行為m- NA陣列的完全收斂性

程書(shū)紅

(閩南理工學(xué)院 信息管理學(xué)院， 福建 泉州 362700)

0 引言

1983年， Joag等[1]提出了如下NA(Negatively Associated)定義：

定義1稱(chēng)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn(n≥2)是NA的,若對(duì)任意兩個(gè)非空不交子集A1,A2?{1,2,…,n}均有Cov(f1(xi;i∈A1),f2(xj;j∈A2))≤0， 其中fi(i=1,2)是使上式有意義且對(duì)各變?cè)遣唤档暮瘮?shù).稱(chēng)隨機(jī)變量列{Xn;n≥1}是NA列，若對(duì)任意的n≥2,X1,X2,…,Xn是NA的.

由于NA序列在可靠性理論、滲透理論和多元統(tǒng)計(jì)分析理論等方面有著廣泛應(yīng)用，因此許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究[2].2007年， Hu等[3]提出了如下m-NA隨機(jī)變量的定義：

定義2設(shè)m≥1是一個(gè)給定的整數(shù)，如果對(duì)任意的n≥2和滿足|ik-ij|≥m(1≤k≠j≤n)的任意i1,…,in,Xi1,…,Xin均為NA序列，則稱(chēng){Xn,n≥1}是m-NA(m-Negatively Associated)序列.固定n, 并假設(shè)每一行內(nèi)的隨機(jī)變量序列{Xni}是m-NA的, 則稱(chēng)隨機(jī)陣列{Xni;1≤i≤n,n∈N}是行為m-NA陣列.

1 主要結(jié)果及其證明

引理1[6]設(shè){Xn;n∈N}為m-NA隨機(jī)變量序列.若{fn;n∈N}皆是單調(diào)非降(或者單調(diào)非增)連續(xù)函數(shù),則{fn(xn);n∈N}仍然是m-NA序列.

引理3[8]設(shè)l(x)>0為x→∞的慢變化函數(shù)，則有：

證明取xn=nα(2 -p)/4.由于{Xnk;1≤k≤n,n∈N}是行為m-NA陣列,l(x)是慢變化函數(shù),則當(dāng)n→∞時(shí)，xn→∞.對(duì)Xnk截尾，并記：

(1)

又因?yàn)閤n=nα(2 -p)/4， 所以?N>0， 且使得當(dāng)n≥N時(shí)有xn>M.于是由上述可得：

定理1證畢.

定理1表明，m-NA陣列不僅具有更一般的完全收斂性，而且擴(kuò)大了權(quán)函數(shù)的范圍和推廣了文獻(xiàn)[9]的研究結(jié)果(m-NA隨機(jī)變量序列弱于NA隨機(jī)變量序列).因此，m-NA陣列在多元統(tǒng)計(jì)分析、可靠性理論等方面更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.若取消定理1中n∈N這一限制條件，可得如下推論1：