大多是通過直線插補(bǔ)的形式進(jìn)行的，磨削軌跡可視為刀觸點的擬合曲線，因此刀觸點的確定直接影響磨削效率和工件表面的輪廓誤差。結(jié)合曲面的曲率變化，利用材料去除模型可估算殘余高度。通過在行距方向上控制殘余高度，生成相鄰軌跡曲線上新的刀觸點；再利用恒定弦高誤約束確定走刀步長，獲得弦高誤差約束的刀觸點信息。

采用NURBS（非均勻有理B樣條曲線）方法來表達(dá)待加工自由曲面工件表面模型。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

2.1 磨削行距的計算

在磨削行距方向上，基于材料去除模型建立了磨削路徑間隔計算算法。假設(shè)第1條磨削軌跡上存在兩個相鄰的磨削點M和M1，當(dāng)磨削工具經(jīng)過這兩點時會有重疊部分。由于橢圓的特性，接觸區(qū)域中間將出現(xiàn)沒有磨削的殘余部分，通過控制殘余部分的高度h，控制磨削行距。材料去除輪廓上的交點A可以表示為M輪廓模型中切削深度()位于處的位置。

圖2 凸面和凹面的局部行距計算

圖2中虛線橢圓圈代表磨削工具與工件的接觸區(qū)域，虛線為工件原始表面輪廓，實線為磨削后的工件表面。由于相鄰刀具磨削點之間的路徑間隔較小，且工件表面的曲率半徑()，因此假設(shè)()。根據(jù)圖3所示的幾何關(guān)系，對于凸曲面可以得到以下結(jié)果：

對于凹曲面則有

2.2 磨削步長的計算

在磨削自由曲線輪廓時，磨具一般都是沿著該曲線做直線插補(bǔ)運動，因此獲得磨削點位至關(guān)重要。在磨削曲線曲率不變的情況下，磨削點位之間的步長越大，加工得到的工件表面粗糙度越大，反之越小。為了得到預(yù)期的加工表面粗糙度，需要控制磨削步長。此處采用恒定弦高誤差約束獲得磨削步長。

圖3 恒定弦高誤差模型

由圖3可以看出，計算磨削軌跡步長時，確定磨削起始點，給定弦高誤差，即可計算出下一走刀點。為了得到理想情況下磨削步長與允許誤差的關(guān)系，以凸軌跡線為例，建立如圖4所示的磨削步長計算模型示意圖。

圖4 磨削步長計算

圖4中，點F和點F1是凸曲面上第條磨削軌跡上的兩個相鄰磨削點，理論上點F處的曲率半徑與點F+1處的曲率半徑不同，但由于步長很短，設(shè)R與R+1相等，為允許的誤差。根據(jù)示意圖，則步長可由勾股定理得出。

即：

凸磨削軌跡線有：

凹磨削軌跡線有：

與傳統(tǒng)的等參數(shù)磨削軌跡規(guī)劃相比，利用材料去除模型結(jié)合恒定弦高誤差方法進(jìn)行磨削軌跡規(guī)劃(如圖5所示)，獲得適應(yīng)工件表面曲率變化的磨削點位。

圖5 機(jī)器人磨削點位調(diào)整

3 算法驗證

為驗證上述算法的可行性，以一張自由曲面為例，采用平頭砂輪磨削工具，基于本算法生成磨削點位并輸出點位坐標(biāo)信息，將點位信息經(jīng)六軸串聯(lián)機(jī)器人逆運動學(xué)變換，轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)角位移數(shù)據(jù)導(dǎo)入埃夫特智能裝備股份有限公司研發(fā)的ER-Factory仿真軟件中進(jìn)行仿真驗證，并對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析。

3.1 仿真實驗

軌跡規(guī)劃所需參數(shù)如表1所示。

表1 軌跡規(guī)劃參數(shù)

Table1 Trajectory planning parameters

參數(shù)數(shù)值 工具的彈性模量和泊松比E1、v11050 GPa，0.2 工件的彈性模量和泊松比E2、v2206 GPa，0.3 方向接觸力Fn30 N 恒等弦高誤差ε0.1 mm 等殘余高度hs0.04 mm 磨削工具轉(zhuǎn)速2800 r/min 磨削工具直徑d20 mm

先通過結(jié)合軌跡規(guī)劃參數(shù)生成刀位點數(shù)據(jù)導(dǎo)出，再將生成的刀位點數(shù)據(jù)導(dǎo)出，通過機(jī)器人運動學(xué)逆解轉(zhuǎn)化為機(jī)器人關(guān)節(jié)參數(shù)，導(dǎo)入ER-Factory軟件中進(jìn)行仿真驗證。仿真實驗采用的機(jī)器人型號為埃夫特的六軸機(jī)器人ER3B，其最大負(fù)載能力為3 kg，工作范圍為0.6 m，重復(fù)定位精度為0.02 mm。圖6為機(jī)器人的簡化圖，包含各軸的數(shù)據(jù)與坐標(biāo)。

圖6 ER3B機(jī)器人簡化圖

機(jī)器人末端坐標(biāo)系的位姿矩陣為

機(jī)器人相關(guān)參數(shù)見表2。

表2 ER3B機(jī)器人相關(guān)參數(shù)

Table 2 ER3B robot related parameters

連桿i長度ai-1扭角ɑi-1偏置di關(guān)節(jié)角θi關(guān)節(jié)變量范圍 1000θ1±175° 2320-9050θ2+64°/-142° 327000θ3+165°/-73° 470-90299θ4±178° 50900θ5±132° 60-9078.5θ6±720°

確定參數(shù)后，進(jìn)行仿真實驗。

圖7 仿真實驗

圖7顯示了仿真實驗裝置，主要包括埃夫特公司ER3B型六軸機(jī)器人、打磨頭、磨削工作臺和工件。打磨頭末端裝有力傳感器，用于實時監(jiān)控機(jī)器人對打磨頭施加的作用力，保證機(jī)器人的恒力打磨。

3.2 結(jié)果分析

軌跡規(guī)劃結(jié)果如圖8所示，與現(xiàn)有軌跡相比，本文磨削軌跡規(guī)劃算法會根據(jù)工件表面的曲率變化自適應(yīng)改變軌跡間隔大小。當(dāng)工件表面曲率變化較大時，減小磨削軌跡間的行距，減小磨削軌跡上的步距，增加磨削點位，保證工件表面精度；當(dāng)工件曲率變化較小時增大磨削軌跡間的行距，增加磨削點位步距，磨削點位減少，提高磨削效率。

如圖9所示，將仿真結(jié)束后得到的零件表面均勻劃分，選取第i、i+1兩條線之間的區(qū)域，提取表面殘余高度值，比較改進(jìn)前后磨削零件表面的形貌。等參數(shù)法得到的工件表面殘余高度最大值為0.0475 mm，最小值為0.0216 mm；而改進(jìn)后最大值為0.0326 mm，最小值為0.0241 mm。

圖9 殘余高度對比

由仿真實驗數(shù)據(jù)分析可得，改進(jìn)前的磨削軌跡殘余高度變化幅度較大，凹曲面部分超過了工件表面精度所需的殘余高度許可值；而改進(jìn)后的軌跡殘余高度變化幅度相對平緩，殘余高度值控制在了許可值內(nèi)，改善了凹曲面欠磨削現(xiàn)象，提高了工件表面質(zhì)量的一致性。數(shù)據(jù)表明，本研究提出的改進(jìn)的軌跡規(guī)劃方法可以較好地應(yīng)用于機(jī)器人自由曲面的磨削，可以滿足精度的要求。

4 結(jié)論

基于赫茲接觸理論和材料去除模型，結(jié)合改進(jìn)的恒等弦高誤差算法，本研究給出了一種面向機(jī)器人的自由曲面磨削中曲率自適應(yīng)軌跡規(guī)劃算法。首先利用赫茲原理分析了機(jī)器人磨具與工件表面局部接觸應(yīng)力的變化規(guī)律，建立了材料去除模型并計算曲面磨削路徑間隔。然后，針對軌跡線利用恒等弦高誤差算法，優(yōu)化了磨削點位密度，計算出適應(yīng)曲率變化的刀觸點數(shù)據(jù)并進(jìn)行仿真實驗。實驗數(shù)據(jù)表明，相對于傳統(tǒng)的等參數(shù)軌跡規(guī)劃方法，本算法生成的磨削軌跡可以根據(jù)工件表面的曲率變化自適應(yīng)改變行距，對自由曲面具有較好的曲率適應(yīng)性，磨削步長也得到了很好的控制，可以更好地保證磨削曲面表面殘余高度的一致性，提高磨削后的輪廓精度。

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CURVATURE ADAPTIVE PLANNING ALGORITHM FOR ROBOT SURFACE GRINDING TRAJECTORY

*ZHAN Qing-rong, JIANG Ben-chi, LI Jian-kang, WU Lu-lu

（School of Mechanical Engineering, Anhui Polytechnical University, Wuhu, Anhui 241000, China）

Robots are widely used in the processing of curved parts. Aiming at the difficulties of free-form surface trajectory planning and the difficulty of controlling the uniformity of workpiece surface roughness, a robot surface grinding trajectory planning method adapt to changes in surface curvature is proposed. Based on the Hertz theory, the contact stress change between the robot abrasive tool and the workpiece surface is analyzed, and the adjacent grinding track distance under the influence of curvature is calculated by solving the material removal model, and the curvature adaptive grinding track is obtained. Then the grinding points on the trajectory are solved by the constant chord height error algorithm, and the grinding path data with the same residual height are generated. Taking a typical free-form surface as an example for simulation experiments, the results show that compared with the traditional isoparametric path planning method, this method is more conducive to improving the consistency of the residual height of the machined surface.

material removal model; Hertz contact theory; robotic grinding; trajectory planning

1674-8085（2022）01-0078-08

TP242.2

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2022.01.013

2021-08-15；

2021-09-27

國家自然科學(xué)基金項目(52005003)；安徽工程大學(xué)校級科研項目(Xjky019201904)；安徽工程大學(xué)-繁昌區(qū)協(xié)同創(chuàng)新基金項目(2021fccyxtb6)

*詹慶榮(1996-)，男，安徽天長人，碩士生，主要從事機(jī)器人集成應(yīng)用研究(E-mail:1053737315@qq.com).