例談線型伴隨軌跡問(wèn)題

蘇國(guó)東

(廣東省廣州市真光中學(xué) 510380)

伴隨軌跡問(wèn)題，指的是一個(gè)伴隨點(diǎn)(也叫從動(dòng)點(diǎn))遵循某種關(guān)系伴隨著一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而形成軌跡的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)問(wèn)題之一，要求學(xué)生具備良好的圖形建模能力、動(dòng)態(tài)思維能力和邏輯推理能力．伴隨軌跡問(wèn)題類型較多，在初中數(shù)學(xué)壓軸題中常見(jiàn)的有線型和圓型兩類．

本文研究其中的線型伴隨軌跡問(wèn)題，即主動(dòng)點(diǎn)在給定的直線上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)伴隨點(diǎn)的軌跡一般也為直線．與圓型問(wèn)題的情況不同，線型問(wèn)題中缺乏圓心這樣的控制點(diǎn)，所以需要在線型軌跡中找出特殊點(diǎn)作為代替．解題的關(guān)鍵在于找出特殊伴隨點(diǎn)的位置(即已知主動(dòng)點(diǎn)、伴隨點(diǎn)和特殊主動(dòng)點(diǎn)，求特殊伴隨點(diǎn))，兩點(diǎn)即可確定出伴隨軌跡直線，方法是讓特殊主動(dòng)點(diǎn)作與主動(dòng)點(diǎn)相同的操作．

下面通過(guò)引例及兩道具體例題進(jìn)行闡述．

引例如圖1，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M是平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，MO⊥l于點(diǎn)O，以PM為邊向右側(cè)作等邊△PMQ，求點(diǎn)Q的軌跡．

解析依題意，點(diǎn)P為主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為伴隨點(diǎn)，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，不妨取l上的點(diǎn)O作為特殊主動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)P實(shí)際上是繞定點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了60°得到點(diǎn)Q，所以只要將點(diǎn)O作與主動(dòng)點(diǎn)P相同的操作即可確定出特殊伴隨點(diǎn)．

圖1 圖2

如圖2，將OM繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到O1M，連接OO1，得等邊△OMO1，與等邊△PMQ構(gòu)成“手拉手”全等模型．連接O1Q，易證△OMP≌△O1MQ，所以O(shè)1Q=OP，∠MO1Q=∠MOP=90°．又∠OMO1=60°，由四邊形MOHO1內(nèi)角和為360°算得∠PHQ=120°，所以直線O1Q與l的夾角為60°(也可根據(jù)“手拉手”模型的結(jié)論得知其夾角度數(shù)等于∠OMO1的度數(shù))．

因此隨著點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也會(huì)在與l成60°角的定直線O1Q上運(yùn)動(dòng)，其軌跡長(zhǎng)度與點(diǎn)P相同．

變式如圖3，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M是平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，MO⊥l于點(diǎn)O，以PM為邊向右側(cè)作等腰直角△PMQ，其中∠MPQ=90°，求點(diǎn)Q的軌跡．

圖3 圖4

例1 如圖5，已知點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)(-3，0)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1，0)時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)___.

解析依題意，點(diǎn)P為主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為伴隨點(diǎn)，取l上的點(diǎn)O為特殊主動(dòng)點(diǎn)．因?yàn)锳P繞定點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90°得到AQ，所以將AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可得到AO1，如圖6所示．

圖5 圖6 圖7

連接O1Q，易證△AO1Q≌△AOP，所以O(shè)1Q=OP，∠AO1Q=∠AOP=90°．因此點(diǎn)Q在垂直于x軸的直線O1Q上運(yùn)動(dòng)，其軌跡長(zhǎng)度與點(diǎn)P相同．因?yàn)辄c(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為1-(-3)=4，所以點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)也為4．

有興趣的讀者可再探究如下變式，此處不再贅述．

變式如圖7，已知點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為一邊，在其右側(cè)作等邊△APQ．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)(-3，0)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1，0)時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)___.

例2 如圖8，已知點(diǎn)A(0，-1)，點(diǎn)E(3，0)，點(diǎn)C是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△AOB和△BCD(B、C、D按逆時(shí)針順序排列)都是等腰直角三角形，∠OAB=∠BDC=90°．當(dāng)點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處時(shí)，求點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．