如何用習(xí)題鏈提升初中生數(shù)學(xué)解題能力

袁飛林

(福建省上杭縣白砂中學(xué) 364205)

初中數(shù)學(xué)涉及很多知識點(diǎn)，其中二次函數(shù)是中考的必考知識點(diǎn)，習(xí)題類型復(fù)雜多變.為使學(xué)生掌握二次函數(shù)不同題型的解題能力，應(yīng)結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗，圍繞具體教學(xué)內(nèi)容，做好習(xí)題鏈的設(shè)計與應(yīng)用.

1 二次函數(shù)圖像與性質(zhì)

二次函數(shù)圖像與性質(zhì)類型的習(xí)題多較基礎(chǔ)，教學(xué)中為使學(xué)生能夠靈活解答相關(guān)習(xí)題，應(yīng)注重以下問題鏈的設(shè)計：

問題1已知點(diǎn)A(1，y1)，B(2，y2)在拋物線y=-(x+1)2+2上，則下列結(jié)論正確的是( ).

A.2>y1>y2B.2>y2>y1

C.y1>y2>2 D.y2>y1>2

該題目較為簡單，已知兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)，要求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因兩點(diǎn)在給出的拋物線上，因此，將x=1和x=2分別代入拋物線解析式可求得y1=-2，y2=-7，因此可得2>y1>y2，正確選項為A.

問題2二次函數(shù)y=ax2與一次函數(shù)y=ax+a在同一坐標(biāo)系中的大致圖像可能為( ).

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，對于y=ax2的圖像，a>0，開口向上，a<0開口向下.對于一次函數(shù)y=ax+a，a>0，y隨著x的增大而增大，且與y軸交于正半軸.a<0，y隨x的增大而減小且與y軸交于負(fù)半軸.觀察二次函數(shù)與一次函數(shù)系數(shù)可知，如a>0，二次函數(shù)開口向上，一次函數(shù)過一、二、三象限，A、B兩項錯誤.如a<0，二次函數(shù)開口向下，一次函數(shù)過二、三、四象限，D項錯誤，只有C項是正確的.

圖1

A.①② B.②③ C.③④ D.②④

二次函數(shù)圖像與性質(zhì)解題教學(xué)中，設(shè)計上述問題鏈，嚴(yán)格把握問題鏈難度，由易到難逐步遞進(jìn)，使學(xué)生樹立解題自信的同時，更容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.其中問題1從基礎(chǔ)知識入手，樹立學(xué)生解題自信；問題2靈活考查二次函數(shù)系數(shù)與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，鞏固學(xué)生所學(xué)；問題3難度較大，深化學(xué)生對二次函數(shù)圖像的理解，能很好的提高學(xué)生綜合分析問題的能力.

2 二次函數(shù)圖象的平移與對稱

在講解函數(shù)圖像平移知識時，相信教師都總結(jié)有“上加下減，左加右減”這一規(guī)律.為使學(xué)生能夠靈活應(yīng)用該規(guī)律，可要求學(xué)生解答下面的問題：

問題4將拋物線y=(x-2)2-3的圖像向下平移2個單位，得到的拋物線解析式為____.

由拋物線平移規(guī)律“上加下減，左加右減”可知，平移后y=(x-2)2-3-2=x2-4x-1.

問題5將拋物線y=x2+bx+c的圖像向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到圖像的解析式為y=x2-2x-3，則b、c的值分別為____.

該題目同樣可使用總結(jié)的規(guī)律進(jìn)行解答，不同的是需要采用逆向思維，由后向前進(jìn)行推理.由平移后的解析式y(tǒng)=x2-2x-3=(x-1)2-4，先向上平移3個單位，再向左平移2個單位，得到y(tǒng)=(x-1+2)2-4+3=(x+1)2-1=x2+2x，由此可知b=2，c=0.

問題6在平面直角坐標(biāo)系中函數(shù)圖像A與二次函數(shù)y=x2+x-2的圖像關(guān)于x軸對稱，而后函數(shù)圖像B與圖像A關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)圖像B對應(yīng)的函數(shù)解析式為____.

該題目難度較大，破題時可引導(dǎo)學(xué)生從單一的點(diǎn)進(jìn)行分析，找到其中的規(guī)律，分析可知點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).圖像A與二次函數(shù)y=x2+x-2的圖像關(guān)于x軸對稱，則圖像A對應(yīng)的解析式為-y=x2+x-2，即y=-x2-x+2.函數(shù)圖像B與圖像A關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)圖像B對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-(-x)2-(-x)+2=-x2+x+2.

在解答函數(shù)圖像平移習(xí)題時設(shè)計上述問題鏈，不僅能鞏固學(xué)生所學(xué)，而且能獲得事半功倍的解題效果.問題4較為簡單，考查學(xué)生對圖像平移規(guī)律的應(yīng)用；問題5難度有所提升，鍛煉學(xué)生逆向思維，提升學(xué)生運(yùn)用平移規(guī)律解題的靈活性；問題6能很好的拓展學(xué)生視野，進(jìn)一步深化學(xué)生對函數(shù)圖像關(guān)系的認(rèn)識與理解.

3 二次函數(shù)與方程

二次函數(shù)與一元二次方程聯(lián)系緊密.為提高學(xué)生解答相關(guān)習(xí)題的能力，可設(shè)計如下問題鏈：

問題7若方程x2-3x+k=0的一根大于1，一根小于1，則k的取值范圍是____.

將方程的根看成是函數(shù)y=x2-3x+k圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).解答該題應(yīng)充分考慮一元二次函數(shù)圖像與x軸相交的每一種可能的情境，找到其共同點(diǎn)進(jìn)行解答.分析可知要想一根大于1，一根小于1.觀察圖像可知，只需當(dāng)x=1時，函數(shù)值y小于零即可，即1-3+k<0，解得k<2.

問題8若關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0有兩個不同實根m、n，(m

A.m

C.m

該題目看似難度較大，但只要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想不難解答.對方程x2+ax+b=1，變形可得x2+ax+b-1=0；分別令y1=x2+ax+b，y2=x2+ax+b-1，其中m、n為y1圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由函數(shù)圖像平移將y1的圖像向下平移1個單位得到y(tǒng)2的圖像.在同一直角坐標(biāo)系中繪制出兩個函數(shù)的圖像，如圖2所示，由圖可清晰的看到p

圖2

問題9三個關(guān)于x的方程：a1(x+1)(x-2)=1、a2(x+1)(x-2)=1、a3(x+1)(x-2)=1，已知常數(shù)滿足a1>a2>a3>0，若x1，x2，x3分別是按上述順序?qū)?yīng)三個方程的正根，則下列關(guān)系正確的是( ).

A.x1

B.x1>x2>x3

C.x1=x2=x3

D.無法確定x1，x2，x3的大小關(guān)系

在解答二次函數(shù)與方程知識時，設(shè)計上述問題鏈，能很好的拓展學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生解題能力更好的提升.問題7難度中等，靈活考查根與系數(shù)的關(guān)系；問題8既考查函數(shù)與方程之間的關(guān)系，又考查函數(shù)圖像平移知識的靈活應(yīng)用；問題9考查學(xué)生轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)學(xué)生解題能力的進(jìn)一步提升.

為達(dá)到預(yù)期教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生通過解答設(shè)計的習(xí)題鏈，既能樹立自信，鞏固所學(xué)，又能拓展視野，掌握相關(guān)的解題思想，在以后的解題中少走彎路，應(yīng)結(jié)合學(xué)生實際，設(shè)計由易到難，逐步深入的習(xí)題鏈.同時，在課堂上給學(xué)生留下充足的思考時間，加深其印象，尤其還應(yīng)鼓勵學(xué)生做好解題總結(jié)，及時堵住知識漏洞，彌補(bǔ)解題中的不足.