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    橢圓切線方程的推導(dǎo)及其簡(jiǎn)單運(yùn)用

    2022-02-25 02:51:06武增明
    數(shù)理化解題研究 2022年1期
    關(guān)鍵詞:判別式證法化簡(jiǎn)

    武增明

    (云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

    證法1 (判別式法)[4]當(dāng)過橢圓上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線的斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為y=kx+m,將其代入橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2,化簡(jiǎn)并整理得(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.

    因?yàn)橹本€與橢圓相切,

    所以Δ=(2a2km)2-4(a2k2+b2)(a2m2-a2b2) =0,

    化簡(jiǎn)得a2k2-m2+b2=0.

    當(dāng)過橢圓上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線的斜率不存在時(shí),切線方程為x=±a,滿足上式.

    證法2 (判別式法)[3]當(dāng)過橢圓上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線的斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0.

    將其代入橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2,

    化簡(jiǎn)并整理得(a2k2+b2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0.

    因?yàn)橹本€與橢圓相切,所以有

    Δ=4a4k2(y0-kx0)2-4a2(a2k2+b2)[(y0-kx0)2-b2]=0.

    從而可解得

    故切線方程為

    進(jìn)一步化為

    所以b2x0x+a2y0y=a2b2.

    當(dāng)過橢圓上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線的斜率不存在時(shí),切線方程為x=±a,滿足上式.

    所以在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線的斜率為

    以下同證法2.

    在研究此題的解答時(shí),發(fā)現(xiàn)此題可以引申、推廣得到如下圓錐曲線的兩個(gè)美好性質(zhì).

    證明略,留給感興趣的讀者朋友證明.

    (1)已知直線l的斜率為k,用a,b,k表示點(diǎn)P的坐標(biāo);

    (2)若過原點(diǎn)O的直線l1與l垂直.證明:點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a-b.

    解析(1)設(shè)P(x0,y0),

    (2)依題意得直線l1的方程為a2y0x-b2x0y=0.故P(x0,y0)到直線l1的距離為

    所以由柯西不等式得

    所以點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a-b.

    過雙曲線和拋物線上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程的推導(dǎo)方法可類比于過橢圓上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程的推導(dǎo)方法,在這里限于篇幅,推導(dǎo)從略,讀者朋友不妨試一試.

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