一個(gè)填空題的解決與拓展探究

許銀伙

(福建省泉州外國(guó)語中學(xué) 362000)

(1)點(diǎn)M的軌跡方程為____；

(2)若直線l:x-y-2=0上有兩個(gè)距離恒為2的動(dòng)點(diǎn)P,Q，對(duì)于AB在圓C上的運(yùn)動(dòng)，能保持∠PMQ恒為銳角，則線段PQ中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)取值范圍為____.

解析(1)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+(y-1)2=4.

設(shè)線段PQ中點(diǎn)為G(x0,y0)，由∠PMQ恒為銳角，得點(diǎn)M恒在以PQ為直徑的圓外，

因?yàn)閨MG|min=|C1G|-r，

所以|C1G|>3.

結(jié)合x0-y0-2=0解得x0<0或x0>3.

所以點(diǎn)G的橫坐標(biāo)取值范圍為(-∞,0)∪(3,+∞).

評(píng)注解析幾何問題首先是幾何問題，運(yùn)用幾何性質(zhì)解題，是快速解題和減少運(yùn)算量的訣竅，也是高考的素養(yǎng)要求.本題由幾何特性得∠PMQ恒為銳角等價(jià)于點(diǎn)M恒在以PQ為直徑的圓外，是整個(gè)問題(2)解答的關(guān)鍵.

思考1 如果題中條件不變，把“∠PMQ恒為銳角”改成“∠PMQ恒小于60°”呢？

解析作如圖1，設(shè)點(diǎn)G(x0,y0)，過點(diǎn)G(x0,y0)作直線l的垂線l′:y-y0=x0-x，在l′上與圓同C1側(cè)取點(diǎn)T(x1,y1)，使得∠GTQ=60°.

由題意得：以T(x1,y1)為圓心，|TQ|為半徑的圓與圓C1相離.

由x0-y0-2=0，y1-y0=x0-x1，y1>x1-2,

得x0>x1.

在Rt△GTQ中，

評(píng)注條件不變，僅把所求問題改變，解決的難度陡然提升.仍然利用幾何性質(zhì)解決，利用過點(diǎn)P,Q且PQ所對(duì)圓心角為120°的圓與圓C1相離.

思考2 如果題中條件不變，求∠PMQ的最大值呢？

解析在△PMQ中，

由基本不等式，得

2|MP|·|MQ|≤|MP|2+|MQ|2(當(dāng)且僅當(dāng)|MP|=|MQ|時(shí)取等號(hào)).

因?yàn)镚為線段PQ中點(diǎn)，

又因?yàn)?/p>

2(|MP|2+|MQ|2)=|PQ|2+(2|MG|)2，

此時(shí)|MP|=|MQ|成立，

所以cos∠PMQ最小值為

評(píng)注運(yùn)用余弦定理求三角形內(nèi)角的最大值，是通常的方法，因?yàn)橛嘞抑翟谌切蔚膬?nèi)角范圍內(nèi)單調(diào)遞減.運(yùn)用基本不等式求最值，一定要關(guān)注能夠取等號(hào).本題中|MG|取最小值與前面基本不等式恰好同時(shí)成立，保證所得結(jié)果正確.

思考3如果題中條件不變，求∠PMQ的最小值呢？

解析連接GC1并延長(zhǎng)交圓C1于點(diǎn)M，故有∠PC1Q>∠PMQ.

在△PC1Q中，

cos∠PC1Q→1，∠PC1Q→0°，

所以∠PMQ→0°，∠PMQ的最小值不存在.

評(píng)注思考2與3通過作圖都是容易直觀得到的.

思考4 如果題中條件不變，只是把直線l改成線段l:x-y-2=0(a≤x≤b)，求∠PMQ的最小值呢？

解析設(shè)點(diǎn)G(x0,y0)，過點(diǎn)G(x0,y0)作直線l的垂線l′:y-y0=x0-x，在l′上與圓C1同側(cè)取點(diǎn)T(x1,y1)，以T為圓心，|TQ|為半徑的圓與圓C1相交于點(diǎn)M.

由x0-y0-2=0，y1-y0=x0-x1，y1>x1-2,

得x0>x1.

記|TQ|=r，則

評(píng)注通過以上解析，不容易看出∠PMQ的最小值是否與線段的端點(diǎn)有關(guān).補(bǔ)充剖析如下：

即(r-4m)2=9(2m2-1).

評(píng)注利用圖形特征：圓與橢圓總在它們切線的同一側(cè)，力圖利用兩曲線在交點(diǎn)處的公切線解決問題.思路正確，最后也可以化成關(guān)于cosθ,sinθ的兩個(gè)獨(dú)立方程，但方程過于復(fù)雜，無法解出.